Функция y tgx ее график. Функции y = tgx и y = ctgx, их свойства и графики
Свойства функции y=tg x. y x 1 -1 у=tg x Нули функции:tg х = 0 при х = πn, nєZ у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у 0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 10 Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у title="Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у
У х y = tgx y = tgx + a y = tgx – b
У х y = tgx y = tg(x – a)
У х y = tgx y = ItgxI
Функция y = ctg x 1. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х= πk, k Z. 2. Область значений функции – все действительные числа. 3. Функция убывает на интервалах 4. Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. 5. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. - 1 у х π0-π-π - у=ctg x
Определение Тангенсом угла α называют число, равное отношению sin α к cos α, обозначают tg α, т. е. Тангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых косинус равен нулю Для любого угла α ≠ π/2 + πk, kЄZ существует, и притом единственный tg α
y Ось тангенсов +∞ 120° 180° 1 x - 45° не существует Тангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞ х=1 –∞
Определение Котангенсом угла α называют число, равное отношению cos α к sin α, обозначают сtg α, т. е. Котангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых синус равен нулю Для любого угла α ≠ πk, kЄZ существует, и притом единственный сtg α
Ось котангенсов Y –∞ +∞ 120° у=1 180° 0° X 45° Не существует Котангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞
Построение графика функции y = tg x, если х Є [ π ∕ 2; π ∕ 2 ] y у = tg x х 0 1 у=tg x 0 ±π ∕ 6 x -1 ≈ ± 0, 6 ±π ∕ 4 ± 1 ±π ∕ 3 ≈ ± 1, 7 ±π ∕ 2 Не существ.
Свойства функции y=tg x. y 1 у=tg x x 1 Нули функции: tg х = 0 при х = πn, nєZ у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn, nєZ. у
Свойства функции y=tg x. у=tg x y Асимптоты 1 x -1 При х = π ∕ 2+πn, nєZ - функция у=tgx не определена. Точки х = π ∕ 2+πn, nєZ – точки разрыва функции.
Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у
у 1 х - - 3 2 y = tgx + a - - 0 2 -1 y = tgx 3 2 2 y = tgx – b
у 1 х - - 3 2 - y = tgx - 0 2 -1 3 2 y = tg(x – a) 2
у 1 х - - 3 2 - y = tgx - 0 2 -1 3 2 2 y = Itgx. I
Функция y = ctg x 1. 2. 3. 4. 5. у=ctg x Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х=πk, k Z. Область значений функции – все действительные числа. Функция убывает на интервалах Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. у 1 - х -π 0 -1 π
Задача № 1. Найти все корни уравнения tgx = 1, принадлежащих промежутку –π ≤ х ≤ 3π ∕ 2. Решение. 1. Построим графики у=tg x y у=1 −π 1 х1 0 -1 х2 функций у=tgx и у=1 2. х1= − 3π∕ 4 х2= π∕ 4 x х3= 5π∕ 4 х3 3π/2 π
Задача № 2. Найти все решения неравенства tgx
МОУ лицей №10 города Советска Калининградской области
учитель математики
Разыграева Татьяна Николаевна.
Конспект урока по алгебре в 10-м классе по теме:
«Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики”.
Цели: 1. Изучить свойства функций y = tgx, y = ctgx; выработать у учащихся умения изображать схематически и читать графики этих функций. Сформировать прочные навыки в умении решать графически уравнения, выполнять преобразования графиков.
Оргмомент. Сообщение темы, целей и задач урока. Приглашение к сотрудничеству.
Актуализация знаний. Устная работа.
1.Вычислите:
2.Докажите, что число является периодом для функции .
3.Докажите, что функция нечётная. Доказательство: .
4.Прочитайте по графику функцию.
D (f ) = [ -2; 5]. Функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция возрастает на промежутках [ -2; -1], , убывает на промежутке [ -1; 2]. Функция ограничена снизу и сверху. Функция непрерывна на всей области определения. E(f) = [ -4; 5].
Свойство 2. Функция периодическая с периодом , т.к.
Свойство 3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Составим таблицу основных значений:
x | 0 | /6 | /4 | /3 |
tgx | 0 | 1 |
Построим график функции в первой четверти:
Используя свойства функции, строим полностью график функции y = tgx.
Свойство 4. Функция возрастает на всём интервале вида:
График функции y = tgx называют тангенсоидой , а ветвь на промежутке называют главной ветвью.
Свойство 7.Функция y = tgx непрерывна на любом промежутке вида
Рассмотрим пример: решите уравнение . Решим это уравнение графически. Построим в одной системе координат графики функций и .
Пример 2. Построить график функции
Составим план построения: 1) Построим главную тангенсоиду.
2) Отобразим эту ветвь симметрично относительно оси х. 3) Сдвинем полученную ветвь на /2 влево. 4) зная одну ветвь, построим весь график.
Т.к. , то построен график функции
По графику полученной функции описать её свойства. Как быстро это сделать? (Большинство свойств у функций y = tgx и совпадают).
Свойство 1. D (f ) – все действительные числа, кроме чисел вида x = k .
Свойство 2. Функция периодическая с периодом .
Свойство 3. Функция нечётная.
Свойство 4. Функция убывает на всём интервале вида:
Свойство 5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
Свойство 6. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Свойство 7.Функция y = tgx непрерывна на любом промежутке вида:
Свойство 8. E(f) = (- ; + ).
График функции так же называется тангенсоидой.
Закрепление изученного материала. № 254,255,257,258 – устно. № 261в, 262в – письменно.
Итог урока.
- С какими функциями мы сегодня с вами познакомились?
- Что можно сказать о них?
- Какими похожими свойствами они обладают? В чём различие?
- Как называются графики этих функций?
Домашнее задание. §15 № 256(а), 259(а), 261(а), 262(а).
Просмотр содержимого презентации
«Функции тангенса и котангенса, их свойства и графики.»
Функции y = tg x, y = ctg x,
их свойства и графики.
МАОУ лицей №10 города Советска
Калининградской области
учитель математики
Разыграева Татьяна Николаевна
Работа устно:
Вычислите:
Докажите, что число является периодом для функции y = sin2x.
sin2(x - ) = sin2x = sin2(x + )
Докажите, что функция является нечётной:
f(x) = x⁵ ∙ cos3x
Прочитайте по графику функцию:
Подсказка!
План прочтения графика:
1) D(f) – область определения функции .
2) Чётность или нечётность функции .
3) Промежутки возрастания, убывания
функции .
4) Ограниченность функции .
5) Наибольшие, наименьшие значения
функции .
6) Непрерывность функции.
7) E(f) – область значений функции.
Свойство 1.
Область определения функции y = tg x – множество
всех действительных чисел, за исключением чисел
вида x = /2 + k.
Свойство 2.
y = tg x – периодическая функция с
периодом .
tg(x - ) = tg x = tg(x + )
Свойство 3.
y = tg x – нечётная функция.
tg(- x) = - tg x
(График функции симметричен относительно
начала координат).
х
tg x
y
1
0
x
Свойство 4.
y = tg x
Функция возрастает на любом интервале вида:
График функции y = tg x
называется тангенсоидой .
Свойство 5.
Функция y = tg x не ограничена ни снизу, ни сверху.
Свойство 6.
У функции y = tg x нет ни наибольшего, ни
наименьшего значений.
Свойство 7.
Функция y = tg x непрерывна на любом интервале
вида
Свойство 8.
Пример 1.
Решите уравнение tg x = 3
у = 3
Ответ:
Пример 2.
Построить график функции y = - tg (x + /2).
y = ctg x
Т.к. - tg (x + /2) = ctg x, то построен график функции
y = ctg x.
Опишите свойства функции y = ctgx.
- D(f): множество всех действительных чисел, кроме чисел
вида x = k.
2) Периодическая с периодом .
3) Нечётная функция.
4) Функция убывает на любом интервале вида ( k; + k).
5) Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
6) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений.
7) Функция непрерывна на любом интервале вида ( k; + k).
8) E(f) = (- ; + ).
1). Пример №3 по учебнику
разобрать самостоятельно.
2). № 254, 255, 257, 258 – устно.
3). № 261 (в), 262 (в) –письменно.
4). Домашнее задание:
№ 256 (а), 259 (а), 261(а), 262(а).
Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.
Y = sin(x)
График функции y=sin(x).
Основные свойства:
3. Функция нечетная.
Y = cos(x)
График функции y=cos(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений - отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Y = tg(x)
График функции y=tg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.
3. Функция нечетная.
Y = ctg(x)
График функции y=ctg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема:
Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
y = tg x | y = ctg x | |
Область определения и непрерывность | ||
Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
Возрастание | - | |
Убывание | - | |
Экстремумы | - | - |
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.