Действия с дробями. Умножение и деление дробей

§ 15. Умножение и деление обыкновенных дробей - Учебник по Математикe 6 класс (Зубарева, Мордкович)

Краткое описание:

В этом параграфе учебника вас ждет более сложные операции с умножением и делением, так как следует научится не только умножению и делению целых чисел, но также и дробей. Есть множество особенностей выполнения этих действий, но если понять принцип, вы сможете решать любые выражения!
Умножение дробей кажется очень сложным при первом взгляде на эти числа. Но для того, чтобы решать такие выражения, нужно просто по порядку проделать определенные действия. Например, для умножения дробей на натуральное число, числитель умножается на множитель, а знаменатель остается таким же. После умножения эту дробь можно сократить, выявив в ней общее для числителя и знаменателя число и вынеся его как целое число. Так например, 2/3 4 = 2 4/3 = 8/3 = 2 2/3. При умножении смешанной дроби (с целым и дробью) на число, целое число и числитель умножаются между собой, а знаменатель по прежнему остается таким же. Если же нужно умножить между собой простые дроби, нужно перемножить между собой числители и записать значение в числитель и знаменатели перемножить между собой, записав значение в знаменатель. Если вам нужно умножить смешанные дроби между собой, в таком случае нужно перевести множители в неправильные дроби и определить значение выражение как в рассмотренном примере. Для деления дробей существуют другие правила, но они достаточно простые, если внимательно их изучить. При делении дроби на целое число, целое число записывают в знаменатель, но уже с действием умножения. При делении целого числа на дробь, целое число умножают на обратную дробь (тоесть перевернутый числитель и знаменатель). То же правило действует для деления дробей между собой: дробь, которая выступает за делимое, переворачивают и производят действие умножения. Еще подробней и с большими примерами вы сможете рассмотреть эту тему на страницах учебника!

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями - ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе - и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы...

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать... Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рад за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет...

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но... Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

6 класс

ТЕМА : «Деление обыкновенных дробей», 6 класс.

ЦЕЛЬ УРОКА : Обобщить и систематизировать теоретические и практические

знания, умения, и навыки учащихся. Организовать работу по

ликвидации пробелов в знаниях учащихся. Улучшить, расширить

и углубить знания учащихся по теме.

ТИП УРОКА : Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.

Оборудование : На доске тема, цель, план урока.

ХОД УРОКА.

У каждого ученика на парте лежит «Листок контроля»

1. домашняя работа –

2. вопросы по повторению –

3. устный счет –

4. работа в классе –

5. самостоятельная работа –

1. Проверка домашней работы:

а) работа в парах по вопросам:

1) Сложение, вычитание обыкновенных дробей;

2) Как умножить дробь на дробь;

3) Умножение двух дробей;

4) Умножение смешанных дробей;

5) Правило деления дробей;

6) Деление смешанных дробей;

7) Что наз. сокращением дробей.

б) проверка домашнего задания по готовому решению на доске:

№ 620 (а), 624, 619 (г).

Цель: выявить степень усвоения домашнего задания. Определить типичные недостатки.

Оценки выставить в листок контроля

Объявить цель урока : Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по

теме: «Деление обыкновенных дробей».

Теорию повторили, проверим знания на практике.

2. Устный счет.

а) По карточкам: 1) Сократить дробь: ; ; ; …

2) Обратить в неправильную дробь: ; ; …

3) Выделить целую часть: ; ; …

б) Числовая лесенка. Кто быстрее доберется до 6-го этажа, тот узнает:

построения геометрии (Евклид)

2 вариант – человека, который хотел быть и юристом, и офицером, и философом, но

стал математиком (Декарт)

л 0,1: ½ 0,4: 0,1 а

и д д е л к к а в р е т

Оценки в листок контроля, за: 2" - «5», 3" - «4», 4" - «3».

Кто выполнил «лесенку», делает в тетрадях № 606. Первый из учеников на крыле доски делает № 606. Затем проверяет класс.

3.

а) № 581 (б,г), 587 (с комментированием), 591 (л,м,к), 600, 602, 593 (г,к,д,и)

Задание выполняются в тетрадях и на доске.

б) решить задачу: За кг конфет заплатили тыс. рублей. Сколько стоят

Кг таких конфет?

4.

№ 1 . Выполнить действия:

: ответы: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . Представить дробь в виде обыкновенной дроби и выполнить действия:

0,375: ответы: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . Решите уравнение: ответы: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . В первый день турист прошел всего пути, а во второй – остальную часть. Во

сколько раз больше часть дороги, пройденная туристом в первый день, чем во

второй? Ответы: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. Представить в виде дроби:

: ответ: 1) 2) 3) 4)

Проверить решение по шаблону: №1 -4; №2 – 1; №3 – 4; №4 – 4; №5 – 3.

Оценки выставить в листок контроля.

Собрать листки контроля. Подвести итоги. Объявить оценки за урок.

5. Итог урока:

Какие основные правила мы сегодня повторили?

6. Домашнее задание:

№ 619 (в), 620 (б), 627, индивидуальное задание № 617 (а,д,ж).

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ «Гимназия №7»

г. Торжок Тверской обл.

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ:

«ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ»

6 класс

Открытый урок на городском МО г. Торжка

(аттестация, 2001г.)

Учитель математики: Уфимцева Н.А.

2001 г.

ТЕМА : « Деление обыкновенных дробей», 6 класс.

ЦЕЛЬ УРОКА : Обобщить и систематизировать теоретические и практические

Знания, умения, и навыки учащихся. Организовать работу по

Ликвидации пробелов в знаниях учащихся. Улучшить, расширить

И углубить знания учащихся по теме.

ТИП УРОКА : Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.

Оборудование : На доске тема, цель, план урока.

ХОД УРОКА.

У каждого ученика на парте лежит «Листок контроля»

1. домашняя работа –
2. вопросы по повторению –
3. устный счет –
4. работа в классе –
5. самостоятельная работа –

1. Проверка домашней работы:

А) работа в парах по вопросам:

1) Сложение, вычитание обыкновенных дробей;

2) Как умножить дробь на дробь;

3) Умножение двух дробей;

4) Умножение смешанных дробей;

5) Правило деления дробей;

6) Деление смешанных дробей;

7) Что наз. сокращением дробей.

Б) проверка домашнего задания по готовому решению на доске:

№ 620 (а), 624, 619 (г).

Цель : выявить степень усвоения домашнего задания. Определить типичные недостатки.

Оценки выставить в листок контроля

Объявить цель урока : Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по

Теме: «Деление обыкновенных дробей».

Теорию повторили, проверим знания на практике.

1. Устный счет.

А) По карточкам: 1) Сократить дробь: ; ; ; …

2) Обратить в неправильную дробь: ; ; …

3) Выделить целую часть: ; ; …

Б) Числовая лесенка. Кто быстрее доберется до 6-го этажа, тот узнает:

Построения геометрии (Евклид)

2 вариант – человека, который хотел быть и юристом, и офицером, и философом, но

Стал математиком (Декарт)

Д т

И р

Л 0,1: ½ 0,4: 0,1 а

К к

В е

Е д

3 2 4 5

И д д е л к к а в р е т

Оценки в листок контроля, за: 2" - «5», 3" - «4», 4" - «3».

Кто выполнил «лесенку», делает в тетрадях № 606. Первый из учеников на крыле доски делает № 606. Затем проверяет класс.

1. Повторение и систематизация основных теоретических положений:

а) № 581 (б,г), 587 (с комментированием), 591 (л,м,к), 600, 602, 593 (г,к,д,и)

Задание выполняются в тетрадях и на доске.

Б) решить задачу: За кг конфет заплатили тыс. рублей. Сколько стоят

Кг таких конфет?

1. Самостоятельная работа. Цель: проверить усвоение данной темы.

№ 1 . Выполнить действия:

: ответы: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . Представить дробь в виде обыкновенной дроби и выполнить действия:

0,375: ответы: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . Решите уравнение: ответы: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . В первый день турист прошел всего пути, а во второй – остальную часть. Во

Сколько раз больше часть дороги, пройденная туристом в первый день, чем во

Второй? Ответы: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. Представить в виде дроби:

: ответ: 1) 2) 3) 4)

Проверить решение по шаблону: №1 -4; №2 – 1; №3 – 4; №4 – 4; №5 – 3.

Оценки выставить в листок контроля.

Собрать листки контроля. Подвести итоги. Объявить оценки за урок.

1. Итог урока:

Какие основные правила мы сегодня повторили?

1. Домашнее задание:

№ 619 (в), 620 (б), 627, индивидуальное задание № 617 (а,д,ж)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗИ

ПО ТЕМЕ

« ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»

Творческая группа кафедры математиков

«Гимназия № 3» г. Удомля.

Урок № 3-4 разработан учителем математики

Уфимцевой Н.А.

2000 г.

МОУ «Гимназия №7»

г. Торжок Тверской обл.

ОТКРЫТЫЙ УРОК

Умножение десятичных дробей

Десятичная форма записи позволяет выполнять умножение дробей практически по тем же правилам, по которым умножают натуральные числа. Отличие заключается в том, что необходимо определять место запятой в полученном произведении.

Поясним сказанное на примере; вычислим произведение 2,5 1,02.

Перенесем запятую в первом множителе на одну цифру вправо, а во втором-на две цифры вправо. Тем самым первый множитель увеличится в 10 раз, второй-в 10 2 = 100 раз, а произведение-в 10 100 = 1000 раз.

Определим произведение натуральных чисел 25 и 102:

25 102 = 2550.

Это число в 1000 раз больше, чем требуемое произведение. Поэтому необходимо число 2550 уменьшить в 1000= 10 3 раз, т. е. перенести в этом числе запятую влево на 3 цифры. Таким образом,

2,5 1,02 = 2,550 = 2,55.

Можно рассуждать по-другому:

Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби9 достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как натуральные числа9 а затем в полученном произведении справа отделить запятой столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

Например,

Деление десятичных дробей

Рассмотрим пример деления десятичной дроби на натуральное число.

Пример . Вычислить 46,8: 2.

Решение . 4 десятка делим на 2-получаем цифру частного 2 (2 десятка).

6 единиц делим на 2 - получаем цифру частного 3 (3 единицы).

Деление целой части закончено-отделяем в частном целую часть запятой.

8 десятых делим на 2 - получаем цифру частного 4 (4 десятых). Остаток равен 0-деление закончено.

Деление десятичной дроби на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число переносом запятых в делимом и делителе на столько цифр вправо, чтобы делитель стал натуральным числом.

Пример . Вычислить 4,42:0,2.

Решение . Так как в делителе одна цифра после запятой, то достаточно перенести запятые в делимом и делителе на 1 цифру вправо. Тем самым делимое и делитель увеличиваются в 10 раз, поэтому частное не изменится. При этом делитель будет натуральным числом.

Можно рассуждать и таким образом:

Но не всегда получается точный результат при делении десятичных дробей. Чаще приходится довольствоваться приближенным частным.

Пример . Найти частное 1,723:0,03.

Решение . Освободимся от запятой в делителе: 1,723:0,03= 172,3:3. Выполним деление.

Начиная с разряда сотых, цифра 3 в частном повторяется без конца, потому что остаток, начиная с третьего этапа процесса деления, все время равен одному и тому же числу 1.

Если оставить у частного первые две цифры после запятой, то получится приближенное равенство: 172,3:3 ≈ 57,43.