Формула остроградского гаусса в векторной форме. Гаусса формулы

Гаусса формулы

1) Квадратурные Г. ф. - формулы вида

в которых узлы x k и коэффициенты A k не зависят от функции f (x) и выбраны так, что формула точна (т. е. R n = 0) для произвольного многочлена степени 2n - 1 . В отличие от квадратурных формул Ньютона - Котеса, узлы в квадратурных Г. ф., вообще говоря, не являются равноотстоящими. Если р (х) ≥ 0 и

то для любого натурального n имеется единственная квадратурная Г. ф. Эти формулы имеют большое практическое значение, т.к. в ряде случаев они дают значительно большую точность, чем квадратурные формулы с тем же числом равноотстоящих узлов. Сам Гаусс исследовал (1816) случай р (х) ≡ 1 .

2) Г. ф., выражающая полную кривизну (См. Полная кривизна) К поверхности через коэффициенты её линейного элемента; в координатах, для которых ds 2 = λ(du 2 + dv 2) , Г. ф. имеет вид

Эта формула была опубликована в 1827 и показывает, что полная кривизна не меняется при изгибании поверхности. Она составляет содержание одного из основных предложений созданной Гауссом внутренней геометрии (См. Внутренняя геометрия) поверхности.

3) Г. ф. для сумм Гаусса:

Эта формула была использована Гауссом (1801) в одном из доказательств закона взаимности квадратичных вычетов (См. Квадратичный вычет)

где р и q - нечётные простые числа, а Лежандра символ. Она явилась первым примером применения метода тригонометрических сумм в теории чисел. Этот метод был развит далее в работах Г. Вейля (См. Вейль) и особенно И. М. Виноградов а и представляет собой один из наиболее мощных методов аналитической теории чисел.

С. Б. Стечкин.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Гаусса формулы" в других словарях:

Основная теорема электростатики, устанавливающая связь потока напряжённости Е электрич. поля через замкнутую поверхность S с величиной заряда q, находящегося внутри этой поверхности. В Гаусса системе единиц divE=4pq. (1) Г. т. вытекает из Кулона… … Физическая энциклопедия

Сферический треугольник. Формулы Деламбра в сферической тригонометрии выражают соотношение между всеми шестью элементами сферического треугольника тремя сторонами и тремя углами. Описание Фор … Википедия

Формулы интегрального исчисления функций многих переменных, связывающие значения га кратного интеграла по области D n мерного евклидова пространства и кратного интеграла по кусочно гладкой границе этой области. Г. ф. получаются интегрированием по … Математическая энциклопедия

Слева направо: поверхность с отрицательной гауссовой кривизной (гиперболоид), поверхность с нулевою гауссовой кривизной (цилиндр), и поверхность с положительной гауссовой кривизной (сфера … Википедия

Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

Классическая электродинамика … Википедия

Теорема Остроградского Гаусса утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между n кратным интегралом по области и (n − 1) кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v1,v2,...,vn) есть векторное поле… … Википедия

Формула Остроградского математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: то есть интеграл от дивергенции векторного… … Википедия

Численное интегрирование определённых интегралов

с высокой точностью. Квадратурные формулы

типа Гаусса.

Как было отмечено на предыдущей лекции численное вычисление определённых интегралов сводится к вычислению квадратурной суммы вида

где – любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси; р(х) – весовая функция, учитывающая особенности поведения подынтегральной функции; f(x) – произвольная гладкая функция; A k – квадратурные коэффициенты, x k – квадратурные узлы..

Квадратурная сумма однозначно определяется 2n+1 параметром: n значений А к, n – значений х k и сам параметр n – число разбиений отрезка . Чтобы получить более точный результат при вычислениях с помощью простейших квадратурных формул, следует дробить отрезок интегрирования на достаточно большое число интервалов. (Это наблюдалось, при рассмотрении простейших квадратурных формул трапеций и Симпсона)

Однако возможны и другие способы повышения точности квадратурных формул. Достижение точности можно добиться за счёт правильного или оптимального выбора узлов x k и квадратурных коэффициентов A k .

Если по условию задачи узлы можно выбирать произвольным образом и функция f(x) обладает высокой степенью гладкости, то для вычисления определённых интегралов применяют квадратурные формулы типа Гаусса.

Формула Гаусса.

Пусть необходимо вычислить определённый интеграл вида:

где f(x) – имеет высокую степень гладкости на интервале [-1; 1].

Данную задачу можно решить с помощью квадратурной формулы

.

Гауссом было доказано, что для достижения наивысшей точности результата интегрирования необходимо в качестве узлов квадратурной формулы взять корни многочлена Лежандра

.

Коэффициенты А к при этом вычисляются по формулам

.

Рассмотрим применение этих формул.

При n=1 имеем одну узловую точку внутри отрезка [-1; 1], которая определяется из уравнения

Т.к.
, то узловую точку находим из уравнения
Отсюда

Т.к.
,то
.

При n=2 получаем две узловые точки внутри отрезка [-1; 1], которые определяется из уравнения

Преобразовав его получаем

.

Его решение
. Т.к.
,

то общая формула для вычисления квадратурных коэффициентов приобретёт вид
. Подставляя узловые точки, получаем:

при
;

при
.

Для различного числа разбиения отрезка [-1; 1] можно получить таблицу узлов x k и коэффициентов A k . (Как это сделать будет показано на практическом занятии)

К-во точек разбиения	Узлы квадратурной формы	Коэффициенты квадратурной формы

В случае произвольного интервала интегрирования (когда он не совпадает с отрезком [-1; 1]) предварительно делают замену переменной

.

А уже к преобразованному интегралу можно применить формулу Гаусса. Получим

,

где

–узлы квадратурной формулы Гаусса;

–соответствующие коэффициенты;

–остаток квадратуры.

Остаток квадратурной формулы Гаусса определяется по формуле

где

Пример. По формуле Гаусса вычислить интеграл I=(приn=5).

Т.к. интервал интегрирования не совпадает с отрезком [-1; 1], применим

.

1. В основе теории векторного поля лежат две интегральные формулы. Первая из них принадлежит русскому математику и механику Михаилу Васильевичу Остроградскому (1801-1861). Эта формула была открыта Остроградским в 1826 г. и опубликована в 1838 г. в связи с его исследованиями в области вариациоиного исчисления,

относящимися к проблеме максимумов и минимумов кратных интегралов. При этом получил он ее в гораздо более общем виде, чем тот, в котором она применяется в теории векторного поля.

Вторая интегральная формула теории поля была найдена английским гидромехаником Стоксом (1819-1903) в 1854 г.

2. Преобразование Остроградского.

Это преобразование решает задачу сведения интеграла любой кратности к интегралу меньшей кратности. Для целей теории поля мы разберем эту задачу лишь применительно к тройному интегралу.

Мы знаем, что для вычисления тройного интеграла следует сначала частным образом проинтегрировать подинтегральную функцию по одному из аргументов, а затем вычислить двойной интеграл от полученного результата.

Для сведения тройного интеграла, распространенного по произвольной области, к двойному интегралу нужно, чтобы первое интегрирование было выполнено в общем виде. для этого нужно, чтобы подинтегральная функция была частной производной от некоторой функции по одному из аргументов.

Итак, рассмотрим, например, интеграл

причем пока будем предполагать, что область интеграции (V) нормальная, т. е. пересекающая область вертикаль имеет с пей только один общий отрезок (рис. 162). Кроме того, будем предполагать, что непрерывна в области (V), включая ее границу.

По правилу вычисления тройного интеграла мы получим

Следовательно,

Пусть соответственно нижняя и верхняя части поверхности ограничивающей область интеграции (V). Нормаль к поверхности мы направим наружу но отношению к области Тогда, но определению поверхностного интеграла (гл. XIII, § 3), мы получим

В силу этого формула (15.1) для исходного тройного интеграла примет вид

Объединив поверхностные интегралы, мы получим формулу преобразования тройного интеграла в двойной, которую и называют преобразованием Остроградского:

«Колечко» на знаке поверхностного интеграла напоминает о замкнутости поверхности интеграции

Замечание 1. Если область не является нормальной, то мы разобьем эту область на нормальные области Для каждой из частичных нормальных областей выведенная формула справедлива:

Сложив эти равенства, мы получим

В получепной сумме взаимно уничтожатся поверхностные интегралы по всем тем частям поверхностей по которым соприкасаются друг с другом частичные области и останутся лишь поверхностные интегралы по тем частям которые располагаются на наружной границе Поэтому мы получим

Итак, формула преобразования Остроградского верна для произвольной области

Замечание 2. Аналогичные формулы мы получим, если под знаком тройного интеграла будет стоять частная производная по х или по у:

3. Формула Остроградского.

Рассмотрим поток поля И через замкнутую поверхность ограничивающую трехмерную область (рис. 163). По формуле (14.18) этот поток равен

Формула Гаусса-Остроградского.

Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.

Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) и вычислим интеграл

Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S1

cos(n, z) < 0, на S2 cos(n, z) > 0, a на S3 cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыдущего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, элементы площади поверхности S1 и области D связаны соотношением dxdy = ΔS(-cos(n, z))). Следовательно, исходный интеграл можно представить в виде:

Окончательный результат можно записать так:

Таким же образом можно получить соотношения

Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:

Воспользовавшись формулой 13.9, задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:

где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

Дивергенция векторного поля.

Продолжим изучение характеристик векторных полей.

Определение 15.1. Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az - функции от x, y, z, называется

. (15.3)

Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.

Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция харак-теризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы (15.1) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля {P, Q, R}, а в правой - поток этого вектора через ограни-чивающую тело поверхность S:

(15.4)

Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы коор-динат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограни-ченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (15.4) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:

. (15.5)

Формула Стокса.

Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает ее в одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси Оz острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами

, ,

.

Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхность S, и зададим в этой области функцию P(x, y, z), непрерывную вместе с частными производны-ми первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой λ:

Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у - координаты точек линии L, являющейся проекцией λ на плоскость Оху (рис.2). Поэтому, используя формулу (10.8), получаем:

=.

Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу Грина:

где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное выражение, используя формулу производной сложной функции:

и подставим его в предыдущее равенство:

. Тогда

= Теперь применим к интегралам, стоящим справа, формулу (13.7) и перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхно-сти σ:

так как . Следовательно, окончательный результат преобразований выглядит так:

=.

При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному направлению нормали (рис.2).

Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотношения:

=,

=.

Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, уста-навливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориен-тации поверхности:

(15.6)

Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части формулы Стокса, которое можно получить, раскрывая определитель по первой строке и учитывая, что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирова-ния по соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в третьей строке.

Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода (формула (13.9)), можно записать формулу Стокса в ином виде:

Ротор векторного поля.

Определение 15.2. Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az - функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

. (15.8)

Замечание 1. Ротор характеризует завихренность поля А в данной точке, то есть наличие вращательных движений, так как его модуль равен удвоенной угловой скорости в этой точке.

Замечание 2. Формула Стокса в векторной формулировке имеет вид:

, (15.9)

то есть циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность, натянутую на данный контур.

Замечание 3. Можно дать другое, инвариантное, определение ротора. Для этого рассмотрим произвольное направление п, исходящее из данной точки М, и окружим эту точку плоской площадкой σ, перпендикулярной к п и ограниченной контуром λ. Приме-няя формулу Стокса, получим:

Разделив обе части этого равенства на σ и стягивая площадку σ к данной точке, найдем в пределе, что

.

Тем самым можно определить проекцию ротора на любую ось, то есть вектор rot A не зависит от выбора координатной системы.

Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой областиV и на ее кусочно гладкой границе .

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса

Заметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поля
через поверхность .

Доказательство. 1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольностиP, Q, Rсостоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поляP, Q, R. В самом деле, можно взятьP = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы в которую входит толькоR. Остальные части формулы (приP= 0, R= 0, Q= 0, R = 0) доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулы

2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственную область Vв виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными осиOZ. Доказательство можно проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах.

Итак, будем доказывать соотношение
для цилиндрического телаV, проектирующегося в областьDна плоскостиOXY. Пусть «верхняя» граница цилиндрического тела – поверхность описывается уравнением
, «нижняя» граница – поверхность описывается уравнением
. Боковую поверхность цилиндрического тела, параллельную осиOZ, обозначим.

Сразу заметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю. Действительно, , так как нормаль на боковой поверхности ортогональна осиOZи
.

Заметим также, что на «верхней» поверхности
, а на «нижней поверхности
. Поэтому при переходе от поверхностного интеграла пок двойному интегралу по областиDи обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностного интеграла пок двойному интегралу по областиDи обратно менять знак не надо.

= = + = Таким образом, соотношение доказано.

Замечание. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» виде

- поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью .

Дивергенция векторного поля (расходимость) есть
.

Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат. Покажем это.

Инвариантное определение дивергенции.

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестностьV M – шар радиусаrс центром в точкеM. Обозначим
- ее границу – сферу радиусаr. По теореме о среднем для тройного интеграла

(по формуле Остроградского – Гаусса).

Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точкеM.

. Это и естьинвариантное определение дивергенции .

Поэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника (если
>0) или стока (если
<0) векторного поля в точке M .

Если
>0, то точкаM– источник векторного поля, если
<0, то точка M– сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

Пример. Определить расположение источников и стоков векторного поля. Выяснить, является ли точкаM(1,2,3)источником или стоком.

Все точки, для которых 2xy+xz >0 – источники, все точки, для которых 2xy+xz <0– стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M– источник, так как.