Что случайная величина из которой. Дисперсия дискретной случайной величины. Учреждение образования «Белорусская государственная

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайные величины, их классификация и способы описания.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, но какое именно заранее не известно. Для случайной величины, таким образом, можно указать только значения, одно из которых она обязательно примет в результате опыта. Эти значения в дальнейшем будем называть возможными значениями случайной величины. Так как случайная величина количественно характеризует случайный результат опыта, она может рассматриваться как количественная характеристика случайного события.

Случайные величины обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например, X..Y..Z, а их возможные значения- соответствующими малыми буквами.

Различают три типа случайных величин:

Дискретные; Непрерывные; Смешанные.

Дискретной называется такая случайная величина, число возможных значений которой образует счетное множество. В свою очередь, счетным называется множество, элементы которого можно пронумеровать. Слово «дискретный» происходит от латинского discretus , что означает «прерывистый, состоящий из отдельных частей» .

Пример 1. Дискретной случайной величиной является число бракованных деталей Х в партии из nтук. Действительно, возможными значениями этой случайной величины является ряд целых чисел от 0 до n.

Пример 2. Дискретной случайной величиной является число выстрелов до первого попадания в цель. Здесь, как и в примере 1, возможные значения можно пронумеровать, хотя в предельном случае возможное значение является бесконечно большим числом.

Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси, называемый иногда интервалом существования этой случайной величины. Таким образом, на любом конечном интервале существования число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико.

Пример 3. Непрерывной случайной величиной является расход электроэнергии на предприятии за месяц.

Пример 4. Непрерывной случайной величиной является ошибка измерения высоты с помощью высотомера. Пусть из принципа работы высотомера известно, что ошибка лежит в пределах от 0 до 2 м. Поэтому интервалом существования данной случайной величины является интервал от 0 до 2 м.

Закон распределения случайных величин.

Случайная величина считается полностью заданной, если на числовой оси указаны ее возможные значения и установлен закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она распределена по данному закону, или подчинена данному закону распределения. В качестве законов распределения используются ряд вероятностей, функция распределения, плотность вероятности, характеристическая функция.

Закон распределения дает полное вероятное описание случайной величины. По закону распределения можно судить до опыта о том какие возможные значения случайной величины будут появляться чаще, а какие – реже.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. 1

События Х 1 , Х 2 ,..., Х n , состоящие в том, что в результате испытания случайная величина X примет соответственно значения х 1 , x 2 ,...х n являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины

(Эта единица как-то распределена между значениями случайной величины, отсюда и термин «распределение»).

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Пример В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение . Возможные значения случайной величины X - чистого выигрыша на один билет - равны 0-7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим.

Случайная величина - это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть - вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Определение [править]

Пространство элементарных событий [править]

Пространство элементарных событий в случае бросания игральной кости

Если бросается игральная кость, то в результате верхней гранью может оказаться одна из шести граней с количеством точек от одной до шести. Выпадение какой-либо грани в данном случае в теории вероятностей называется элементарным событием , то есть

Множество всех граней образует пространство элементарных событий , подмножества которого называются случайными событиями . В случае однократного подбрасывания игровой кости примерами событий являются

Алгебра событий [править]

Множество случайных событий образует алгебру событий , если выполняются следующие условия:

Если вместо третьего условия удовлетворяет другому условию: объединение счётного подсемейства из также принадлежит , то множество случайных событий образует σ-алгебру событий.

Алгебра событий является частным случаем σ-алгебры множеств.

Самая маленькая среди всех возможных -алгебр, элементами которой являются все интервалы на вещественной прямой, называется борелевской σ-алгеброй на множестве вещественных чисел .

Вероятность [править]

Если каждому элементарному событию поставить в соответствие число , для которого выполняется условие:

то считается, что заданы вероятности элементарных событий . Вероятность события, как счётного подмножества пространства элементарных событий, определяется как сумма вероятностей тех элементарных событий, которые принадлежат этому событию. Требование счётности важно, так как, иначе сумма будет не определена.

Рассмотрим пример определения вероятности различных случайных событий. Например, если событие является пустым множеством, то его вероятность равна нулю :

Если событием является пространство элементарных событий, то его вероятность равна единице:

Вероятность события (подмножества пространства элементарных событий) равна сумме вероятностей тех элементарных событий, которые включает в себя рассматриваемое событие.

Определение случайной величины [править]

Случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на .

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом . Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел и множество событий , таких что , принадлежит .

Примеры [править]

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

.

,

то есть математическое ожидание не определено.

Классификация [править]

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

• Пример смешанной случайной величины - время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.
• В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.
• Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно.

• Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины.

Методы описания [править]

Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньше вещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

См. также [править]

• Случайный процесс
• Функция распределения
• Математическое ожидание

Примечания [править]

1. 1 2 Чернова Н. И. Глава 1. § 2. Элементарная теория вероятностей // Теория вероятностей. - Учебное пособие. - Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. - 160 с.
2. Чернова Н. И. Глава 3. § 1. Алгебра и сигма-алгебра событий // Теория вероятностей. - Учебное пособие. - Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. - 160 с.
3. Чернова Н. И. ГЛАВА 1 § 2. Элементарная теория вероятностей // Теория вероятностей. - Учебное пособие. - Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. - 160 с.
4. 1 2 Чернова Н. И. Глава 6. Случайные величины и их распределения § 1. Случайные величины // Теория вероятностей. - Учебное пособие. - Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. - 160 с.

Литература [править]

• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. - 8-е изд. доп. и испр. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 448 с.
• Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. - 2-е изд. - М.: «Советская энциклопедия», 1998. - 847 с.
• Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. - Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Радио и связь, 1991. - 608 с. - ISBN 5-256-00789-0
• Чернова Н. И. Теория вероятностей. - Учебное пособие. - Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. - 160 с.

Если классическая теория вероятностей изучала, в основном, события и вероятность их появления (наступления), то современная теория вероятностей изучает случайные явления и их закономерности с помощью случайных величин. Понятие случайной величины, таким образом, является основополагающим в теории вероятностей. Ещё ранее проводились события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперёд определить число появившихся очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное (причём, одно и только одно) возможное числовое значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайны величины принято, обычно, обозначать прописными буквами , а их возможное значения - соответствующими строчными буквамиНапример, если случайная величинаимеет три возможных значения, то они, соответственно, обозначаются так:. Для удобства будем писать:.

ПРИМЕР 1 . Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть величина случайная, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100.

ПРИМЕР 2 . Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть также величина случайная. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т. п.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины, очевидно, принадлежат некоторому промежутку (интервалу) .

Заметим, что с каждым случайным событием можно связать какую-либо случайную величину, принимающую значения из R. Например, опыт - выстрел по мишени; событие - попадание в мишень; случайная величина - число попаданий в мишень.

Вернёмся к примерам, приведённым выше. В первом из них случайная величина могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2,..., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные, возможные значения.

Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка . Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной ( прерывной ) случайной величиной называется такая случайная величина, которая принимает конечное или счётное множество 1 различных значений. Другими словами - это такая случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка действительной числовой оси.

Очевидно, во-первых, число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно. Во-вторых, дискретная случайная величина является частным случаем непрерывной случайной величины.

Закон распределения вероятностей

I . Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все её возможные значения. В действительности это не так: различные случайные величины иногда могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а соответствующие вероятности этих значений – различные. Поэтому для полной характеристики мало знать значения случайной величины, нужно ещё знать, как часто эти значения встречаются в опыте при его повторении, т.е. нужно ещё указать вероятности их появления.

Рассмотрим случайную величину . Появление каждого их возможных значенийсвидетельствует о том, что произошло соответственно одно из событий, которые образуют полную группу 2 . Допустим, что вероятности этих событий известны:

, . . . , ,

Тогда: соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения вероятностей случайной величины , или просто – законом распределения случайной величины.

Закон распределения вероятностей данной случайной величины можно задать таблично (ряд распределения), аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности, т.е.

В целях наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. При этом, сумма ординатпостроенного многоугольника равна единице.

Аналитически закон распределения дискретной случайной величины можно записать, например, используя формулу Бернулли для схемы повторения независимых опытов. Так, если обозначить случайную величину, которой является число бракованных деталей в выборке, через , то возможные её значениябудут 0, 1, 2, . . . ,. Тогда, очевидно, формула Бернулли будет устанавливать зависимость между значениямии вероятностью() их появления, где

,

что о определяет закон распределения данной случайной величины.

II . Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Вспомним, что дискретная случайная величина задаётся перечнем всех её возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он не применим, например, для непрерывных случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину , возможные значения которой сплошь заполняют интервал. Можно ли составить перечень всех возможных значений? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин (как уже отмечалось, дискретная случайная величина является частным случаем непрерывной случайной величины). С этой целью вводятинтегральную функцию распределения.

Пусть – переменная, принимающая произвольные действительные значения (на оси:) . Рассмотрим событие, состоящее в том, что случайная величинапримет значение меньшее. Тогда, вероятностьсобытиязависит от, т.е. является функцией от. Эту функцию принято обозначать черези называть функцией распределения случайной величины или, ещё – интегральной функцией распределения. Другими словами:

интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значенияR вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, т.е.

.

Геометрически это равенство можно истолковывать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки.

Свойства интегральной функции :

Доказательство этого свойства вытекает из определения интегральной функции как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Действительно, пусть – событие, состоящее в том, что случайная величинапримет значение меньшее; аналогично,
– событие, состоящее в том, что случайная величинапримет значение меньшее. Другими словами:

Следовательно, если , то . Значит (объяснить - почему?)или, что то же самое:

Что и требовалось показать.

Это свойство вполне очевидно. Так, если - достоверное событие, а– невозможное событие, то

Рассмотрим следующие события: . Видим, что– т.е. событияинесовместны. Тогда

Но ,В результате, можем записать:, что и требовалось показать.

Мы будем в основном изучать такие непрерывные случайные величины, функции распределения которых непрерывны.

График функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую ломаную линию (см. рис.). Величина скачка в точках разрыва равна вероятности значения случайной величины в этой точке. Зная ряд распределения случайной величины, можно построить график её функции распределения:

.

Для непрерывной случайной величины более наглядной является не интегральная, а дифференциальная функция распределения или, так называемая, плотность распределения случайной величины.

Расширением понятия случайных событий, состоящих в появлении некоторых числовых значений в результате эксперимента, является случайная величина Х.

Определение. Случайной называют величину, принимающую в результате эксперимента одно только значение из некоторой их совокупности и неизвестное заранее, какое именно.

Случайная величина , к примеру, представляет собой обоснованную модель описания геологических данных, учитывающую влияние различных факторов на физическое поле .

Как и результат отдельного эксперимента, точное значение случайной величины предсказать нельзя, можно лишь установить ее статистические закономерности, т.е. определить вероятности значений случайной величины. Например, измерения физических свойств горных пород являются наблюдениями соответствующих случайных величин.

Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться геологу, можно выделить два основных типа: величины дискретные и величины непрерывные .

Определение. Дискретной случайной величиной называется такая, которая может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений.

В качестве типичных примеров дискретной случайной величины могут выступать все результаты полевых работ , все результаты экспериментов, привезенные c поля образцы и пр.

Всевозможные значений случайной величины образуют полную группу событий, т.е. , где - конечное или бесконечное. Поэтому можно говорить, что случайная величина обобщает понятие случайного события.

Пусть в результате исследований был получен следующий ряд данных по количественному составу некоторой породы: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Всего было проведено 20 испытаний. Для того, чтобы с данными было удобно работать, их преобразовали: расположили полученные значения по возрастанию и подсчитали количество появления каждого из значений. В результате получили (Таблица 7.1):

Определение . Распределение данных по возрастанию называется ранжированием .

Определение . Наблюдаемое значение некоторого признака случайной величины называется вариантом.

Определение . Ряд, составленный из вариант, называется вариационным рядом .

Определение . Изменение некоторого признака случайной величины называется варьированным .

Определение . Число, показывающее сколько раз варьируется данная варианта, называется частотой и обозначается .

Определение. Вероятность появления данной варианты равно отношению частоты к общей сумме вариационного ряда

(1)

С учетом введенных определений перепишем таблицу 7.1 .

Таблица 7.2. Ранжированный ряд

Вариант	1	2	3	4	5	6
Частота	3	4	3	3	6	1
Вероятность	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

При статистическом анализе экспериментальных данных главным образом используется дискретные величины. В таблице 7.3 приведены основные числовые характеристики этих величин, имеющих важное практическое значение при обработке экспериментальных данных.

Таблица 7.3. Числовые характеристики случайных величин

N п/п	Характеристика (параметр) случайной величины и ее обозначение	Формула для нахождения характеристики случайной величины	Примечание
1	Математическое ожидание	(2)	Характеризует положение случайной величины на числовой оси
2	Среднее значение	(3)	Если случайная величина независимая, то
3	Мода	Это такое значение , для которого наиболь-шее	Равна наиболее часто встречающемуся значению . Если таких значений в вариационном ряду несколько, то не определяется.
4	Медиана	Если четное, то Если нечетное, то	Это такое значение, которое находится в центре ранжированного ряда.
5	Дисперсия		Характеризует действительное рассеяние случайной величины вокруг среднего значения.
7	Коэффициент вариации	(6)	Наряду с дисперсией характеризует изменчивость случайной величины
8	Центрированное нормированное уклонение

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Случайные величины» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Случайные величины

Дискретные и непрерывные случайные величины

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины . Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания из множества возможных своих значений принимает только одно, причём заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными . Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг о друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z и т.д. Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими малыми буквами.

Запись
означает «вероятность того, что случайная величинаХ примет значение, равное 5, равна 0.28».

Пример 1 . Один раз бросают игральный кубик. При этом могут выпасть цифры от 1 до 6, обозначающие число очков. Обозначим случайную величину Х ={число выпавших очков}. Эта случайная величина в результате испытания может принять только одно из шести значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следовательно, случайная величина Х есть ДСВ.

Пример 2 . При бросании камня он пролетает некоторое расстояние. Обозначим случайную величину X ={расстояние полёта камня}. Эта случайная величина может принять любое, но только одно, значение из некоторого промежутка. Следовательно, случайная величина Х есть НСВ.

Закон распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина характеризуется значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины .

Если известны все возможные значения
случайной величиныХ и вероятности
появления этих значений, то считают, что закон распределения ДСВХ известен и он может быть записан в виде таблицы:

Закон распределения ДСВ можно изобразить графически, если в прямоугольной системе координат изобразить точки
,
, …,
и соединить их отрезками прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Пример 3 . В зерне, предназначенном для очистки, содержится 10% сорняков. Наугад отобраны 4 зерна. Обозначим случайную величину X ={число сорняков среди четырёх отобранных}. Построить закон распределения ДСВ Х и многоугольник распределения.

Решение . По условию примера . Тогда:

Запишем закон распределения ДСВ Х в виде таблицы и построим многоугольник распределения:

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Наиболее важные свойства дискретной случайной величины описываются её характеристиками. Одной из таких характеристик является математическое ожидание случайной величины.

Пусть известен закон распределения ДСВ Х :

Математическим ожиданием ДСВ Х называется сумма произведений каждого значения этой величины на соответствующую вероятность:
.

Математическое ожидание случайной величины приближённо равно среднему арифметическому всех её значений. Поэтому в практических задачах часто за математическое ожидание принимают среднее значение этой случайной величины.

Пример 8 . Стрелок выбивает 4, 8, 9 и 10 очков с вероятностями 0.1, 0.45, 0.3 и 0.15. Найти математическое ожидание числа очков при одном выстреле.

Решение . Обозначим случайную величину X ={число выбитых очков}. Тогда . Таким образом, ожидаемое среднее значение числа выбитых очков при одном выстреле равно 8.2, а при 10 выстрелах – 82.

Основными свойствами математического ожидания являются:

.

.

, где
,
.

.

, где Х и Y – независимые случайные величины.

Разность
называетсяотклонением случайной величины Х от её математического ожидания. Эта разность является случайной величиной и её математическое ожидание равно нулю, т.е.
.

Дисперсия дискретной случайной величины

Для характеристики случайной величины, кроме математического ожидания, используется и дисперсия , которая даёт возможность оценить рассеяние (разброс) значений случайной величины около её математического ожидания. При сравнении двух однородных случайных величин с равными математическими ожиданиями «лучшей» считается та величина, которая имеет меньший разброс, т.е. меньшую дисперсию.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .

В практических задачах для вычисления дисперсии используют равносильную формулу .

Основными свойствами дисперсии являются:

.