1 статистическое и классическое определения вероятности. Транспортная задача и ее свойства. Пример. Классическая и статистическая вероятность

Основные понятия. Теоремы сложения и умножения.

Формулы полной вероятности, Бейеса, Бернулли. Теоремы Лапласа.

Вопросы

1. Предмет теории вероятности.
2. Виды событий.
3. Классическое определение вероятности.
4. Статистическое определение вероятности.
5. Геометрическое определение вероятности.
6. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
7. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
8. Условная вероятность.
9. Умножение зависимых событий.
10. Сложение совместных событий.
11. Формула полной вероятности.
12. Формула Бейеса.

13. Биноминальный, полиномиальный закон распределения .

1. Предмет теории вероятностей. Основные понятия.

Событием в теории вероятностей называют всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта (испытания).

Например: Стрелок стреляет по мишени. Выстрел – испытание, попадание в мишень – событие. События принято обозначать

Единичное случайное событие – следствие очень многих случайных причин, которые очень часто невозможно учесть. Однако, если рассматривать массовые однородные события (многократно наблюдающиеся при осуществлении опыта в одних и тех же условиях), то они оказываются подчиняются определенным закономерностям: если бросать монету в одних и тех же условиях большое число раз, можно с небольшой погрешностью предсказать, что число появлений герба будет равно половине числа бросков.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Методы теории вероятностей широко применяются в теориях надежности, стрельбы, автоматического управления и т.д. Теория вероятности служит обоснованием математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и т.д.

Определения.

1. Если в результате опыта событие

а) всегда произойдет, то - достоверное событие,

б) никогда не наступит, то - невозможные событие,

в) может произойти, то может и не произойти, то - случайное (возможное) событие.

2. События называются равновозможным, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не имеет больше шансов появиться в результате опыта, чем другие.

3. События и - совместные (несовместные), если появление одного из них не исключает (исключает) появление другого.

4. Группа событий совместна, если совместны хотя бы два события из это й группы, иначе – несовместна.

5. Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно наступит одно из них.

Пример 1. По мишени производят три выстрела: Пусть - попадание (промах) при первом выстреле - при втором выстреле, - при третьем выстреле. Тогда

а) - совместная группа равновозможных событий.

б) - полная группа несовместных событий. - событие, противоположное .

в) - полная группа событий.

Классическая и статистическая вероятность

Классический способ определения вероятности применяется для полной группы равновозможных несовместных событий.

Каждое событие этой группы назовем случаем или элементарным исходом. По отношению к каждому событию случаи делятся на благоприятные и неблагоприятные.

Определение 2. Вероятностью события называют величину

где - число случаев, благоприятных появлению события , - общее число равно-возможных в данном опыте случаев.

Пример 2. Брошены две игральные кости. Пусть событие - сумма выпавших очков равна . Найти .

а) Ошибочное решение. Всего возможно 2 случая: и - полная группа несовместных событий. Благоприятен одни случай, т.е.

Это ошибка, так как и не равновозможные.

б) Всего равновозможных случаев . Благоприятные случаи: выпадение

Слабыми сторонами классического определения являются:

1. - количество случаев конечно.

2. Результат опыта очень часто невозможно представить в виде совокупности элементарных событий (случаев).

3. Трудно указать основания, позволяющие считать случаи равновозможными.

Пусть произведено серия из испытаний.

Определение 3. Относительной частотой события называют величину

где - число испытаний, в которых появилось события , - общее число испытаний.

Длительные наблюдения показали, что в различных опытах при достаточно больших

Изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа, которое назовем статистической вероятностью.

Вероятность обладает следующими свойствами:

Алгебра событий

7.3.1Определения.

8. Суммой или объединением нескольких событий называется событие, состоящее хотя бы одного из них.

9. Произведением нескольких событий, называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Из примера 1. - хотя бы одно попадание при трех выстрелах, - попадание при первым и вторым выстрелах и промах при третьем.

Ровно одно попадание.

Не менее двух попаданий.

10. Два события называется независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.

11. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая линейная комбинация из остальных событий, есть события независимые.

12. Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленного в предположении, что событие произошло.

7.3.2 Теорема умножения вероятностей.

Вероятность совместного появления (произведе-ния) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события имели место

Следствие 1. Если - независимы в совокупности, то

Действительно: так как .

Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар , при втором – черный шар , при третьем – синий шар , если

а) каждый раз шар возвращается в урну.

- в урне после первого испытания шаров из них 4 белых. . Отсюда

б) шар не возвращается в урну. Тогда - независимые в совокупности и

7.3.3 Теорема сложения вероятностей.

Вероятность появления хотя бы одного из событий равна

Следствие 2. Если события попарно несовместные, то

Действительно в этом случае

Пример 4. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле - , при втором - , при третьем - . Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Решение. Пусть - попадание при первом выстреле, - при втором, - при третьем, - хотя бы одно попадании при трех встрелах. Тогда , где - совместные независимые в совокупности. Тогда

Следствие 3. Если попарно несовместные события образуют полную группу, то

Следствие 4. Для противоположных событий

Иногда при решении задач легче найти вероятность противоположного события. Например в примере 4 - промах при трех выстрелах. Так как независимые в совокупности, и то

Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера.

Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.

Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А .

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.

,

(1.1)

где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев.

Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем

Р(А) = = . ◄

Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

0 ≤ Р (А ) ≤ 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.

Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.

Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

,

(1.2)

где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний.

В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем

Рис. 1.1 Рис 1.2

Пример 1.2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода между 10 и 11 часами.

Решение. Обозначим моменты прихода в определенное место первого и второго студентов соответственно через x и y . В прямоугольной системе координат Oxy возьмем за начало отсчета 10 часов, а за единицу измерения – 1 час. По условию 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OKLM со стороной, равной 1 (рис. 1.2). Событие А – встреча двух студентов – произойдет, если разность между x и не y превзойдет 1/4 часа (по абсолютной величине), т.е. |y – x | ≤ 0,25.

Решение этого неравенства есть полоса x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25, которая внутри квадрата G представляет заштрихованную область g . По формуле (1.3)

Вероямтность -- степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае -- невероятным или маловероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

Классическое определение вероятности основано на понятии равно возможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений -- например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдет в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.

Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.

Возникновение понятия и теории вероятности

Первые работы об учении о вероятности относится к 17 веку. Такие как переписка французских учёных Б. Паскаля, П. Ферма (1654 год) и голландского учёного X. Гюйгенса (1657 год) давшего самую раннюю из известных научных трактовок вероятности]. По существу Гюйгенс уже оперировал понятием математического ожидания. Швейцарский математик Я. Бернулли, установил закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (посмертно, 1713 год). В XVIII в. -- начале ХIХ в. теория вероятностей получает развитие в работах А. Муавра (Англия)(1718 год), П. Лаплас (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы. Необходимо отметить, что закон распределения ошибок по сути предложил Лаплас сначала как экспоненциальная зависимость от ошибки без учета знака (в 1774 год), затем как экспоненциальную функцию квадрата ошибки (в 1778 году). Последний закон обычно называют распределением Гаусса или нормальным распределением. Бернулли (1778 год) ввел принцип произведения вероятностей одновременных событий. Адриен Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов.

Во второй половине XIX в. развитие теории вероятностей связано с работами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего), а также работы по математической статистике А. Кетле (Бельгия) и Ф. Гальтона (Англия) и статистической физике Л. Больцмана (в Австрия), которые создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей. Наиболее распространённая в настоящее время логическая (аксиоматическая) схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым.

Классическое определение вероятности:

По классическому определению вероятность случайного события Р(А) равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов, составляющих пространство элементарных событий, т.е.

вероятность статический классический теория

Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчету элементов того или иного множества и часто оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма трудной.

Классическое определение оправдано, когда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых происходит эксперимент, и вследствие этого симметрии исходов испытания, что приводит к понятию "равно возможности" исходов.

Например. Если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпадение любой из ее граней считается равновозможным исходом.

По тем же соображениям симметрии считаются равновозможными исходы такого эксперимента, как вынимание тщательно перемешанных и неотличимых на ощупь белых и черных шаров так, что после регистрации цвета каждый шар возвращается обратно в сосуд и после тщательного перемешивания производится извлечение следующего шара.

Чаще всего такая симметрия наблюдается в искусственно организованных экспериментах, какими являются азартные игры.

Таким образом, классическое определение вероятности связано с понятием равно возможности и используется для экспериментов, сводящихся к схеме случаев. Для этого необходимо, чтобы события e1, e2, en были несовместными, т. е. никакие два из них не могут появиться вместе; такими, что образуют полную группу, т. е. они исчерпывают собой все возможные исходы (не может быть так, что в результате опыта ни одно из них не произошло); равновозможными при условии, что эксперимент обеспечивает одинаковую возможность появления каждого из них.

Не всякий эксперимент удовлетворяет схеме случаев. Если нарушается условие симметрии, то нет схемы случаев.

Формула (1.1), "классическая формула", применялась для вычисления вероятностей событий с самого начала появления науки о случайных явлениях.

Те опыты, которые не обладали симметрией, "подгонялись" под схему случаев. В настоящее время наряду с "классической формулой" существуют способы вычисления вероятностей, когда эксперимент не сводится к схеме случаев. Для этого используется статистическое определение вероятности.

Понятие статистической вероятности будет введено позднее, а сейчас вернемся к классической формуле.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Опыт состоит в бросании двух монет. Найти вероятность того, что появится хотя бы один герб.

Решение. Случайное событие А - появление хотя бы одного герба.

Пространство элементарных событий в данном эксперименте определяется следующими исходами: Е = {ГГ, ГР, РГ, РР}, которые соответственно обозначаются e1, e2, e3, e4. Таким образом,

E=e1, e2, e3, e4; n=4.

Необходимо определить число исходов из Е, которые благоприятствуют появлению А. Это e1, e2, e3; их число m=3.

Используя классическую формулу определения вероятности события А, имеем

Пример 2. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Случайное событие А - появление белого шара. Пространство элементарных событий Е включает исходы e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, где ei - появление одного шара (белого или черного);

E={e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7}, n=7.

Случайному событию А в пространстве Е благоприятствует 3 исхода; m=3. Следовательно,

Пример 3. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается два шара. Найти вероятность того, что оба будут белыми.

Решение. Случайное событие А - оба шара будут белыми.

Пример 3 отличается от примера 2 тем, что в примере 3 исходами, составляющими пространство элементарных исходов Е, будут не отдельные шары, а комбинации из 7 шаров по 2. То есть, чтобы определить размерность Е, необходимо определить число комбинаций из 7 по 2. Для этого необходимо использовать формулы комбинаторики, которые приводятся в разделе "Комбинаторный метод". В данном случае для определения числа комбинаций из 7 по 2 используется формула для определения числа сочетаний

так как выбор производится без возвращения и порядок появления шаров неважен. Таким образом,

Число комбинаций, благоприятных для появления события А, определяется в виде

Следовательно, .

Статистическое определение вероятности

При рассмотрении результатов отдельных испытаний очень трудно найти какие-либо закономерности. Однако в последовательности одинаковых испытаний можно обнаружить устойчивость некоторых средних характеристик. Частостью какого-либо события в данной серии из n испытаний называется отношение m/n, числа m тех испытаний, в которых событие А наступило, к общему числу испытаний n. Почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частость события А устанавливается около определенного значения, которое принимается за вероятность событияА. Устойчивость значения частости подтверждается специальными экспериментами. Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных игр, т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуются равно возможностью исходов. Это открыло путь для статистического подхода к численному определению вероятности, когда нарушается условие симметрии эксперимента. Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается

где mA - число экспериментов, в которых появилось событие А;

n - общее число экспериментов.

Формулы (1.1) и (1.2) для определения вероятности имеют внешнее сходство, но они различны по существу. Формула (1.1) служит для теоретического вычисления вероятности события по заданным условиям опыта. Формула (1.2) служит для экспериментального определения частости события. Чтобы воспользоваться формулой (1.2), необходим опытный статистический материал.

Аксиоматический подход к определению вероятности

Третьим подходом к определению вероятности является аксиоматический подход, при котором вероятности задаются перечислением их свойств.

Принятое аксиоматическое определение вероятности было сформулировано в 1933 г. А. Н. Колмогоровым. В этом случае вероятность задается как числовая функция Р(А) на множестве всех событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам:

P(A)=1, если А - достоверное событие.

Если А и В несовместны.

Основные свойства вероятности

Для каждого случайного события А определена его вероятность, причем.

Для достоверного события U имеет место равенство P(U)=1.Свойства 1 и 2 следуют из определения вероятности.

Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в частном случае (для несовместных событий).

Для произвольных событий А и В

Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в общем случае.

Для противоположных событий А и имеет место равенство.

Кроме этого, вводится невозможное событие, обозначенное, которому не способствует ни один исход из пространства элементарных событий. Вероятность невозможного события равна 0, P()=0 .

Пример. Вероятность того, что случайно выбранная в результате опроса семья имеет цветной, черно-белый или цветной и черно-белый телевизоры, равны соответственно 0.86; 0.35; 0.29. Какова вероятность, что семья имеет цветной или черно-белый телевизор?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что семья имеет цветной телевизор.

Событие В состоит в том, что семья имеет черно-белый телевизор.

Событие С состоит в том, что семья имеет или цветной, или черно-белый телевизор. Событие С определяется через А и В в виде, А и В совместны, поэтому

Комбинаторный метод

Во многих вероятностных проблемах необходимо перечислить все возможные исходы эксперимента или элементарные события, которые возможны в данной ситуации, или вычислить их количество. Для этого можно использовать следующие правила.

Правило 1. Если операция состоит из двух шагов, в которых первый может быть сделан n1 способами и второй может быть сделан n2 способами, то вся операция может быть сделана за n1·n2 способов.

Под словом "операция" подразумевается любая процедура, процесс или метод выбора.

Чтобы подтвердить это правило, рассмотрим операцию, которая состоит из шагов xi и yi, шаг x может быть осуществлен n1 способами, т.е. , шаг y может быть осуществлен n2 способами, т.е. , тогда ряд всех возможных способов может быть представлен следующими n1n2 парами:

Пример. Сколько возможных исходов имеется в эксперименте, который состоит в подбрасывании двух игральных костей.

Решение. Под x и y в этом случае понимается выпадение любой грани на первой кости и на второй кости. Выпадение грани на первой кости возможно шестью способами xi, ; выпадение грани второй кости возможно также шестью способами xj, .

Всего возможных способов 6.6=36.

Правило 2. Если операция состоит из k шагов, в которых первый может быть сделан n1 способами, второй n2 способами, третий способами и т. д., k-й - способами, то вся операция может быть сделана за n1·n2…nk шагов.

Пример. Инспектор качества хочет выбрать часть из каждого из четырех контейнеров, содержащих 4, 3, 5 и 4 частей соответственно. Сколькими способами он может это сделать?

Решение. Общее число способов определяется как 4·3·5·4=240.

Пример. Сколькими возможными способами может ответить студент в тесте из 20 вопросов, если на каждый вопрос он может ответить "да" или "нет"?

Решение. Всех возможных способов 2·2...2=220=1048576.

Часто на практике возникает ситуация, когда объекты должны быть упорядочены.

Например: сколькими различными способами 6 персон могут сесть вокруг стола? Различные их расположения называются перестановками.

Пример. Сколько перестановок возможно для букв a, b, c?

Решение. Возможные расположения abc, acb, bac, bca, cab, cba. Число возможных расположений равно шести.

Обобщая данный пример, для n объектов всего n·(n-1)(n-2)…3 ·2 ·1 различных способов или n!, т. е. число перестановок n!=1·2·3...·(n-2)(n-1)n, при этом 0!=1.

Правило 3. Число перестановок n различных объектов равно n!.

Пример. Число перестановок из четырех букв 4!=24, но какое число перестановок получится, если выбирать по 2 буквы из четырех?

Решение. Мы должны заполнить две позиции из четырех букв. Для первой позиции - 4 способа, для второй позиции - 3 способа. Следовательно, используя правило 1, имеем 4·3=12.

Обобщая этот пример на n различных объектов, из которых выбирается r объектов без возвращения для r > 0, всего способов n(n-1)...(n-r+1). Это число обозначим, а получаемые комбинации называются размещениями.

Правило 4. Число размещений из n объектов по r определяется как

(для r = 0,1,...,n).

Перестановки, когда объекты располагаются по кругу, называются круговыми перестановками. Две круговые перестановки не являются различными (а считаются только одной), если соответствующие объекты в двух расположениях имеют те же самые объекты слева и справа.

Например: если четыре персоны играют в бридж, мы не получим различных расположений, если все игроки передвинутся на один стул справа.

Пример. Сколько круговых перестановок возможно из четырех персон, играющих в бридж? Решение. Если произвольно взять позицию одного из четырех игроков как фиксированную, можно трех остальных игроков расположить 3! способами, другими словами, имеем шесть различных круговых перестановок.

Обобщая этот пример, получаем следующее правило.

Правило 5. Число перестановок из n различных предметов, расположенных по кругу, равно (n-1)!.

До сих пор предполагалось, что n объектов, из которых мы выбираем r объектов и формируем перестановки, являются различными. Таким образом, упомянутые ранее формулы не могут быть использованы для определения числа способов расположения букв в слове "book" или числа способов расположения трех копий одной новеллы и одной копии каждой из четырех других новелл на полке.

Пример. Сколько различных перестановок букв в слове "book"?

Решение. Если важно различать буквы O, то мы их обозначим O1, O2 и тогда будем иметь 4!=24 различных перестановок букв в O1, O2 и K. Однако если мы опускаем индексы, то O1 O2 и O2, O1уже не различаются, тогда общее число перестановок равно.

Пример. Сколько различных способов расположения трех копий одной новеллы и одной копии других четырех новелл на полке?

Решение. Если обозначить три копии первой новеллы как a1, a2, a3 и другие четыре новеллы - b, c, d и e, то в данном случае имеем 7! различных способов и 3! способа расположить a1, a2, a3.

Если опустить индексы, то различных способов расположения копий.

Обобщая эти рассуждения, получим следующее правило.

Правило 6. Число перестановок n объектов, в которых n1 одного сорта, n2 - второго сорта, …, nk - k-го сорта и n1+n2+...+nk=n,

Много задач, в которых необходимо определить число способов выбора r объектов из n различных объектов, не обращая внимания на порядок, в котором они выбираются. Такие комбинации называются сочетаниями.

Пример. Сколькими способами можно выбрать трех кандидатов из 20-ти человек для общественного опроса?

Решение. Если нам важен порядок при выборе кандидатов, то число комбинаций, но каждый ряд из трех кандидатов может быть выбран 3! Способами; если порядок выбора не важен, то всего способов выбора.

Комбинации без возращения r объектов из n различных объектов, которые отличаются самими объектами, но не их порядком, называются сочетаниями.

Правило 7. Число комбинаций по r объектов из n разных объектов определяется числом, число сочетаний может обозначаться как.

Пример. Сколькими различными способами можно при шести подбрасываниях монеты получить 2 герба и 4 решки?

Решение. Так как порядок получения гербов и решек не важен, то, применяя правило 7, получим.

Пример. Сколько разных комитетов из двух химиков и одного физика может быть сформировано на факультете небольшого колледжа, имеющего 4 химика и 3 физика.

Решение. Число комбинаций из четырех химиков по 2 может быть получено (шестью) способами.

Один из трех физиков может быть выбран (тремя) способами.

Число комитетов, в соответствии с правилом 1, определяется как 6·3=18.

Пример. Сколькими способами можно разбить ряд из четырех объектов на три ряда, содержащих соответственно два, один и один объекта?

Решение. Обозначим данные четыре объекта буквами a, b, c, d. Число разбиений на два, один и один будет 12:

Разбиение из двух объектов можно получить способами, что дает 6 возможностей. Число способов сформировать второе разбиение. И для третьего разбиения число способов равно 1.

Согласно правилу 2 всего способов разбиения (6·2·1)=12.

Обобщая данный пример, получаем следующее правило.

Правило 8. Число способов, с помощью которых ряд из n различных объектов может быть разбит на k частей с n1 объектами в 1-й части, n2 во 2-й части, … и nk в k-й, определяется как

Пример. Сколькими способами 7 бизнесменов могут быть размещены в одном трехкомнатном и двух двухкомнатных номерах в отеле?

Решение. Согласно правилу 8 это можно сделать (двухсотдесятью) способами.

Доказательство правила 8

Так как n1 объектов могут быть выбраны в ряд способами, n2 могут быть выбраны

Согласно правилу 2 всего число способов будет определяться в виде

Задание для самостоятельной работы

1. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.

Ответ: 0.066.

2. Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

Ответ: 0.0029.

3. Имеются пять билетов стоимостью по 1 рублю;

три билета стоимостью по 3 рубля;

два билета стоимостью по 5 рублей.

Наугад выбирается три билета. Определить вероятность того, что:

а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость.

Ответ: 0.75;

б) все три билета стоят 7 рублей.

Ответ: 0.29.

4. В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 копеек и семь монет достоинством по 3 копейки. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета достоинством в 20 копеек.

Определить вероятность того, что и первая монета имеет достоинство в 20 копеек.

Ответ: 0.22.

• 5. Из десяти билетов лотереи выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов:
  • а) один выигрышный;
  • б) два выигрышных;
  • в) хотя бы один выигрышный.

Ответ: 0.55, 0.22, 0.78.

6. В корзине имеется n шаров с номерами от 1 до n, шары извлекаются наудачу по одному без возвращения. Какова вероятность того, что при k первых извлечениях номера шаров совпадут с номерами извлечений.

Ответ: (n - k)!/n!

Использованная литература

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ru.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

Классическое определœение вероятности.

Различные определœения вероятности.

Алгебра событий.

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Первым по времени определœением вероятности следует считать классическое, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.

Классический способ определœения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.

Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием.

По этой причине об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему.

Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события.

Пример : При подбрасывании игральной кости наряду со случаями А i - выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В - выпадение чётного числа очков, С - выпадение числа очков, кратных трём …

По отношению к каждому событию, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ может произойти при осуществлении эксперимента͵ случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С – случаи А 3 , А 6 .

Классической вероятностью появления некоторого события принято называть отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) – вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.

Примеры:

1) (смотри пример выше) Р(В) =, Р(С)= .

2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.

А - вынутый наугад шар красный:

m =9, n =9+6=15, P(A) =

B - вынутые наугад два шара красные:

Из классического определœения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события равна 0;

2) Вероятность достоверного события равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного событию А,

Классическое определœение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Вместе с тем, слабая сторона классического определœения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. При этом такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определœением вероятности пользуются и другими определœениями вероятности.

Статистической вероятностью события А принято называть относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где – вероятность появления события А;

– относительная частота появления события А;

Число испытаний, в которых появилось событие А;

Общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример: Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

.

Статистический способ определœения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

· Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые бывают воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

· События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

· Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определœения, сохраняются и при статистическом определœении вероятности.

Статистическое определение вероятности. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Статистическое определение вероятности." 2017, 2018.

- Статистическое определение вероятности.

Пусть произведено N испытаний, при этом событие A наступило ровно M раз. Отношение называется относительной частотой события A и обозначается. За вероятность события A принимается число, около которого группируются наблюдаемые значения относительной частоты: . ... .

- Статистическое определение вероятности.

Относительная частота. Пусть A есть случайное событие, которое может наступить в данном опыте. Напомним, что мы рассматриваем опыты, удовлетворяющие условиям а),б) пункта 2. Предположим, что после повторения опыта N раз, событие A произошло M раз. Определение... .

- Статистическое определение вероятности

Существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения. В первую очередь это события с неравновозможными исходами (например, игральная кость «нечестная», монета сплющена и т.д.). В таких случаях может помочь... [читать подробнее] .

- Относительная частота. Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относитель-ная частота и вероятность случайного события. Полная группа событий. Классичес-кое определение вероятности. Основные свойства вероятности.... .

Случайность наступления событий связана с невозможностью предсказать заранее исход того или иного испытания. Однако, если рассматривать, например, испытание: многократное бросание монеты, ω 1 , ω 2 , … , ω n , то получается, что приблизительно в половине исходов (n / 2) обнаруживается определённая закономерность, которая соответствует понятию вероятности.

Под вероятностью события А понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления события А . Обозначим эту числовую характеристику р (А ). Существуют несколько подходов к определению вероятности. Основными из них являются статистический, классический и геометрический.

Пусть произведено n испытаний и при этом некоторое событие А наступило n A раз. Число n A называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А , а отношение называется относительной частотой наступления события А. Относительная частота любого события характеризуется следующими свойствами:

Основанием для применения методов теории вероятностей к изучению реальных процессов является объективное существование случайных событий, обладающих свойством устойчивости частот. Многочисленные испытания изучаемого события А показывают, что при больших n относительная частота (А ) остаётся примерно постоянной.

Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина р(А), вокруг которой колеблются значения относительных частот (А ) при неограниченном возрастании числа испытаний n .

Замечание 1 . Отметим, что пределы изменения вероятности случайного события от нуля до единицы выбраны Б. Паскалем для удобства ее вычисления и применения. В переписке с П. Ферма Паскаль указывал, что в качестве указанного промежутка можно было выбрать любой промежуток, например от нуля до ста и другие промежутки. В приведенных ниже задачах в данном пособии вероятности иногда указываются в процентах, т.е. от нуля до ста. В этом случае приведенные в задачах проценты необходимо переводить в доли, т.е. делить на 100.

Пример 1. Проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Величина (А ) в каждой из серий равна 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около р (А ) = 0,5.

Этот пример подтверждает, что относительная частота (А ) примерно равна р (А ), т.е.