В обычный день над пустынной равниной или над морем электрический потенциал по мере подъема возрастает с каждым метром примерно на . В воздухе имеется вертикальное электрическое поле величиной . Знак поля отвечает отрицательному заряду земной поверхности. Это означает, что на улице потенциал на уровне вашего носа на выше, чем потенциал на уровне пяток! Можно, конечно, спросить: «Почему бы не поставить пару электродов на воздухе в метре друг от друга и не использовать эти для электрического освещения?» А можно и удивиться: «Если действительно между моим носом и моей пяткой имеется напряжение , то почему же меня не ударяет током, как только я выхожу на улицу?»

Сперва ответим на второй вопрос. Ваше тело - довольно хороший проводник. Когда вы стоите на земле, вы вместе с нею образуете эквипотенциальную поверхность. Обычно эквипотенциальные поверхности параллельны земле (фиг. 9.1, а), но когда на земле оказываетесь вы, то они смещаются, и поле начинает выглядеть примерно так, как показано на фиг. 9.1, б. Так что разность потенциалов между вашей макушкой и пятками почти равна нулю. С земли на вашу голову переходят заряды и изменяют поле вокруг вас. Часть из них разряжается ионами воздуха, но ионный ток очень мал, ведь воздух плохой проводник.

Фигура 9.1. Распределение потенциала: а - над землей; б - около человека, стоящего на ровном месте.

Как же измерить такое поле, раз оно искажается от всего, что в него попадает? Имеется несколько способов. Один способ - расположить изолированный проводник на какой-то высоте над землей и не трогать его до тех пор, пока он не приобретет потенциал воздуха. Если подождать довольно долго, то даже при очень малой проводимости воздуха заряды стекут с проводника (или натекут на него), уравняв его потенциал с потенциалом воздуха на этом уровне. Тогда мы можем опустить его к земле и измерить изменение его потенциала. Другой более быстрый способ - в качестве проводника взять ведерко воды, в котором имеется небольшая течь. Вытекая, вода уносит излишек заряда, и ведерко быстро приобретает потенциал воздуха. (Заряды, как вы знаете, растекаются по поверхности, а капли воды - это уходящие «куски поверхности».) Потенциал ведра можно измерить электрометром.

Имеется еще способ прямого измерения градиента потенциала. Раз существует электрическое поле, то должен быть и поверхностный заряд на земле (). Если мы поместим у поверхности земли плоскую металлическую пластинку и заземлим ее, то на ней появятся отрицательные заряды (фиг. 9.2, а). Если затем прикрыть пластинку другой заземленной проводящей крышкой , то заряды появятся уже на крышке , а на пластинке исчезнут. Если мы измерим заряд, перетекающий с пластинки на землю (скажем, с помощью гальванометра в цепи заземляющего провода) в тот момент, когда закрывают крышкой, то мы найдем плотность поверхностного заряда, бывшего на , а значит, и электрическое поле.

Рассмотрев способы измерения электрического поля в атмосфере, продолжим теперь его описание. Измерения прежде всего показывают, что с увеличением высоты поле продолжает существовать, только становится слабее. На высоте примерно поле уже еле-еле заметно, так что большая часть изменения потенциала (интеграла от ) приходится на малые высоты. Вся разность потенциалов между поверхностью земли и верхом атмосферы равна почти .

Фигура. 9.2. Заземленная металлическая пластинка обладает тем же поверхностным зарядом, что и земля (а); если пластинка прикрыта сверху заземленным проводником, на ней заряда нет (б).

Электрическое поле характеризуется тем, что работа перемещения заряда в поле не зависит от пути перехода из начального положения и является функцией только начального и конечного положений. Работа перемещения заряда по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Из этих фактов следует, что электростатическое поле носит потенциальный характер и характеризуется особой величиной –
потенциалом . Величина

Где W р – потенциальная энергия заряда q , называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряженностью поля для описания электрических полей.

Как следует из приведенной формулы, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

В то время, как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов проще, чем вычисление напряженностей поля.

Из (12) вытекает, что заряд q , находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией

Следовательно, работа сил над зарядом q может быть выражено через разность потенциалов

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках .

Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бес­конечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил поля равна

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при уда­лении его из денной точки на бесконечность.

Последнее соотношение модно использовать для установления еди­ниц измерения потенциала. За единицу потенциала следует принять потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из беско­нечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ - единицу потенциала, называе­мую вольтом (В), принимается потенциал в такой точке, для переме­щения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1Дж: 1Дж= 1Кл*1В.

Отсюда 1В =1Дж/1Кл.

Эквипотенциальные поверхности .

Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженнос­тей воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипо­тенциальными поверхностями.

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.

Если потенциал задан как функция X, Y, Z , то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

(x,y,z) = const.

Эти поверхности проводятся в пространстве таким образом, чтобы численное значение потенциала на двух соседних поверхностях от­личалось повсюду на одинаковую величину ∆ (например на I В).

В качестве примера рассмотрим эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда . Отсюда следует, что при r = const т.е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.

Проведем на рис.4 линии напряженности поля. Эти линии выходят из точечного заряда и направ­лены вдоль радиусов, т.е. перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Эта взаимная перпендикулярность линий поля и эквипотенциальных поверхностей остается справедливой и для сколь угодно сложных электро­статических полей.

Градиент потенциала. Связь между напряжен­ностью и потенциалом.

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины , либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что пропорционально силе, действующей на заряд, а - потенциальной энергии заряда, легко сообра­зить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенци­альной энергией и силой. .

Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl мо­жет быть представлена с одной стороны, как

где - проекция вектора напряженности на направление элемен­тарного перемещения с другой стороны, как убыль потенциальной энергии заряда, т.е. - . Приравнивая эти выражения, получим: , откуда находим, что , где через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве.

7. Градиент электрического потенциала и вектор е. Силовые линии поля. Эквипотенциальные поверхности.

8.Диполь в электрическом поле. Поле диполя. Момент сил, действующих на диполь. Энергия диполя в роле.

9.Поле внутри проводника и у его поверхности. Свойства замкнутой проводящей оболочки. Электростатическая защита.

10. Классическая теория электропроводности металлов. Пределы её применимости.

11.Электрический ток в вакууме и газах. Несамостоятельный и самостоятельный газовый разряд.

12. Электрический ток в жидкостях. Законы электролиза Фарадея.

13. Электроёмкость уединённого проводника. Ёмкость проводника, имеющёго форму шара радиусом r. Единица ёмкости

14. Параллельное и последовательное соединение конденсаторов. Ёмкость плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов.

15. Электростатическое поле в диэлектрике. Полярные и неполярные диэлектрики.

16)Диэлектрическая восприимчивость. Свободные и связные заряды.

Зависимость от времени

17)Электрическая индукция. Теорема Гаусса для поля вектора d. Дифференциальная форма теоремы.

18) Связь между векторами d и e. Диэлектрическая проницаемость.

19) Граничные условия для векторов e и d. Преломление линий e и d. Поле в однородном диэлектрике.

20) Энергия взаимодействия системы точечных зарядов; зарядов распределенных непрерывно по объему и по поверхности

21) Энергия уединенного проводника. Энергия конденсатора.

22) Плотность энергии электрического поля (на примере плоского конденсатора)

23) Постоянный ток. Единица измерения. Плотность тока. Уравнение непрерывности

24)Диффиринциальная форма ур-я непрывности. Условие стационарности.

25) Сторонние силы. Эдс. Напряжение. Обобщенный закон Ома.

26) Закон Ома для замкнутой цепи, участка цепи, содержащего эдс.

27) Дифференциальная форма закона Ома.

28) Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

29) Закон Джоуля-Ленца. Дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца

30. Магнитное поле. Сила Лоренца. Сила Ампера.

32.Магнитное поле прямолинейного тока,кругового тока.Сила взаимодействия прямолинейных токов.

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током.

33.Дивергенция, циркуляция, ротор и поток магнитной индукции.

34.Графическое представление поля в. Теорема Гаусса для поля в.

35.Закон полного тока. Потенциальные и соленоидные векторные поля

36.Магнитное поле прямого тока, бесконечного соленоида, тороида.

37.Дифференциальная форма основных законов магнитного поля. Дивергенция и ротор поля b.

38.Магнитный момент. Силы, действующие на магнитный момент и его энергия в магнитном поле.

39. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле.

40.Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном поле.Эффект Холла.

41. Магнитные свойства вещества. Пара-, диа-, ферро-, ферри- и антиферромагнетики.

42. Опыт Эйнштейна – де Гааза. Опыт Барнета. Магнетомеханическое отношение спин электрона.

43. Магнитная восприимчивость и проницаемость. Намагничивание вещества. Напряжённость магнитного поля.

44. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Правило Ленца.

45. Природа электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле.

46. Способы измерения индукции магнитного потока. Единица измерения магнитного потока.

48. Взаимная индукция. Теорема взаимности.

49. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля.

50. Энергия магнитного поля. Изолированный контур с током.

51. Магнитная энергия тока. Плотность энергии магниного поля. Энергия соленоида.

52. Переменный ток. Конденсатор, индуктивность и сопротивление в цепи переменного тока.

54. Колебательный контур. Свободные и затухающие колебания.

55. Вынужденные колебания. Резонанс.

56. Уравнение Максвелла. Интегральная и дифференциальная форма уравнений. Вектор Пойнтинга. Физический смысл уравнений Максвелла.

57. Ток смещения. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

58. Электормагнитные волны. Волновое уравнение. Поляризация. Плоские, сферические и цилиндрические волны.

59. Проводимость полупроводников. Элементы зонной теории кристаллов.

60. Собственные и примесные полупроводники. Дрейфовый и диффузные токи. P-n переходы.

7. Градиент электрического потенциала и вектор е. Силовые линии поля. Эквипотенциальные поверхности.

Градиент (потенциала) – вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции :

, (9)

где , – координатные орты.

Величина этого вектора равна изменению потенциала при перемещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения.

Длина градиента (потенциала) равна

. (10)

Из механики известно, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком, т.е.

, (11)

где
– символический вектор, называемый оператором Гамильтона или оператором набла .

Для электростатического поля имеем:

Тогда соотношение (11) принимает вид

,

или

, (12)

т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

Знак минус в (12) показывает, что вектор направлен противоположно вектору градиента потенциала , и силовые линии электрического поля являются линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро.

Очевидно, что проекция вектора на произвольное направление l равна со знаком минус частной производной потенциала по данному направлению:

. (13)

В случае однородного электрического поля (поля плоского конденсатора), в любой точке которого вектор напряженности постоянен как по величине, так и по направлению, имеем простое соотношение:

, (14)

где
– разность потенциалов или напряжение между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями);

– расстояние между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью , для которой

. (15)

Перенос заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не требует работы (разность потенциалов двух любых точек этой поверхности равна нулю). Это означает, что сила, действующая на переносимый заряд, перпендикулярна к перемещению.

Следовательно, вектор всегда направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, т.е. линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной поверхности.

Итак, можно сделать важный вывод о том, что электрическое поле полностью можно описать векторной величиной – напряженностью . Но во многих случаях оказывается, что для вычисления напряженности электрического поля удобнее сначала определить потенциал φ и затем по формуле

вычислить напряженность
.

Силовые линии - направленные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля. Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии .

Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определитьмежду двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:

Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рисунке 3.4.

При перемещении по этой поверхности на dl потенциал не изменится:

Отсюда следует, что проекция вектора на dl равнанулю, то есть Следовательно, в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине

1. Из формул (8.1)

следует, что

где означает производную по направлению вектора ds (см. приложение, § 2). По определению понятия градиента эта пространственная производная скаляра совпадает со слагающей его градиента по направлению уравнение (4]:

Таким образом,

Так как это равенство проекций векторов должно иметь место при любом выборе направления то и векторы эти должны быть равны друг другу:

Таким образом, напряженность электростатического поля равна градиенту электростатического потенциала взятому с обратным знаком.

Так как градиент потенциала направлен в сторону его возрастания и является мерой быстроты этого возрастания, то можно сказать, что напряженность электрического поля есть мера быстроты спадания потенциала, или, просто, что она равна спаду потенциала. Направление напряженности поля совпадает с направлением ортогональных траекторий эквипотенциальных поверхностей (см. приложение, § 2). Поэтому эти ортогональные траектории (линии градиента) совпадают с линиями электрических сил, или силовыми линиями.

2. Электрической силовой линией называется линия, касательные к которой в каждой ее точке совпадают по направлению с вектором напряженности электрического поля в той же точке (т. е. с направлением электрической силы, действующей на единичный положительный заряд). Очевидно, что через каждую точку поля, в которой можно провести одну и только одну силовую линию. В каждой такой точке вектор имеет вполне определенное направление. Отложив из произвольно малый отрезок в направлении мы придем в точку в которой вектор может иметь иное направление, чем в Отложив из произвольно малый отрезок в соответствующем направлении, мы придем в новую точку в которой можем опять повторить ту же операцию, и т. д. Полученная таким образом ломаная линия в пределе, при беспредельном уменьшении составляющих ее отрезков, совпадает с искомой силовой линией.

Чтобы получить аналитическое уравнение силовых линий, достаточно учесть, что элемент длины силовой линии параллелен напряженности поля т. е. что слагающие его по осям координат пропорциональны слагающим вектора Е:

Уравнения (10.3) эквивалентны системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, например интегралы которых имеют вид: где постоянные интегрирования. Совокупность этих последних уравнений и представляет собою уравнение силовой линии. Произвол в выборе постоянных соответствует возможности произвольно выбрать координаты той точки поля, через которую мы желаем провести данную силовую линию.

Физики XIX в. долгое время стремились объяснить электромагнитные явления деформациями и вихревыми движениями особой всепроникающей гипотетической среды - эфира; они полагали, что силовые линии совпадают с осями деформации (или осями кручения), испытываемой эфиром в электрическом поле. Однако к началу XX в. выяснилась полная несостоятельность механистической теории эфира, и в настоящее время, пользуясь понятием «силовых линий», нужно помнить, что понятие это имеет условно-вспомогательное значение и что силовые линии служат лишь для графического изображения направления электрического вектора.

3. Впрочем, подобно тому как при надлежащем способе черчения эквипотенциальных поверхностей густота их расположения может служить мерой градиента потенциала, т. е. мерой напряженности поля, подобно этому и силовыми линиями можно воспользоваться для той же цели.

Нанести на чертеж все силовые линии, проходящие через каждую точку поля и заполняющие собой все занимаемое полем пространство, конечно, невозможно. Обыкновенно силовые линии чертятся с таким расчетом, чтобы в любом участке поля число линий, пересекающих перпендикулярную к ним площадку единичной поверхности, было по возможности пропорционально

напряженности поля на этой площадке. В таком случае густота расположения силовых линий может служить мерой напряженности поля. При этом число линий, пересекающих произвольный элемент поверхности будет, очевидно, пропорционально произведению напряженности и проекции элемента на плоскость, перпендикулярную к Это произведение равно потоку вектора через элемент Поэтому вместо термина «поток вектора через данную поверхность» употребляют иногда выражение «число силовых линий, пересекающих данную поверхность». Это число линий считается положительным или отрицательным в зависимости от того, пересекают ли силовые линии данную поверхность в направлении положительной (внешней) или отрицательной (внутренней) нормали к ней.

Отметим, что при указанном способе черчения силовых линий общее число этих линий, пересекающих любую замкнутую поверхность должно быть пропорциональным алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри ибо, согласно теореме Гаусса (3.6), сумма этих зарядов пропорциональна потоку вектора через При этом, конечно, определяя число линий, пересекающих мы каждую из них должны брать с надлежащим знаком или

В частности, число силовых линий, пересекающих любую, не содержащую зарядов, замкнутую поверхность, равно нулю. Иными словами, число (положительное) линий, выходящих из ограниченного поверхностью объема, равно (отрицательному) числу линий, входящих в него. Отсюда следует, что в свободных от зарядов участках поля силовые линии не могут ни начинаться, ни оканчиваться. С другой стороны, линии эти не могут

также быть замкнутыми. В противном случае, линейный интеграл по каждой из замкнутых линий сил был бы отличен от нуля (ибо элементы линий сил параллельны стало быть, подынтегральное выражение существенно положительно), что противоречит уравнению (7.3). Стало быть, в электростатическом поле линии сил либо начинаются и оканчиваются на электрических зарядах, либо одним своим концом уходят в бесконечность.

Таким образом, для получения правильной картины поля достаточно, очевидно, от каждого элемента заряда провести число линий, пропорциональное величине этого заряда.

Для незамкнутых линий, впрочем, существует, помимо перечисленных, еще третья возможность: они могут при безграничном продолжении, не пересекаясь и не замыкаясь, всюду плотно заполнять некоторый ограниченный участок пространства. С такого рода магнитными силовыми линиями мы познакомимся в гл. IV. Однако для силовых линий электростатического поля эта возможность исключена, ибо линия, заполняющая некоторый участок пространства, должна при достаточном продолжении как угодно близко подходить к ранее пройденным ею точкам. Если суть две такие бесконечно близкие точки на подобной силовой линии то интеграл по этой линии будет существенно положителен и будет обладать конечной величиной. Вместе с тем, если только вектор конечен, этот интеграл должен отличаться лишь на бесконечно малую величину от интеграла по замкнутому контуру, образованному отрезком силовой линии и бесконечно малым отрезком прямой, соединяющей Но последний интеграл, согласно (7.3), равен нулю, т. е. отличается на конечную величину от Этим противоречием и доказывается невозможность существования силовых линий указанного типа.

Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению положительного единичного точечного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х 2 -х 1 =dх, равна Exdх . Та же работа равна . Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор Е:

где i, j, к - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента (12.4) и (12.6), следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определится тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля,как и в случае поля тяготения (см. § 25), пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал φ имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно (84.5),

. Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы ^разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.