Что такое одночлен и многочлен. Многочлены. Разложение многочлена на множители: способы, примеры

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было надо еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Определение 1

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , 0 , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.

Рассмотрим еще определения.

Определение 2

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

Определение 3

Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен .

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и - 3 , 5 х и 2 х. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

Определение 4

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и - 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Определение 6

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Определение 7

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Определение 8

Степень многочлена произвольного числа - это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Пример 1

Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .

Решение

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.

Ответ : 6 .

Коэффициенты членов многочлена

Определение 9

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы.

Например, 3 a 2 b 4 , b d 3 , – 17 a b c - одночлены.

Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными , если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.

Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:

a x 3 y 2 – 5 b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = (a – 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2 .

Эта операция называется приведением подобных членов . Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки .

Умножение одночленов . Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.

П р и м е р: 5 a x 3 z 8 (– 7 a 3 x 3 y 2 ) = – 35 a 4 x 6 y 2 z 8 .

Деление одночленов . Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

П р и м е р: 35 a 4 x 3 z 9: 7 a x 2 z 6 = 5 a 3 x z 3 .

Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов . Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, а из трех членов - трехчленом . Одночлены принято рассмат­ривать как частный случай многочленов - считают, что это многочлены, состоящие из одного члена.

Если все члены многочлена являются одночленами стан­дартного вида и среди них нет подобных членов, то такой мно­гочлен называют многочленом стандартного вида.

Представим в стандартном виде многочлен Заb-а 2 +b-2аb + 5b.

Для этого достаточно привести подобные слагаемые, т. е. подобные члены этого многочлена: Заb – а 2 + b - 2аb + 5b_ = аb - а 2 + 6b.

Если многочлен стандартного вида содержит одну перемен­ную, то его члены обычно располагают в порядке убывания ее степеней. При этом свободный член многочлена, т. е. член, не содержащий буквы, помещают на последнем месте.

Например, многочлен 5х 2 + 1 - х 3 + 4х записывают так: -х 3 + 5х 2 + 4х - 1.

Наибольший показатель степени, в которой переменная вхо­дит в этот многочлен, равен 3. Говорят, что -х 3 +- 5х 2 + 4х - 1 - многочлен третьей степени .

Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение.

Определение 3.3. Одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и степеней с натуральным показателем.

Например, каждое из выражений ,
,
является одночленом.

Говорят, что одночлен имеет стандартный вид , если он содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью. Числовой множитель одночлена, записного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена . Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех его переменных.

Определение 3.4. Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена .

Подобные слагаемые – одночлены в многочлене – называют подобными членами многочлена .

Определение 3.5. Многочленом стандартного вида называют многочлен, в котором все слагаемые записаны в стандартном виде и приведены подобные члены. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, – многочлен стандартного вида четвертой степени.

Действия над одночленами и многочленами

Сумму и разность многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. При сложении двух многочленов записываются все их члены и приводятся подобные члены. При вычитании знаки всех членов вычитаемого многочлена меняются на противоположные.

Например:

Члены многочлена можно разбивать на группы и заключать в скобки. Поскольку это тождественное преобразование, обратное раскрытию скобок, то устанавливается следующее правило заключения в скобки : если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с их знаками; если перед скобками ставится знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками.

Например,

Правило умножения многочлена на многочлен : чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Например,

Определение 3.6. Многочленом от одной переменной степени называют выражение вида

где
– любые числа, которые называют коэффициентами многочлена , причем
,– целое неотрицательное число.

Если
, то коэффициентназываютстаршим коэффициентом многочлена
, одночлен
– его старшим членом , коэффициент – свободным членом .

Если вместо переменной в многочлен
подставить действительное число, то в результате получится действительное число
, которое называютзначением многочлена
при
.

Определение 3.7. Число называют корнем многочлена
, если
.

Рассмотрим деление многочлена на многочлен, где
и- натуральные числа. Деление возможно, если степень многочлена-делимого
не меньше степени многочлена-делителя
, то есть
.

Разделить многочлен
на многочлен
,
,– значит найти два таких многочлена
и
, чтобы

При этом многочлен
степени
называютмногочленом-частным ,
– остатком ,
.

Замечание 3.2. Если делитель
– не нуль-многочлен, то деление
на
,
, всегда выполнимо, а частное и остаток определяются однозначно.

Замечание 3.3. В случае, когда
при всех , то есть

говорят, что многочлен
нацело делится (или делится ) на многочлен
.

Деление многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел: сначала старший член многочлена-делимого делят на старший член многочлена-делителя, затем частное от деления этих членов, которое будет старшим членом многочлена-частного, умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. В результате получают многочлен – первый остаток, который делят на многочлен-делитель аналогичным образом и находят второй член многочлена-частного. Этот процесс продолжают до тех пор, пока получится нулевой остаток или степень многочлена остатка будет меньше степени многочлена-делителя.

При делении многочлена на двучлен можно воспользоваться схемой Горнера.

Схема Горнера

Пусть требуется разделить многочлен

на двучлен
. Обозначим частное от деления как многочлен

а остаток – . Значение, коэффициенты многочленов
,
и остатокзапишем в следующей форме:

В этой схеме каждый из коэффициентов
,
,
, …,получается из предыдущего числа нижней строки умножением на числои прибавлением к полученному результату соответствующего числа верхней строки, стоящего над искомым коэффициентом. Если какая-либо степеньв многочлене отсутствует, то соответствующий коэффициент равен нулю. Определив коэффициенты по приведенной схеме, записываем частное

и результат деления, если
,

или ,

если
,

Теорема 3.1. Для того чтобы несократимая дробь (

,

) была корнем многочлена
с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы числобыло делителем свободного члена, а число- делителем старшего коэффициента.

Теорема 3.2. (Теорема Безу ) Остаток от деления многочлена
на двучлен
равен значению многочлена
при
, то есть
.

При делении многочлена
на двучлен
имеем равенство

Оно справедливо, в частности, при
, то есть
.

Пример 3.2. Разделить на
.

Решение. Применим схему Горнера:

Следовательно,

Пример 3.3. Разделить на
.

Решение. Применим схему Горнера:

Следовательно,

,

Пример 3.4. Разделить на
.

Решение.

В итоге получаем

Пример 3.5. Разделить
на
.

Решение. Проведем деление многочленов столбиком:

Тогда получаем

.

Иногда бывает полезным представление многочлена в виде равного ему произведения двух или нескольких многочленов. Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители . Рассмотрим основные способы такого разложения.

Вынесение общего множителя за скобки. Для того чтобы разложить многочлен на множители способом вынесения общего множителя за скобки, необходимо:

1) найти общий множитель. Для этого, если все коэффициенты многочлена – целые числа, в качестве коэффициента общего множителя рассматривают наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена, а каждую переменную, входящую во все члены многочлена, берут с наибольшем показателем, который она имеет в данном многочлене;

2) найти частное от деления данного многочлена на общий множитель;

3) записать произведение общего множителя и полученного частного.

Группировка членов. При разложении многочлена на множители способом группировки его члены разбиваются на две или более групп с таким расчетом, чтобы каждую из них можно было преобразовать в произведение, и полученные произведения имели бы общий множитель. После этого применяется способ вынесения за скобки общего множителя вновь преобразованных членов.

Применение формул сокращенного умножения. В тех случаях, когда многочлен, подлежащий разложению на множители, имеет вид правой части какой-либо формулы сокращенного умножения, его разложение на множители достигается применением соответствующей формулы, записанной в другом порядке.

Пусть

, тогда справедливы следующиеформулы сокращенного умножения:

Для :
Если нечетное ( ):
Бином Ньютона: где – число сочетаний изпо.

Введение новых вспомогательных членов. Данный способ заключается в том, что многочлен заменяется другим многочленом, тождественно равным ему, но содержащим другое число членов, путем введения двух противоположных членов или замены какого-либо члена тождественно равной ему суммой подобных одночленов. Замена производится с таким расчетом, чтобы к полученному многочлену можно было применить способ группировки членов.

Пример 3.6. .

Решение. Все члены многочлена содержат общий множитель
. Следовательно,.

Ответ: .

Пример 3.7.

Решение. Группируем отдельно члены, содержащие коэффициент , и члены, содержащие. Вынося за скобки общие множители групп, получаем:

.

Ответ:
.

Пример 3.8. Разложить на множители многочлен
.

Решение. Используя соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:

Ответ: .

Пример 3.9. Разложить на множители многочлен
.

Решение. Используя способ группировки и соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:

.

Ответ: .

Пример 3.10. Разложить на множители многочлен
.

Решение. Заменим на
, сгруппируем члены, применим формулы сокращенного умножения:

.

Ответ:
.

Пример 3.11. Разложить на множители многочлен

Решение. Так как ,
,
, то

19. Возьмем формулу

мы ее читали так: «разность числе a и b». Мы можем в этой формуле число a заменить нулем; тогда она обратится в

0 – b или просто в –b.

Из нуля вычесть b значит, согласно тому, что мы знаем о вычитании относительных чисел, к нулю приписать число b, взятое с обратным знаком. Поэтому выражение –b должно понимать, как число, обратное по знаку числу b. Если, напр., b = +5, то –b = –5; если b = –4, то –b = +4 и т. п. Если мы напишем выражение +a, то его надо понимать, как число, равное числу a. Если a = +5, то +a = +5; если a = –4, то +a = 4 и т. п.

Поэтому формулу

мы можем понимать, без различия результата, или в смысле

или в смысле

Таким образом мы всегда можем заменять вычитание сложением и всякую разность понимать, как сумму двух чисел:
a – b есть сумма чисел a и (–b)
x – y есть сумма чисел x и (–y)
–a – b есть сумма чисел (–a) и (–b) и т. п.

Те формулы, где, с точки зрения арифметики, имеют место несколько сложений и вычитаний, напр.,

a – b + c + d – e – f,

мы можем теперь, с точки зрения алгебры, понимать только, как сумму, а именно:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Поэтому принято подобные выражения называть именем «алгебраическая сумма».

20. Возьмем какую-нибудь алгебраическую сумму

a – b – c или –3bc² + 2ab – 4a²b и т. п.

Принято называть эти выражения именем многочлен , причем это слово заменяет собою слово «сумма» или название «алгебраическая сумма». Мы знаем что

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) и т. п.

Отдельно каждое слагаемое называют именем член многочлена.

Первый многочлен,

состоит из трех членов: (+a), (–b) и (+c).

Второй многочлен,

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

состоит из четырех членов: (–abc), (–3bc²), (+2ab) и (–4a²b).

Слагаемые суммы можно переставлять в любом порядке:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Это свойство суммы теперь можно выразить иначе: члены многочлена можно переставлять в любом порядке. Это и сделано выше для многочлена –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, притом так, что впереди теперь оказался член (+2ab). Это позволило несколько упростить выражение: впереди знак + можно не писать. Конечно, надо подобные перестановки делать сразу, не заключая предварительно (как выше) каждое слагаемое в скобки.

Еще пример:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

Первый член этого многочлена был первоначально (+1) – знак + подразумевался перед единицею; когда мы переносим этот член на другое, кроме первого, место (выше мы перенесли его на последнее место), то уже этот знак + пропускать нельзя.

Мы можем заметить, что в предыдущем примере мы перестановкою членов многочлена достигли некоторого порядка: на первом месте стоит член с буквою a в 4-ой степени, на следующем – член с буквою a в 3-ей степени, потом идет член с буквою a во 2-ой степени, потом – a в 1-ой степени и, наконец, член, где буквы a вовсе нет.

Подобное расположение членов многочлена выражают словами «многочлен расположен по нисходящим степеням буквы a».

Вот еще примеры подобного расположения:

3x 5 – 2ax 3 + b (по нисходящим степеням буквы x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (по нисходящим степеням буквы a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (по нисходящим степеням буквы b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (по нисходящим степеням буквы x).

Употребляют часто и обратное «по восходящим степеням» расположение, при котором степень избранной буквы постепенно повышается, причем в 1-м члене или вовсе этой буквы нет, или она имеет здесь наименьшую степень сравнительно с другими членами. О втором из предыдущих примеров мы могли бы сказать, что здесь многочлен расположен по восходящим степеням буквы b. Вот примеры:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (по восходящим степеням буквы a );
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (по восходящим степеням буквы х );
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (по восходящим степеням буквы x );
a 3 – 2ab + b 2 (по восходящим степеням буквы b или по нисходящим степеням буквы a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (по нисходящим степеням буквы x или по восходящим степеням буквы y ).

21. Многочлен о двух членах называется двучленом (напр., 3a + 2b), о трех членах – трехчленом (напр., 2a² – 3ab + 4b²) и т. д. Возможно говорить о сумму из одного слагаемого (другое слагаемое равно нулю), или о многочлене об одном члене. Тогда уже, конечно, название «многочлен» неуместно и употребляется название «одночлен». Каждый член любого многочлена, взятый в отдельности, является одночленом. Вот примеры простейших одночленов:

2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; и т. д.

Почти все одночлены из выше написанных являются произведениями двух или более множителей, причем у большинства из них имеются и числовой множитель и буквенные. Напр., в одночлене –3abc имеется числовой множитель –3 и буквенные множители a, b и c; в одночлене 4x³ имеется числовой множитель +4 (знак + подразумевается) и буквенный множитель x³ и т. д. Если бы мы написали одночлен с несколькими числовыми множителями (а также и с буквенными), вроде следующего

,

то удобнее, переставив множителей так, чтобы числовые множители оказались рядом, т. е.

,

эти числовые множители перемножить – получим

–4a²bc² (точки, знаки умножения пропускаем).

Принято также, в громадном большинстве случаев, числовой множитель писать впереди. Пишут:

4a, а не a 4
–3a²b, а не a²(–3)b

Числовой множитель одночлена называется коэффициентом.

Если в одночлене не написан числовой множитель, например, ab, то можно всегда его подразумевать. В самом деле

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ и т. п.

Итак, у одночленов a², ab, ab² подразумевается, у каждого, коэффициент 1 (точнее: +1). Если напишем одночлены –ab, –a², –ab² и т. п., то у них должно подразумевать коэффициент –1.

22. Более сложные примеры многочленов и одночленов.

(a + b)² + 3(a – b)² … эта формула выражает сумму двух слагаемых: первым является квадрат суммы чисел a и b, а вторым – произведение числа 3 на квадрат разности тех же чисел. Поэтому эту формулу должно признать двучленом: первый член есть (a + b)² и второй 3(a – b)². Если взять выражение (a + b)² отдельно, то в силу предыдущего, его надо считать одночленом, причем его коэффициент = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) … должно признать за трехчлен (сумма трех слагаемых): первый член есть a(b – 1) и его коэффициент = +1, второй член –b(a – 1), его коэффициент = –1, третий член –(a – 1)(b – 1), его коэффициент = – 1.

Иногда искусственно уменьшают число членов многочлена. Так трехчлен

можно, например, рассматривать за двухчлен, причем a + b, например, считают за один член (за одно слагаемое). Чтобы это яснее отметить, пользуются скобками:

Тогда у члена (a + b) подразумевается коэффициент +1

[в самом деле (a + b) = (+1)(a + b)].

В 7-м классе школьникам в рамках курса алгебры предстоит знакомство с новыми понятиями и темами. Для них открываются новые двери в увлекательном лабиринте под названием математика. В том числе начинается изучение одночленов и многочленов, а так же их применение.

Что это такое?

Для начала разберемся в понятиях. В математике есть много специфических выражений, многие из которых имеют свои закрепившиеся названия. Одно из таких слов — одночлен . Это математический термин, состоящий из произведения чисел, переменных, каждая из которых может входить в произведение в некоторой степени. Многочлен, согласно определению, это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов. Часто возникает необходимость привести одночлен к его стандартному виду. Для этого нужно перемножить все числовые множители, присутствующие в одночлене, и поставить получившееся число на первое место. Потом перемножить все степени, у которых одинаковые буквенные основания. Многочлен так же приводят к стандартному виду, он являет собой произведение, составленное из числового множителя и степеней различных переменных.

Подводные камни

Казалось бы, ничего, на первый взгляд, фатально сложного, но для современных школьников существует ряд обстоятельств, которые могут омрачить картину. Большое количество предметов школьной программы, тотальная нехватка учебных часов, гуманитарный склад ума у многих детей, а также элементарная усталость могут сильно затруднить усвоение нового материала. Нередко случается так, что ребенок, не поняв что-то, стесняется или боится спросить учителя, а самостоятельно осилить тему у него не получается, и начинаются сложности.

Решаем проблему

Чтобы избежать этих «подводных камней», существует несколько способов. Во-первых, родителям школьников стоит обращать внимание на то, как их ребенок справляется с программой в целом и с пройденными темами в частности. Это не должно иметь форму жесткого надзора или контроля над ребенком, но целью нужно ставить формирование ответственного и серьезного подхода к учебе. Залогом этого есть доверительные отношения, но никак не страх.

Довольно распространенная ситуация в школе, когда ребенок, не понял новую тему до конца, боится насмешек одноклассников и неодобрения учителя, поэтому предпочитает молчать о своей заминке. Отношения с педагогами ведь тоже бывают разными, к сожалению, не всем учителям удается найти подход к детям, как показывает практика. И тут есть несколько вариантов выхода:

• посещение дополнительных занятий в школе, если таковые есть;
• уроки с репетитором;
• обучение через Интернет с помощью специальных учебных ресурсов.

В первых двух случаях есть недостатки, которые заключаются во временных и денежных ресурсах, особенно это касается репетиторства. Третий же удобен тем, что такой вариант обучения:

• бесплатный;
• можно учиться в любое удобное время;
• нет психологического дискомфорта для ученика, боязни насмешек, и т.д.
• всегда можно просмотреть видеоурок еще раз, если с первого раза что-то непонятно.

Несомненно, положительных сторон здесь больше, поэтому родителям стоит взять на заметку, что ребенку можно предложить именно такой вариант дополнительных занятий. Вполне возможно, что сначала школьник не воспримет с энтузиазмом это предложение, но, попробовав, он оценит его плюсы. Из года в год нагрузка по предметам в школе возрастает, в 7-м классе она уже вовсе нешуточная.

На нашем интернет-ресурсе ребенок легко сможет найти урок по теме, которая возможно представляет для него трудности, к примеру, «Многочлен. Приведение к стандартному виду». Разобравшись в нем, дальнейший материал он сможет понимать и осваивать гораздо проще и легче.