Для сравнения длин отрезков нужно пользоваться. Сравнение отрезков и углов

§ 1 Равенство геометрических фигур

В повседневной жизни мы нередко встречаемся с равными фигурами: два одинаковых листа бумаги, две облицовочные плитки, две одинаковые тарелки. Представим, что вы решили украсить свой походный костюм нашивкой. Для этого вы рисуете на бумаге изображение, вырезаете его, затем накладываете на материал, из которого будет нашивка, и вновь вырезаете по границе. Фигуры, вырезанные из бумаги и из материала, равны, потому что они совмещаются одна с другой. На равенстве совмещенных фигур основаны раскрой материала для шитья одежды на фабриках, штамповка плоских деталей на заводе и т.д.

Итак, две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

§ 2 Сравнение отрезков и углов

Рассмотрим два отрезка АВ и СD и ответим на вопрос: равны они или нет?

Для этого наложим отрезок АВ на отрезок СD так, чтобы один конец отрезков АВ совпал с концом отрезка СD, т.е. точка А совпала с точкой С.

Если при этом два других конца совместятся, т.е. точка В совпадет с точкой D, то отрезки АВ и СDравны.

Если точка В не совпадет с точкой D, то меньшим отрезком считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке отрезок СD составляет часть отрезка АВ, поэтому отрезок СD меньше отрезка АВ. Пишут СD < АВ.

А теперь возьмем отрезок МN и отметим на нем точку О так, что отрезки МО и NО будут равны.

Такая точка О, которая делит отрезок пополам, т.е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

Рассмотрим два неразвернутых угла АОВ и СОD.

Чтобы сравнить два неразвернутых угла, надо наложить один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если сторона ОА совместится со стороной ОС, а сторона ОВ совместится со стороной ОD, то углы АОВ и СОD равны. Если же сторона ОВ не совместится со стороной ОD, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. На рисунке угол АОВ меньше угла СОD, так как угол АОВ составляет часть угла СОD.

Рассмотрим развернутый угол, т.е. угол, обе стороны которого лежат на одной прямой. Неразвернутый угол составляет часть развернутого угла, поэтому любой развернутый угол больше любого неразвернутого угла, а два развернутых угла всегда равны.

А теперь из вершины угла проведем луч так, что он будет делить этот угол на два равных угла, такой луч называется биссектрисой угла.

На рисунке луч ОС - биссектриса угла АОВ, так как этот луч исходит из вершины угла АОВ и делит этот угол на два равных угла АОС и СОВ.

§ 3 Измерение отрезков. Единицы измерения

Фигуры на практике не всегда можно совместить наложением, например, невозможно таким образом проверить, равны ли земельные участки. Поэтому приходится искать другие способы установления равенства фигур. Для сравнения, например, отрезков пользуются измерением, т.е. находят длины отрезков. Чтобы измерить отрезок, надо его сравнить с некоторым другим отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок называют еще масштабным отрезком. За единицу измерения можно взять отрезок длиной 1 мм, 1 см, 1 дм, 1м, 1 км или другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Равные отрезки имеют равные длины.

Меньший отрезок имеет меньшую длину.

Когда произвольная точка С делит отрезок АВ на два отрезка, то длина всего отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ.

Длину отрезка называют также расстояниеммежду его концами.

Международной единицей измерения выбран метр, это отрезок, приближенно равный одной сорока миллионной части земного меридиана. Эталон метра хранится во Франции, а копии хранятся во всех странах, в том числе и в России. Для измерения очень больших расстояний, например, измерение расстояний между планетами солнечной системы, используют единицу измерения световой год, это путь, который свет проходит в течение одного года. В старину на Руси использовались другие единицы измерения аршин, локоть, сажень.

Для измерения расстояний пользуются различными инструментами, например, линейка, штангенциркуль, рулетка.

§ 4 Решение задачи по теме урока

Решим задачу.

Отрезок ОD длиной 28 см разделен точкой М на два отрезка. Найдите расстояние между серединами получившихся отрезков ОМ и МD.

Расстояние между серединами отрезков ОМ и МD- это расстояние между точками А и В, оно равно сумме отрезков АМ и МВ.

Точка А - середина отрезка ОМ, значит отрезки ОА и АМ равны, точка В - середина отрезка МD, значит отрезки МВ и ВD равны. Отрезок ОD равен сумме отрезков ОА, АМ, МВ, ВD. Так как отрезок ОА равен отрезку АМ, отрезок МВ равен ВD, то длина отрезка ОD равна удвоенной сумме отрезков АМ и МВ, т.е. двум отрезкам АВ.

Следовательно, длину отрезка АВ находим так: 28:2=14 см. Это искомое расстояние между серединами отрезков ОМ и МD.

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю).
3. Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Использованные изображения:

§ 3. Сравнение отрезков и углов - Геометрия 7 класс (Атанасян Л. С.)

Краткое описание:

Вы прилежный ученик или ученица. В тетрадке у вас порядок. Вы четко понимаете, что вы делаете и как. Отрезок? Нет проблем. Вы берете карандаш, отмечаете на тетрадном листе две точки. Даже назовете их буквами: А и В. Затем берете линеечку и аккуратненько подводите ее так, чтоб провести прямую через эти две точки. И готово. Готов отрезок, и назвать вы его можете этими буквами. Что ж тут особенного и не понятного? А потом вы случайно заглядываете в тетрадку своего соседа. Там тоже начерчен отрезок. И тоже назван такими же А и В. Все так, но что-то не так. Отрезок какой-то другой. Он как-будто бы больше, или, кажется, он меньше. Понятно одно, — он лучше! Это же ваш отрезок! Но все-таки…
А если говорить об углах? Как сравнить углы? И какими должны быть эти равные углы?
На эти вопросы Геометрия дает вам однозначный ответ, предлагая воспользоваться методом наложения. Прочтите параграф, и вы сможете увидеть равные даже среди сложных геометрических фигур.
В конце параграфа вы познакомитесь с биссектрисой. Настал и ваш черед насладиться любимой всеми школьниками присказкой: «Биссектриса это такая крыса, которая бегает по всем углам и делит угол пополам!»

Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками, кратчайшее расстояние между этими точками. Существует несколько способов сравнения геометрических фигур, выбор такого способа зачастую зависит не только от условия задачи, но и от возможностей. Как же сравнивать отрезки, расскажем в этой статье.

Способы сравнения двух отрезков

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковый размер и форму, называются равными. Сравнение фигур дает возможность сказать, одинаковы ли они. Одним из способов является наложение. Если фигуры удается совместить наложением, они считаются равными.

Сравнить фигуры - значит, определить, которая из них длиннее или короче. Ответ должен быть определенным, нельзя сказать, что один отрезок длиннее или равен второму. В математике такой ответ неправилен, его можно приравнять к отсутствию ответа.

Записывают результат сравнения с помощью знаков больше, меньше и знака равенство (>; <; =). Например, длина отрезка АБ - 2 см, а ВГ - 8 см, записываем результат сравнения так: АБ < ВГ или ВГ > АБ.

Сравнивать фигуры можно разными способами , выбор которых зависит от возможностей или условий:

• визуальный способ;
• измерительный;
• сравнение наложением;
• сравнение в координатной сетке.

Лучше всего, если они различаются по длине визуально, и, просто посмотрев на них, вы можете сказать, который длиннее. Но так бывает не всегда.

Измерение длины

Самый простой способ - измерение. Для этого можно использовать линейку, просто измерив длину отрезка, мы поймем, который из них длиннее. Если нет линейки, но они начерчены на листе в клетку, для измерения их длин можно посчитать клетки. В одном сантиметре две клетки . Это метод сравнения измерением длин, но есть еще метод сравнения наложением.

Наложение друг на друга

Как происходит совмещение АБ и ВГ:

• Нужно конец, А одного из них совместить с концом В другого, если совпадают и другие концы этих отрезков - Б и Г, значит, они равны, что записывается с помощью знака равно.
• Если нет, значит, один из них длиннее другого, и записывается это также с помощью математических знаков больше или меньше (> или <).

Бывает так, что при наложении одного отрезка на другой ровно половина одного из них будет совмещена с другим. Точку, которая делит его на две равные части, называют серединной точкой. И если у нас есть серединная точка В, то АВ=ВБ.

Примерно так же наложением сравнивают не только прямые, но и другие геометрические фигуры, а также углы.

Можно сделать «линейку» из полоски бумаги, при этом такую линейку не нужно линовать, достаточно отметить на ней начало и конец одного из отрезков. Затем вы прикладываете импровизированную линейку ко второму, совмещая его начало с первой отметкой и, сравниваете расположение второй отметки по отношению к его концу. Таким способом можно сравнивать и довольно большие фигуры, например, расстояние между столбиками забора, но использовать при этом лучше не бумажную полоску, а веревку.

Два отрезка называются равными , если их можно совместить методом наложения. Если есть возможность приложить их друг к другу, просто посмотрите, какой из них длиннее. Но так можно сделать не всегда.

Если под рукой имеется циркуль, поставьте одну ножку циркуля в начало, а другую в конец первого отрезка. Затем не сдвигая ножки циркуля, установите одну из них в начало второго и посмотрите, если вторая ножка циркуля в точке, обозначающей конец - они равны. Если вторая ножка на самой прямой - первый отрезок меньше, если за ним - первый больше.

Сравнение в координатной сетке

Допустим, что у нас есть два отрезка, координаты которых мы знаем - а (Х1, Y1; Х2, Y2) и b (Х3, Y3; X4, Y4).

Первое, что нужно сделать - придать координатам числовые значения:

• Длина, а - Da = √((X1 - X2) ² + (Y1 - Y2) ²);
• Длина b - Db = √((X3 - X4) ² + (Y3 - Y4) ²).

Пусть X1 = -7, Y1 = 4, X2 = 3, Y2 = -4, X3 = -3, Y3 = -5, X4 = 0, Y4 = -3. Получаем:

Da = √ ((-7 - 3) ² + (4 - (-4)) ²) = √ (-10 ² + 8 ²) = √ 100 + 64 = √ 164

Db = √ ((-3 - 0) ² + (-5 - (-3)) ²) = √ (-3 ² + (-8) ²) = √ (9+ 64) = √ 73

√ 164 > √ 73, значит, Da > Db.

Также можно сравнить отрезки, находящиеся в трехмерной системе координат, надо учитывать не две, а три координаты каждого из них.

Примеры

Рассмотрим сравнение методом наложения. У нас имеется два отрезка - АБ и ВГ.

Чтобы узнать, равны они или нет, просто приложим их друг к другу так, чтобы их «начала» были в одной точке, то есть совместим точки, А и В.

Если мы видим, что АБ получается частью ВГ, значит, он меньше, то есть АБ< ВГ, а если при наложении оба конца отрезков совмещаются - значит, они равны.

Теперь рассмотрим сравнение отрезков путем измерения. При помощи линейки вычисляем длину каждого отрезка. Например, длина AB = 2 см, а CD = 8 см. 8>2, значит, CD>AB, то есть отрезок CD длиннее AB.

Цели урока:

1. Знакомство с одним из простейших способов сравнения плоских фигур;
2. Развитие геометрической интуиции, изобразительных навыков;
3. Обобщение с использованием элементов исследования, развитие математической речи;
4. Воспитание интереса к оперированию геометрическими понятиями и образами.

План урока:

1. Повторение ранее изученного материала. Ответы на вопросы по домашнему заданию.
2. Изучение нового материала.
3. Закрепление изученного материала. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
4. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

Ход урока

1. Теоретический опрос по вопросам 4-6 (стр. 25).Разбор нерешенных домашних задач.

2. Сообщение темы и цели урока. Слайд 2, слайд 3.

В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать особенности геометрических фигур, делать выводы из замеченных особенностей. Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Приведите примеры.

Как можно назвать такие фигуры? Правильно, такие фигуры называют равными.

Как можно сравнить две фигуры? (Фигуры вырезаны из картона и внешне почти равны)

Чтобы сравнить эти фигуры, надо один наложить на другой. Если из-за верхнего прямоугольника виден нижний, то верхний меньше нижнего и наоборот. А если они совместятся, то данные прямоугольники равны.

Как можно сравнить две фигуры, изображенные на доске или на бумаге? (Внешне фигуры почти равны)

Чтобы проверить это, необходимо скопировать одну фигуру на кальку и наложить на другую.

Какие две геометрические фигуры можно назвать равными? (Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить при наложении)

Сравните отрезки АВ и СД, изображенные на рисунке (рисунок на доске), с помощью линейки без делений.

а) наложить линейку на отрезок АВ и отметить начало и конец данного отрезка:

б) наложить линейку на отрезок СД так, чтобы отмеченное начало отрезка АВ совпало с точкой С, если отмеченный конец отрезка АВ совпадает с точкой Д, то отрезки АВ и СД равны, пишут АВ=СД.

Если отмеченный конец отрезка АВ будет лежать на отрезке СД, то отрезок АВ меньше отрезка СД, пишут АВ < СД (СД > АВ).

Сравните отрезки АС и СВ (рис. 21 учебника). (АС=СВ). Как назовем точку С?(Точка С – середина отрезка АВ).

Как с помощью шарнирной модели угла можно сравнить два угла?

а) Зафиксировать с помощью модели один из углов;

б) наложить зафиксированную модель на другой угол таким образом, чтобы у них совпали вершины и по одной стороне, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если вторая сторона модели угла совместиться со второй стороной другого угла, то данные углы равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого.

Сравните углы, изображенные на рисунке 22 а) (/ 1 < / 2.)

Какие углы являются неразвернутыми? Сравните развернутый и неразвернутый углы.

Кто скажет, как называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла?

(Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой.)

С помощью какого инструмента можно построить биссектрису угла? (Учащиеся знакомы с понятием – «биссектриса угла» с 5 класса и знают, что построить ее можно с помощью транспортира.)

Постройте углы АОВ и СМД, равные соответственно 120° и 56° и их биссектрисы.

3. Закрепление изученного материала.

Решить задачи в рабочей тетради № 17, 18, 19, 22,24 самостоятельно с последующим обсуждением решения.(Приложение)

4. Подводятся итоги, выставляются оценки.

Домашнее задание

§3, вопросы 7 – 11. Решить задачи. I уровень – № 20, 21, 23 из рабочей тетради.

II уровень - № 18, 19, 21, 23 из учебника.

Литература:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б, Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7 – 9.Учебник для общеобразовательных учреждений – 15 –е изд. – М.:Просвещение,2005.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2002.
3. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 7 класс. - 2-е изд., перераб. и доп. – М.:ВАКО, 2009.