Что такое периметр и как его найти? Что такое периметр и его применение на практике Что такое периметр и как его находить

Не многие формулы из курса школьной математики мы применяем в повседневной жизни. Однако, есть такие уравнения, которые имеют применение, если не на регулярной основе, то время от времени. Одна из таких формул - вычисление периметра фигуры.

Что такое периметр?

Периметром называют суммарную длину всех сторон геометрической фигуры. Для его обозначения используется буква латинского алфавита «Р». Проще говоря, чтобы найти периметр, необходимо измерить длины всех сторон геометрической фигуры и сложить полученные значения. Длина вычисляется обычным измерительным прибором, таким как линейка, рулетка, сантиметровая лента и прочее.

Единицей измерения соответственно являются сантиметры, метры, миллиметры и другие меры длины. Длина стороны многоугольника вычисляется путем прикладывания измерительного прибора от одной вершины к другой. Начало шкалы деления прибора должно совпадать с одной из вершин. Второе числовое значение, на которое попадает другая вершина и является длиной стороны многоугольника. Таким же образом необходимо измерить все длины сторон фигуры и полученные значения сложить. Единицей измерения периметра является та же самая единица, которая используется для измерения стороны фигуры.

Прямоугольником следует называть геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон разной длины и три угла у которой прямые. При построении такой фигуры на плоскости получается так, что стороны у нее будут попарно равны, но не равны все между собой. Что такое периметр прямоугольника? Это также суммарная длина всех длин фигуры. Но так как у прямоугольника по две стороны имеют одинаковое значение, то в вычислении периметра можно дважды сложить длины двух смежных сторон. Единицей измерения периметра прямоугольника также являются общепринятые единицы измерения.

Треугольником следует называть геометрическую фигуру, имеющую три угла (как разного значения, так и одинакового) и состоящую из отрезков, образованных от точек пересечения лучей, образующих углы. Треугольник имеет три стороны и три угла. В нем могут быть из трех равны две стороны. Такой треугольник следует считать равнобедренным. Бывают такие фигуры, в которых равны все три стороны между собой. Принято такие треугольники называть равносторонними.

Что такое периметр треугольника? Его вычисление можно провести по аналогии с периметром четырехугольника. Равен периметр треугольника суммарной длине длин его сторон. Вычисление периметра треугольника, в котором две стороны равны - равнобедренного - упрощается умножением одной длины равных сторон на два. К полученному значению необходимо прибавить значение длины третьей стороны. Вычисление периметра треугольника с равными сторонами можно свести к простому вычислению произведения одной длины стороны треугольника на три.

Прикладное значение периметра

Вычисление периметра в повседневной жизни применяется во многих сферах, но чаще всего при выполнении строительных, геодезических, топографических, архитектурных, планировочных работах. Но перечисленным сферы применения вычисления периметра, конечно же, не ограничиваются.

Например, при выполнении геодезических и топографических работ очень часто возникает необходимость посчитать периметр границ определенного участка. Но на практике участки редко имеют правильную форму. Поэтому вычисление длины периметра происходит по формуле расчета суммы длин всех сторон участка.

Необходимость вычисления периметра участка очень часто обусловлена тем, что необходимо знать, какое количество материала потребуется для установки ограждений. Даже простой приусадебный участок нуждается в измерении периметра для того, чтобы грамотно обнести его забором.

Измерительные приборы на местности

Для вычисления периметра на местности невозможно использование простой ученической линейки. Поэтому специалисты используют специальные приборы. Конечно, самый простой и доступный вариант - это измерение длины границы участка шагами. Размер шага взрослого человека составляет примерно один метр. Иногда один метр и двадцать сантиметров. Но этот способ очень неточный и дает большую погрешность в измерении. Он подходит в том случае, если нет необходимости точного вычисления длины границы, а есть потребность просто прикинуть примерную длину.

Для более точного вычисления длины сторон участка и, соответственно, периметра, существуют специальные приборы. В первую очередь, можно воспользоваться специальной металлической рулеткой или обычным проводом.

Также существуют специальные измерительные устройства, такие как дальномеры. Приборы бывают оптические, лазерные, световые, ультразвуковые. Следует помнить, что чем дальше дальномер способен измерять расстояние, тем выше у него погрешность. Такие приборы используются в геодезических и топографических съемках.

Периметр - это сумма длин всех сторон многоугольника.

Для вычисления периметра геометрических фигур используются специальные формулы, где периметр обозначается буквой «P». Название фигуры рекомендуется писать маленькими буквами под знаком «P», чтобы знать чей периметр ты находишь.
Периметр измеряется в единицах длины: мм, см, м, км и т.д.

Отличительные особенности прямоугольника

Прямоугольник – это четырехугольник.
Все параллельные стороны равны
Все углы = 90º.
Например в повседневной жизни прямоугольник может встречаться в виде - книги, монитора, крышки от стола или двери.

Как вычислить периметр прямоугольника

Существует 2 способа его нахождения:

1 способ. Складываем все стороны. P = a + а + b + b
2 способ. Сложить ширину и длину, и умножить на 2. P = (a + b) · 2. ИЛИ Р = 2 · а + 2 · b. Стороны прямоугольника, которые лежат друг против друга (противолежащие), называются длиной и шириной.

«a» - длина прямоугольника, более длинная пара его сторон.

«b» - ширина прямоугольника, более короткая пара его сторон.

Пример задачи на подсчет периметра прямоугольника:

Вычислите периметр прямоугольника, есть его ширина равна 3 см., а длина - 6.

Запомни формулы вычисления периметра прямоугольника!

Полупериметр - это сумма одной длины и одной ширины.

Полупериметр прямоугольника - когда выполняешь первое действие в скобках – (a+b) .
Чтобы из полупериметра получить периметр, нужно его увеличить в 2 раза, т.е. умножить на 2.

Как найти площадь прямоугольника

Формула площади прямоугольника S= a*b

Если в условии известна длина одной стороны и длина диагонали, то площадь найти можно, используя в таких задачах, теорему Пифагора, она позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника если известны длины двух других сторон.

: a 2 + b 2 = c 2 , где a и b – стороны треугольника, а с – гипотенуза, самая длинная сторона.

Помни!

Все квадраты – прямоугольники, но не все прямоугольники – квадраты. Так как:
- Прямоугольник - это четырехугольник со всеми прямыми углами.
- Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.
Если ты находишь площадь, ответ всегда будет в квадратных единицах (мм 2 , см 2 , м 2 , км 2 и т.д.)

Прямоугольник обладает многими отличительными особенностями, исходя из которых, выработаны правила вычисления его различных числовых характеристик. Итак, прямоугольник:

Плоская геометрическая фигура;
Четырехугольник;
Фигура, у которой противоположные стороны равны и параллельны, все углы прямые.

Периметр – это общая длина всех сторон фигуры.

Вычисление периметра прямоугольника — довольно простая задача.

Все, что вам нужно знать, это ширину и длину прямоугольника. Поскольку прямоугольник имеет две равные длины и две равные ширины, измеряется только одна сторона.

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме 2-х его сторон длины и ширины.

P = (a + b) 2, где a - длина прямоугольника, b - ширина прямоугольника.

Так же периметр прямоугольника можно найти при помощи суммы всех сторон.

P= a+a+b+b, где а– длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника.

Периметр квадрата - это длина стороны квадрата, умноженная на 4.

P = a 4, где a - длина стороны квадрата.

Дополнение: Нахождение найти площади и периметра прямоугольников

В программе обучения за 3 класс предусмотрено изучение многоугольников и их особенностей. Для того чтобы понять, как найти периметр прямоугольника и площадь, разберемся, что подразумевается под этими понятиями.

Основные понятия

Нахождение периметра и площади требует знания некоторых терминов. К ним относятся:

Прямой угол. Образуется из 2 лучей, имеющих общее начало в виде точки. При знакомстве с фигурами (3 класс) прямой угол определяют с помощью угольника.
Прямоугольник. Это четырехугольник, все углы которого являются прямыми. Его стороны называют длиной и шириной. Как известно, противоположные стороны этой фигуры равны.
Квадрат. Является четырехугольником, все стороны которого равны.

При знакомстве с многоугольниками их вершины могут называться АВСД. В математике принято именовать точки на чертежах буквами латинского алфавита. В названии многоугольника перечисляют все вершины без пропусков, например, треугольник ABC.

Вычисление периметра

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Эта величина обозначается латинской буквой P. Уровень знаний для предложенных примеров — 3 класс.

Задача №1: «Начертите прямоугольник 3 см шириной и 4 см длиной с вершинами ABCD. Найдите периметр прямоугольника ABCD».

Формула будет выглядеть так: P=AB+BC+CD+AD либо P=AB×2+BC×2.

Ответ: P=3+4+3+4=14 (см) либо P=3×2 + 4×2=14 (см).

Задача №2: «Как найти периметр прямоугольного треугольника ABC, если значения сторон равны 5, 4 и 3 см?».

Ответ: P=5+4+3=12 (см).

Задача №3: «Найдите периметр прямоугольника, одна сторона которого равна 7 см, а другая на 2 см длиннее».

Ответ: P=7+9+7+9=32 (см).

Задача №4: «Соревнования по плаванию проходили в бассейне, периметр которого составляет 120 м. Сколько метров проплыл участник соревнований, если ширина бассейна 10 м?».

В данной задаче стоит вопрос, как найти длину бассейна. Для решения найдите длины сторон прямоугольника. Ширина известна. Сумма длин двух неизвестных сторон должна составить 100 м. 120-10×2=100. Чтобы узнать расстояние, которое преодолел пловец, нужно разделить полученный результат на 2. 100:2=50.

Ответ: 50 (м).

Вычисление площади

Более сложной величиной является площадь фигуры. Для ее измерения используют мерки. Эталоном среди мерок являются квадраты.

Площадь квадрата со стороной 1 см равна 1 см². Квадратный дециметр обозначен как дм², а квадратный метр — м².

Области применения единиц измерения могут быть такими:

В см² измеряют маленькие предметы, например фотографии, обложки учебников, листы бумаги.
В дм² можно измерить географическую карту, оконное стекло, картину.
Для измерения пола, квартиры, земельного участка используют м².

Если начертить прямоугольник 3 см длиной и 1 см шириной и разбить на квадраты со стороной 1 см, то в нем поместится 3 квадрата, а значит, его площадь составит 3 см². Если прямоугольник разбит на квадраты, найдем периметр прямоугольника также без затруднений. В данном случае он равен 8 см.

Другой способ посчитать количество квадратов, вмещающихся в фигуру, — это использование палетки. Начертим на кальке квадрат площадью 1 дм², что составляет 100 см². Поместим кальку на фигуру и посчитаем число квадратных сантиметров в одном ряду. После этого выясним количество рядов, а затем перемножим значения. Значит, площадь прямоугольника — это произведение его длины и ширины.

Способы сравнения площадей:

На глаз. Иногда достаточно просто взглянуть на предметы, поскольку в некоторых случаях и невооруженным глазом видно, что одна фигура занимает больше места, как, например, учебник, лежащий на столе рядом с пеналом.
Наложение. Если фигуры совпадают при наложении, их площади равны. Если же одна из них полностью помещается внутри второй, то ее площадь меньше. Места, занимаемые тетрадным листом и страницей из учебника, можно сравнить, наложив их друг на друга.
По количеству мерок. Фигуры при наложении могут и не совпадать, однако иметь одинаковую площадь. Сравнить в этом случае можно, подсчитав количество квадратов, на которые разбита фигура.
Числа. Сравниваются численные значения, измеренные одной и той же меркой, например, в м².

Пример №1: «Швея сшила детское одеяло из квадратных разноцветных лоскутков. Один лоскуток длиной 1 дм, в ряду по 5 штук. Сколько дециметров ленты понадобится швее для обработки краев одеяла, если известна площадь 50 дм²?».

Чтобы решить задачу, нужно ответить на вопрос, как найти длину прямоугольника. Далее найдем периметр прямоугольника, составленного из квадратов. Из задачи ясно, что ширина одеяла — 5 дм, вычисляем длину, разделив 50 на 5, и получаем 10 дм. Теперь найдите периметр прямоугольника со сторонами 5 и 10. P=5+5+10+10=30.

Ответ: 30 (м).

Пример №2: «На раскопках обнаружен участок, где могут находиться древние сокровища. Сколько территории придется исследовать ученым, если известен периметр 18 м и ширина прямоугольника 3 м?».

Определим длину участка, проделав 2 действия. 18-3×2=12. 12:2=6. Искомая территория будет также равна 18 м² (6×3=18).

Ответ: 18 (м²).

Таким образом, зная формулы, вычислить площадь и периметр не составит труда, а приведенные выше примеры помогут попрактиковаться в решении математических задач.

Сегодня у нас речь пойдет о том, как вычислить периметр многоугольника . Но сначала поговорим о многообразии фигур. Посмотрите на рисунок. Какие фигуры мы здесь видим? Это прямоугольник и квадрат – многоугольники, которые имеют по четыре стороны, а также треугольник, имеющий три стороны, и пятиугольник с пятью сторонами.

И как же найти периметр этих фигур?

Для того, чтобы найти периметр многоугольника надо сложить длины всех его сторон .

Периметр обозначается заглавной латинской буквой Р .

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Вычислим периметр многоугольника О. Как мы говорили ранее, периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Сложим все стороны нашего многоугольника:

Р = 15 + 17 + 10 + 10 + 20 + 15 = 87

Но можно вычислить периметр и другим способом, используя умножение. Мы видим, что некоторые стороны многоугольника одинаковы. У нас две стороны по 15 условных единиц и еще две по 10. Запишем выражение:

Р = 15 × 2 + 10 × 2 + 17 + 20 = 87

Теперь поговорим об особенностях вычисления периметра некоторых многоугольников.

Прямоугольник – это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны. Например, чтобы вычислить А со сторонами а и б , надо сложить эти стороны и умножить полученный результат на 2 :

Р(прямоугольника) = (а + б) × 2

То есть, если сторона прямоугольника а = 5 см , а сторона прямоугольника б = 3 см , то периметр прямоугольника будет:

Р = (5 + 3) × 2 = 16 см

А как найти неизвестные стороны прямоугольника, если известен его периметр и только одна из сторон?

Р(прямоугольника) = 2 × а + 2 × б

а = (Р – 2 × б) ÷ 2 или б = (Р – 2 × а) ÷ 2

Пример: Периметр прямоугольника 16 см, сторона а = 5 см. Чему равны остальные стороны прямоугольника?

Если мы знаем одну сторону прямоугольника, значит длины двух, из четырех сторон нам известны. Найдем остальные две стороны. То есть найдем одну, а вторая будет ей равна.

сторона б = (16 – 2 × 5) ÷ 2 = 3 см

Ответ: у прямоугольника две стороны по 5 см и две по 3 см.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Чтобы вычислить надо длину одной стороны умножить на 4:

Р(квадрата) = а × 4

Например, у квадрата В сторона а = 5 см. Чтобы найти его периметр:

Р(В) = 5 × 4 = 20 см

А если известен периметр квадрата, как найти длины его сторон? Очень просто, надо его периметр разделить на четыре:

а = Р ÷ 4

Пример: Периметр квадрата 24 см. Чему равны его стороны?

а = 24 ÷ 4 = 6

Ответ: Стороны квадрата равны 6 см.

По подобию вычисления периметра квадрата вычисляется периметр всех равносторонних многоугольников . То есть равен длине одной его стороны умноженной на количество сторон.

Если длина одной стороны многоугольника равна а , а число его сторон равно n , то его периметр будет равен:

Р(равностороннего многоугольника) = а × n

Например, у пятиугольника Д сторона а = 6 см . Найдем его периметр:

Р(Д) = 6 × 5 = 30 см

Ну а если известен периметр равностороннего многоугольника, то вычислить длины его сторон очень просто, надо разделить его периметр на количество сторон.

Во время ремонта может возникнуть ситуация, когда необходимо знать точный периметр комнаты, например при покупке плинтуса или при расчете количества обоев и напольного покрытия. Сделать это просто, если помещение имеет стандартную форму. Но что делать, если нам нужно произвести расчет для коридора, который имеет множество углов, или для спальни необычной формы? В этом процессе помогут некоторые хитрости, прибегнуть к которым можно при .

Расчет для стандартных помещений: квадрат и прямоугольник

Чаще всего встречаются помещения, стены которых образуют прямоугольник или квадрат. В данном случае нам понадобятся:

рулетка;
линейка;
нитка;
бумага и карандаш.

Для начала вспомним, что такое периметр. Это геометрическая величина, являющаяся суммой длин всех сторон фигуры. Высчитать его еще проще, чем .

Самый простой случай – это помещение, представляющее собой квадрат, то есть все его стороны равны. Тогда измеряем одну сторону квадрата, приложив рулетку к стыку стены и пола.

Если у вас нет рулетки, используйте нитку, сделав отрезок, соответствующий расстоянию от угла до угла помещения, и измерьте его с помощью линейки.

5 х 4 = 20 (м)

Немного интереснее, когда комната является прямоугольником. Это означает, что длины противоположных стен равны между собой. В таком случае меряем расстояние от угла до угла двух смежных стен рулеткой, складываем полученные числа между собой и умножаем на 2. Для наглядности рассмотрим пример: дана гостиная прямоугольной формы, длина одной ее стены равна 5 метрам, другой – 5,5 м. Тогда периметр будет равен:

Не забывайте, что даже при точном расчете количества стройматериалов их нужно покупать с небольшим запасом на случай порчи.

Нестандартные варианты: многоугольник и круг

Легко рассчитать периметр, когда противоположные стороны фигуры равны между собой. Усложним ситуацию: у имеющейся кухни больше четырех углов. В таком случае придется замерить каждый отрезок от одного угла до другого, после чего сложить все результаты измерений. Данный способ отличается от предыдущего тем, что для того чтобы рассчитать периметр, нужно больше исходных данных.

Возьмем кухню, имеющую форму шестиугольника с нишей. Тогда количество стен, которые нам придется измерить, сложив затем полученные значения, будет равно 8.

Усложним ситуацию еще больше: зал представляет собой окружность. Тут не поможет замер от угла до угла, так как их просто нет. Если существует уверенность, что это действительно круг, а не эллипс, то поможет знание геометрии. Периметр представляет собой длину окружности. А длина окружности, в свою очередь, является произведением диаметра окружности на число π.

Звучит страшно, но на самом деле все просто.

Находим центр комнаты и обозначаем его.
Закрепляем нитку у одной стены и проводим до противоположной через центр помещения.
Измеряем длину полученного отрезка. Это и есть диаметр окружности.

Теперь нужно считать. Берем полученный диаметр и умножаем на число π. Все знают, что данное число бесконечно большое. Но нам не нужна точность до сотых миллиметра, поэтому берем 3,14. Таким образом, периметр окружности является длиной отрезка от стены до стены через середину комнаты, умноженной на 3,14.

Значит, имея круглое помещение диаметром 5 метров, мы получим нужное нам значение следующим образом:

5 х 3,14 = 15,7 (м)

Возьмите у знакомого лазерную рулетку. С этим устройством можно будет провести все замеры самостоятельно, в отличие от рулетки, при использовании которой нужен товарищ, удерживающий ее конец. Кроме того, прибор выдаст более точный результат, так как лазерный луч не будет отклоняться. Это поможет точнее рассчитать периметр комнаты.
Используйте длинную нитку. Гораздо удобнее будет крепить части нитки к углам, не прерывая замер. Нитка должна разматываться до тех пор, пока не встретится собственным концом – началом замера. Её конечная длина – это и есть искомое значение. Такой способ поможет при наличии помещения, имеющего форму эллипса, так как по-другому рассчитать длину данной фигуры будет проблематично.

Таким образом, за небольшое время можно провести все необходимые замеры и получить готовый результат. Однако стоит помнить, что в результате нужно учитывать погрешность, чтобы не закупить стройматериала меньше, чем нужно. Например, если стена неровная, даже при точных расчетах в итоге потребуется больше плинтуса для сглаживания недочетов.