Насыпав песок на колеблющуюся упругую пластинку, можно увидеть формирование фигур Хладни . Они часто служат примером «естественной красоты» физических явлений, хотя за ними стоит довольно простая физика резонансного возбуждения стоячих волн. И мало кто обращает внимание на любопытную особенность этих фигур: линии на них избегают пересечений, будто их отталкивает некая сила. Давайте попробуем понять, какая же физика скрывается за этим отталкиванием и как она связана с квантовой теорией хаоса.

Стоячие волны

Как мы знаем, упругие тела могут совершать довольно сложные колебания, при которых они сжимаются, растягиваются, изгибаются и скручиваются. Тем не менее, колебания любого упругого тела можно представить как комбинацию накладывающихся друг на друга более простых нормальных колебаний . Вот так выглядят несколько нормальных колебаний простейшего упругого тела – одномерной натянутой струны.

Каждое нормальное колебание представляется стоячей волной , которая, в отличие от бегущей волны, стоит на месте и обладает своим рисунком распределения амплитуд колебаний по пространству. На этом рисунке можно выделить пучности – точки, где амплитуда колебаний достигает максимумов, и узлы – неподвижные точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю. Кроме того, каждая такая волна колеблется со своей собственной частотой . В случае струны, как можно заметить, частота колебаний стоячей волны увеличивается с ростом числа узлов и пучностей.

Посмотрим теперь на двумерную систему, примером которой может служить тонкая упругая мембрана, натянутая на жесткую рамку. Нормальные колебания круглой мембраны выглядят сложнее, чем в случае струны, а вместо отдельных точек-узлов имеются узловые линии , вдоль которых мембрана неподвижна.

Нормальные колебания круглой мембраны с закрепленными краями. .

Зеленым цветом показаны узловые линии.

У круглой мембраны узловые линии, представляющие собой окружности и отрезки вдоль радиусов, могут пересекаться под прямыми углами. Если же края мембраны имеют произвольную форму, нахождение частот нормальных колебаний и картин их узлов и пучностей превращаются в задачу, решаемую только с помощью компьютера.

Профили амплитуды колебаний стоячих волн на мембранах в форме квадрата с отверстием , снежинки Коха и поверхности котенка .

Уравнения, описывающие колебания тонкой упругой пластинки, отличаются от уравнений колебания мембраны, поскольку пластинка обладает собственной жесткостью, в то время как мембрана мягкая и пружинит лишь за счет натяжения внешними силами. Однако здесь тоже существуют наборы нормальных колебаний, рисунки которых существенным образом зависят от формы границ.

Фигуры Хладни

Как было сказано выше, в общем случае колебания тела представляют собой комбинацию целого набора возбужденных в нем нормальных колебаний. Явление резонанса позволяет выборочно возбудить какое-то одно нужное нам нормальное колебание – для этого следует раскачивать тело при помощи внешней силы с частотой, равной собственной частоте нормального колебания.

На двух видео ниже показана типичная схема получения фигур Хладни: упругая пластинка прикрепляется в центре к генератору механических колебаний, частоту которых плавно увеличивают. Нормальные колебания пластинки со своими картинами узлов и пучностей возбуждаются при резонансном совпадении частоты генератора с собственными частотами этих колебаний (собственные частоты показаны на видео в левом нижнем углу).

Еще пример нормальных волн – это стоячие волны на поверхности воды. Они описываются уравнением, отличающимся от уравнений колебания пластинок и мембран, но следуют таким же качественным закономерностям, и с их помощью можно получать аналоги фигур Хладни.

Микрочастицы на поверхности воды в сосудах разной формы. Черная линия показывает масштаб 2 миллиметра. .

Классический хаос

Итак, мы видели, что в случае круглой мембраны узловые линии – теоретически! – замечательно пересекаются, в то же время на фигурах Хладни на квадратных или более сложных пластинках узловые линии избегают пересечений. Чтобы понять причину этих закономерностей, нам придется сделать небольшой экскурс в теорию хаоса.

Явление хаоса было открыто и популяризовано метеорологом и математиком Эдвардом Лоренцем , обнаружившим, что два расчета прогноза погоды, начинающиеся с очень близких начальных условий, сначала почти неотличимы друг от друга, но с какого-то момента начинают кардинально расходиться.

Два расчета Эдварда Лоренца, исходящие из близких начальных значений 0.506 и 0.506127. .

Простейшими системами, на примере которых удобно изучать хаос, являются бильярды – участки плоской поверхности, по которым без трения может катиться шарик, абсолютно упруго отскакивающий от жестких стенок. В хаотических бильярдах траектории движения шарика, имеющие незначительные отличия в самом начале, в дальнейшем существенно расходятся. Пример хаотического бильярда – изображенный ниже бильярд Синая , представляющий собой прямоугольный бильярд с круговым препятствием в центре. Как мы увидим, именно за счет этого препятствия бильярд становится хаотическим.

Две экспоненциально расходящиеся траектории шарика в бильярде Синая. .

Интегрируемые и хаотические системы

Механические системы, не являющиеся хаотическими, называются интегрируемыми , и на примере бильярдов можно наглядно увидеть разницу между интегрируемыми и хаотическими системами.

Прямоугольный и круглый бильярды являются интегрируемыми благодаря своей симметричной форме . Движение шарика в таких бильярдах – это просто комбинация двух независимых периодических движений. В прямоугольном бильярде это движения с отскоками от стенок по горизонтали и по вертикали, а круглом это движение вдоль радиуса и угловое движение по окружности вокруг центра. Такое движение легко просчитываемо и не показывает хаотического поведения.

Траектории движения шарика в интегрируемых бильярдах.

Бильярды более сложной формы, не обладающие столь высокой симметрией, как у круга или прямоугольника, являются хаотическими . Один из них мы видели выше – это бильярд Синая, в котором симметрия прямоугольника разрушается круговым включением в центре. Также часто рассматриваются бильярд «стадион» и бильярд в форме улитки Паскаля. Движение шарика в хаотических бильярдах происходит по весьма запутанным траекториям и не раскладывается на более простые периодические движения.

Траектории движения шарика в хаотических бильярдах «стадион» и «улитка Паскаля».

Здесь можно уже догадаться, что наличие пересечений между линиями на фигурах Хладни определяется тем, имеет ли пластинка форму интегрируемого или хаотического бильярда. Это наглядно видно на фотографиях ниже.

Круглые пластинки Хладни, демонстрирующие свойства интегрируемых бильярдов. .

Демонстрирующие свойства хаотических бильярдов пластинки Хладни в форме бильярда «стадион», корпуса скрипки и квадрата, симметрия которого нарушена круглым креплением в центре (аналог бильярда Синая). .

Квантовый хаос

Как же понять, почему наличие пересечений между узловыми линиями обусловлено интегрируемостью бильярда? Для этого нужно обратиться к квантовой теории хаоса , объединяющей теорию хаоса с механикой колебаний и волн. Если в классической механике шарик в бильярде описывается в виде материальной точки, движущейся вдоль определенной траектории, то в квантовой механике его движение описывается как распространение волны, подчиняющейся уравнению Шредингера и отражающейся от стенок бильярда.

Этапы распространения волны в квантовом бильярде. Изначально волна сконцентрирована в импульсе круглой формы и движется слева направо, затем она расплывается и многократно переотражается от стенок. .

То же самое в виде анимации, но с немного другими начальными условиями.

Как и в случае колебаний мембран и пластинок, описывающее квантовый бильярд уравнение Шредингера позволяет найти нормальные колебания в виде стоячих волн, обладающие характерным рисунком узловых линий и пучностей, индивидуальным для каждого колебания и зависящим от формы границ.

Примеры профилей амплитуд колебаний в стоячих волнах в хаотических квантовых бильярдах «улитка Паскаля » и «стадион ».

Рисунки стоячих волн в интегрируемых и хаотических квантовых бильярдах качественно отличаются: интегрируемые бильярды показывают симметричные, упорядоченные картины стоячих волн, в то время как в хаотических бильярдах рисунки стоячих волн весьма запутанные и не показывают никаких видимых закономерностей (в конце статьи будет показано, что некоторые интересные закономерности там все-таки существуют).

Амплитуды колебаний в стоячих волнах интегрируемого круглого бильярда (верхний ряд) и хаотического бильярда в форме улитки Паскаля (нижний ряд). .

Причудливые картины нормальных колебаний в хаотических бильярдах иногда служат предметом отдельного исследования. .

Качественное отличие видно и в картинах узловых линий: в случае интегрируемого квантового бильярда мы видим упорядоченные семейства взаимно пересекающихся линий, а в хаотических бильярдах эти линии, как правило, не пересекаются .

Вверху: узловые линии (черные линии между синими и красными областями) стоячих волн интегрируемых – круглого и прямоугольного – бильярдов. Внизу: узловые линии одной из стоячих волн в хаотическом бильярде – четверти бильярда «стадион» .

Пересекаться или не пересекаться?

Почему же узловые линии в хаотических бильярдах не пересекаются? В 1976 году математик Карен Уленбек доказал теорему , согласно которой узловые линии стоячих волн квантовых бильярдов, вообще говоря, и не должны пересекаться.

В классической теории хаоса этому вопросу посвящена знаменитая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера . Она говорит о том, что если слегка нарушить симметрию интегрируемой системы, то она не станет сразу же проявлять хаотическое поведение, а, по большей части, сохранит свое свойство предсказуемости движения. На уровне квантовой теории хаоса и фигур Хладни это проявляется в том, что в некоторых местах пересечения узловых линий сохраняются. Это происходит либо в особо симметричных точках бильярда, либо далеко от источника возмущения, нарушающего симметрию интегрируемой системы.

Что еще?

Чем еще интересна квантовая теория хаоса? Для заинтересованного читателя упомяну о трех дополнительных вопросах, уже не связанных непосредственно с фигурами Хладни.

1) Важное явление, изучаемое этой теорией – универсальность хаотических систем. Подавляющее большинство систем, в которых могут возникать нормальные колебания, являются хаотическими, и все они – независимо от своей физической природы! – подчиняются одинаковым закономерностям. Феномен универсальности, при котором совершенно разные системы описываются одними и теми же формулами, сам по себе очень красив и служит нам напоминанием о математическом единстве физического мира.

Статистика расстояний между соседними частотами нормальных колебаний в хаотических системах разной физической природы, везде описываемая одной и той же универсальной формулой Вигнера-Дайсона. .

2) Рисунки нормальных колебаний хаотических бильярдов обладают интересной особенностью, называемой «квантовыми шрамами» . Мы видели, что траектории движения шарика в хаотическом бильярде обычно выглядит весьма запутанными. Но есть и исключения – это периодические орбиты , достаточно простые и короткие замкнутые траектории, вдоль которых шарик совершает периодическое движение. Квантовыми шрамами называются резкие сгущения стоячих волн вдоль периодических орбит.

Квантовые шрамы в бильярде «стадион», идущие вдоль периодических орбит, показанных красными и зелеными линиями. .

3) До сих пор мы говорили о двумерных системах. Если же рассматривать распространение волн в трехмерном пространстве, то здесь тоже могут возникать узловые линии, вдоль которых амплитуда колебаний равна нулю. Особенно важно это при изучении бозе-конденсации и сверхтекучести, где тысячи атомов движутся как единые «волны материи ». Анализ структуры узловых линий волн материи в трехмерном пространстве необходим, например, для понимания того, как возникает и развивается квантовая турбулентность в сверхтекучих системах.

Запутанные трехмерные структуры узловых линий стоячих «волн материи» в бозе-конденсате. .

Международная научная конференция

«Первые шаги в науку»

Исследовательская работа

«Звук можно видеть!»

Предметная область: физика

Выполнил

ученик 10А класса

Бадюкова Елена

Епихин Вячеслав

Дударь Владислав

МБОУ СОШ № 52 города Брянска

Руководитель:

учитель физики

Брянск 2013

Введение. 2

Теоретическая часть ………………………………………………………….......3

Практическая часть……………………………………………………………….6

Заключение ………………………………………………………………………..9

Список литературы.. 9

Приложение ……………………………………………………………………...10

1. Введение

Актуальность: Своим экспериментом, я могу доказать, что звук можно не только услышать, но и увидеть!

Цель исследования:

Можно ли увидеть звук?!

Задачи исследования:

изучить биографию Хладни;

изучить стоячие волны;

рассмотреть виды фигур Хладни;

получить фигуры Хладни.

Методы исследования

работа с учебниками;

работа с Интернет-ресурсами;

эксперимент.

2. Основное содержание

Теоретическая часть

1. Биография Хладни.

Эрнест Флоренс Фридрих ХЛАДНИ (30 ноября 1756 – 3 апреля 1827) - немецкий физик, основоположник экспериментальной акустики. Родился в Виттенберге. По желанию отца, видного юриста, изучал право в Виттенберге и в Лейпциге . Окончил Лейпцигский университет (1782). Работал физиком в Виттенберге.
Основные работы в области акустики. Открыл в 1787 продольные колебания струн, стержней, пластин, камертонов, колоколов, в 1799 - вращательные колебания стержней. Первый тщательно и точно исследовал колебания камертона, установил в 1796 законы колебания стержней. Открыл (1787) и описал «акустические фигуры», получаемые вследствие колебания упругой пластины, посыпанной песком (фигуры Хладни), Эти экспериментальные исследования поставили новую задачу математической физики - задачу о колебаниях мембраны. Первый достаточно точно измерил скорость распространения звука в различных газах. Вопреки господствующему тогда мнению доказал, что в твердых, телах звук распространяется не мгновенно, а с конечной скоростью, и определил (1796) скорость звука в твердых телах по отношению к скорости в воздухе. Объяснил эхо, экспериментально определил верхний порог слышимости звука - 22 000 Гц . Изобрел ряд музыкальных инструментов, названных им клавицилиндром и эуфоном.

2. Фигуры Хладни

Фигуры Хладни - фигуры, образуемые скоплением мелких частиц вблизи узловых линий на поверхности упругой колеблющейся пластинки. Названы в честь немецкого физика Эрнеста Хладни , обнаружившего их.

Хладни фигуры, фигуры, образуемые скоплением мелких частиц сухого песка вблизи узловых линий на поверхности упругой колеблющейся пластинки; каждому собственному колебанию пластинки соответствует своё расположение узловых линий. В случае круглой пластинки узловые линии могут быть круговыми или радиальными; в случае прямоугольной или треугольной пластинки они имеют направление, параллельное сторонам или диагоналям. Меняя точки закрепления и места возбуждения, можно получить разнообразные фигуры Хладни, соответствующие различным собственным колебаниям пластинки. Фигуры Хладни применяются для изучения собственных частот диафрагм телефонов, микрофонов, громкоговорителей.. Фигуры Хладни используются в дефектоскопии (топографический метод) для исследования изделия в целом (например, пластинки или оболочки).

3. Стоячие волны.

Стоячая волна - колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов - пучностей и минимумов –узлов амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе.

Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.

Стоячая волна не переносит энергию, так как падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду и несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.

3. Практическая часть

В театрах, чтобы представить на сцене звон церковных колоколов, употребляют обыкновенно длинные стальные пруты или свободно висящие листы железа. Вот как рассказывает сам Хладни о своих опытам: «Я нигде не мог найти научного объяснения разного рода колебаниям и звучности тел. Между прочим, я заметил, что маленькая стеклянная или металлическая пластинка, подвешиваемая в разных точках, издавала различные звуки, когда я ударял по ней. Я захотел узнать причину этого различия звуков. Должен добавить, что тогда никто еще не производил исследований в этой области. Я зажал в тиски латунный кружок от шлифовальной машины за находившийся посредине него шип и заметил, что скрипичный смычок заставляет его издавать различные звуки в зависимости от места, где прикасается смычок. Наблюдения Лихтенберга над узорами смоляной пыли, получающимися на стеклянных или смоляных пластинках под влиянием электричества, навели меня на мысль, что различные колебания моего кружка тоже обнаружатся, если посыпать его песком или чем-нибудь вроде этого. Когда я привел свою мысль в исполнение, то действительно получил при таких опытах звездообразные фигуры».

(рис.1)

План действий эксперимента :
Возьмём какую-нибудь стеклянную пластинку со стороной сантиметров в 30 и толщиной в 1-2 миллиметра. Неровная или надтреснутая пластинка для опыта не годится

В центре пластинки отверстие диаметром в 6 миллиметров. Чтобы пластинка могла звучать, ее надо прикрепить к чему-нибудь твердому только серединой.

Чтобы дать возможность пластинке свободно колебаться, под головку винта подложил предварительно плоский кусочек пробки.

Покрыл пластинку черным лаком (для хорошего и чёткого изображения получившихся фигур), хорошенько натёр смычок канифолью и медленно водил им, как показано на рисунке, вверх и вниз, осторожно нажимая. Может быть, не сразу, но вскоре появляется чистый звук, правда, не особенно приятный

Сквозь сито я насыпал на пластинку крупу - манку. Насыпать нужно равномерно и желательно не очень густо. Поводил смычком по одному из краев пластинки, а пальцем другой руки дотронулся до противоположной стороны.

На колеблющейся поверхности пластинки крупинки подпрыгивали, и, наконец, когда звук пластинки установился, манка симметрично начала лежать на ней в виде какой-нибудь фигуры.

Если держать пальцем посредине края пластинки, противоположного смычку, манка на ней ляжет двумя линиями так, что разделит пластинку на 4 квадрата.

Если держать за угол пластинки, манка покроет ее по двум диагоналям.

Правильность фигуры зависит от чистоты тона, который дает пластинка. Если тон скрипучий, неприятный и неясный, фигура ясно не обозначается. Но зато, имея пластинку, дающую ясный и чистый тон, вы можете «рисовать» на ней фигуры удивительно точные и. разнообразные. Фигуры образуются оттого, что не все точки пластинки колеблются от прикосновения смычка. Те участки, которые придерживаются пальцами, не двигаются, а другие быстро и сильно колеблются. Манка соскальзывает с колеблющихся точек и остается на неподвижных местах, образуя линии фигур.

Наблюдая за фигурами при различных положениях пальцев на пластинке, я заметил, что, как только меняется положение пальцев, изменяется звук и сейчас же изменяется расположение манки на пластинке.
Простые фигуры вызываются низкими басовыми нотами; более сложные образуются при высоких нотах.
Высокие звуки вызываются быстрыми колебаниями. Эти колебания могут совершать только малые колеблющиеся плоскости. Поэтому в них образуется большое количество неподвижных точек. Само собой понятно, что разные пластинки дают разные фигуры. Опыт можно производить не только с квадратной, но и с круглой и многогранной пластинками. В нижней части рисунка (рис.1) показаны звуковые фигуры Хладни, полученные при опытах с квадратной пластинкой. Там показаны только самые простые фигуры из бесчисленного множества фигур, полученных Хладни. Чем выше тон пластинки, тем более сложной получается фигура и тем поразительнее скорость появления ее.

Для получения Фигур Хладни я использовал музыкальные колонки.

4. Заключение.

1) Я выяснил, что чем выше тон пластинки, тем более сложные фигуры получаются. Я выяснил, что при изменение расположение пальцев, изменяется сам звук и расположение манки.

2) В ходе этого эксперимента, я понял, что на успешное выполнение его понадобится “правильный” материал.

3) Я выяснил, что правильность фигуры зависит от чистоты тона, который дает пластинка.

4) Я выяснил, что простые фигуры вызываются низкими басовыми нотами, а более сложные образуются при высоких нотах.

Список литературы

Они часто служат примером «естественной красоты» физических явлений, хотя за ними стоит довольно простая физика резонансного возбуждения стоячих волн. И мало кто обращает внимание на любопытную особенность этих фигур: линии на них избегают пересечений, будто их отталкивает некая сила. Давайте попробуем понять, какая же физика скрывается за этим отталкиванием и как она связана с квантовой теорией хаоса. Как мы знаем, упругие тела могут совершать довольно сложные колебания, при которых они сжимаются, растягиваются, изгибаются и скручиваются.

Тем не менее, колебания любого упругого тела можно представить как комбинацию накладывающихся друг на друга более простых нормальных колебаний . Вот так выглядят несколько нормальных колебаний простейшего упругого тела – одномерной натянутой струны.

Каждое нормальное колебание представляется стоячей волной , которая, в отличие от бегущей волны, стоит на месте и обладает своим рисунком распределения амплитуд колебаний по пространству. На этом рисунке можно выделить пучности – точки, где амплитуда колебаний достигает максимумов, и узлы – неподвижные точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю.

Кроме того, каждая такая волна колеблется со своей собственной частотой . В случае струны, как можно заметить, частота колебаний стоячей волны увеличивается с ростом числа узлов и пучностей.

Посмотрим теперь на двумерную систему, примером которой может служить тонкая упругая мембрана, натянутая на жесткую рамку. Нормальные колебания круглой мембраны выглядят сложнее, чем в случае струны, а вместо отдельных точек-узлов имеются узловые линии , вдоль которых мембрана неподвижна.

Нормальные колебания круглой мембраны с закрепленными краями. .

Зеленым цветом показаны узловые линии.

У круглой мембраны узловые линии, представляющие собой окружности и отрезки вдоль радиусов, могут пересекаться под прямыми углами. Если же края мембраны имеют произвольную форму, нахождение частот нормальных колебаний и картин их узлов и пучностей превращаются в задачу, решаемую только с помощью компьютера.

Профили амплитуды колебаний стоячих волн на мембранах в форме квадрата с отверстием , снежинки Коха и поверхности котенка .

Уравнения, описывающие колебания тонкой упругой пластинки, отличаются от уравнений колебания мембраны, поскольку пластинка обладает собственной жесткостью, в то время как мембрана мягкая и пружинит лишь за счет натяжения внешними силами. Однако здесь тоже существуют наборы нормальных колебаний, рисунки которых существенным образом зависят от формы границ.

Фигуры Хладни

Как было сказано выше, в общем случае колебания тела представляют собой комбинацию целого набора возбужденных в нем нормальных колебаний. Явление резонанса позволяет выборочно возбудить какое-то одно нужное нам нормальное колебание – для этого следует раскачивать тело при помощи внешней силы с частотой, равной собственной частоте нормального колебания.

На двух видео ниже показана типичная схема получения фигур Хладни: упругая пластинка прикрепляется в центре к генератору механических колебаний, частоту которых плавно увеличивают. Нормальные колебания пластинки со своими картинами узлов и пучностей возбуждаются при резонансном совпадении частоты генератора с собственными частотами этих колебаний (собственные частоты показаны на видео в левом нижнем углу).

Несколько фигур Хладни на верхней деке гитары. .

Еще пример нормальных волн – это стоячие волны на поверхности воды. Они описываются уравнением, отличающимся от уравнений колебания пластинок и мембран, но следуют таким же качественным закономерностям, и с их помощью можно получать аналоги фигур Хладни.

Микрочастицы на поверхности воды в сосудах разной формы. Черная линия показывает масштаб 2 миллиметра. .

Классический хаос

Итак, мы видели, что в случае круглой мембраны узловые линии – теоретически! – замечательно пересекаются, в то же время на фигурах Хладни на квадратных или более сложных пластинках узловые линии избегают пересечений. Чтобы понять причину этих закономерностей, нам придется сделать небольшой экскурс в теорию хаоса.

Простейшими системами, на примере которых удобно изучать хаос, являются бильярды – участки плоской поверхности, по которым без трения может катиться шарик, абсолютно упруго отскакивающий от жестких стенок. В хаотических бильярдах траектории движения шарика, имеющие незначительные отличия в самом начале, в дальнейшем существенно расходятся. Пример хаотического бильярда – изображенный ниже бильярд Синая , представляющий собой прямоугольный бильярд с круговым препятствием в центре. Как мы увидим, именно за счет этого препятствия бильярд становится хаотическим.

Две экспоненциально расходящиеся траектории шарика в бильярде Синая. .

Интегрируемые и хаотические системы

Механические системы, не являющиеся хаотическими, называются интегрируемыми , и на примере бильярдов можно наглядно увидеть разницу между интегрируемыми и хаотическими системами.

Прямоугольный и круглый бильярды являются интегрируемыми благодаря своей симметричной форме(***) . Движение шарика в таких бильярдах – это просто комбинация двух независимых периодических движений. В прямоугольном бильярде это движения с отскоками от стенок по горизонтали и по вертикали, а круглом это движение вдоль радиуса и угловое движение по окружности вокруг центра. Такое движение легко просчитываемо и не показывает хаотического поведения.

(***) Еще один пример интегрируемого бильярда – это бильярд в форме эллипса. В этом случае симметрия, делающая его интегрируемым, уже не столь очевидна, как в случае круга и прямоугольника.

Траектории движения шарика в интегрируемых бильярдах.

Бильярды более сложной формы, не обладающие столь высокой симметрией, как у круга или прямоугольника, являются хаотическими(****) . Один из них мы видели выше – это бильярд Синая, в котором симметрия прямоугольника разрушается круговым включением в центре. Также часто рассматриваются бильярд «стадион» и бильярд в форме улитки Паскаля. Движение шарика в хаотических бильярдах происходит по весьма запутанным траекториям и не раскладывается на более простые периодические движения.

(****) Если выражаться более точно, то принадлежность бильярда к интегрируемым или хаотическим зависит от числа независимых интегралов движения

Траектории движения шарика в хаотических бильярдах «стадион» и «улитка Паскаля».

Здесь можно уже догадаться, что наличие пересечений между линиями на фигурах Хладни определяется тем, имеет ли пластинка форму интегрируемого или хаотического бильярда. Это наглядно видно на фотографиях ниже.

Круглые пластинки Хладни, демонстрирующие свойства интегрируемых бильярдов. .

Демонстрирующие свойства хаотических бильярдов пластинки Хладни в форме бильярда «стадион», корпуса скрипки и квадрата, симметрия которого нарушена круглым креплением в центре (аналог бильярда Синая). .

Квантовый хаос

Как же понять, почему наличие пересечений между узловыми линиями обусловлено интегрируемостью бильярда? Для этого нужно обратиться к квантовой теории хаоса , объединяющей теорию хаоса с механикой колебаний и волн.

Если в классической механике шарик в бильярде описывается в виде материальной точки, движущейся вдоль определенной траектории, то в квантовой механике его движение описывается как распространение волны, подчиняющейся уравнению Шредингера и отражающейся от стенок бильярда.

Этапы распространения волны в квантовом бильярде. Изначально волна сконцентрирована в импульсе круглой формы и движется слева направо, затем она расплывается и многократно переотражается от стенок. .

То же самое в виде анимации, но с немного другими начальными условиями.

Как и в случае колебаний мембран и пластинок, описывающее квантовый бильярд уравнение Шредингера позволяет найти нормальные колебания в виде стоячих волн, обладающие характерным рисунком узловых линий и пучностей, индивидуальным для каждого колебания и зависящим от формы границ.

Примеры профилей амплитуд колебаний в стоячих волнах в хаотических квантовых бильярдах «улитка Паскаля » и «стадион ».

Рисунки стоячих волн в интегрируемых и хаотических квантовых бильярдах качественно отличаются: интегрируемые бильярды показывают симметричные, упорядоченные картины стоячих волн, в то время как в хаотических бильярдах рисунки стоячих волн весьма запутанные и не показывают никаких видимых закономерностей (в конце статьи будет показано, что некоторые интересные закономерности там все-таки существуют).

Амплитуды колебаний в стоячих волнах интегрируемого круглого бильярда (верхний ряд) и хаотического бильярда в форме улитки Паскаля (нижний ряд). .

Причудливые картины нормальных колебаний в хаотических бильярдах иногда служат предметом отдельного исследования. .

Качественное отличие видно и в картинах узловых линий: в случае интегрируемого квантового бильярда мы видим упорядоченные семейства взаимно пересекающихся линий, а в хаотических бильярдах эти линии, как правило, не пересекаются .

Вверху: узловые линии (черные линии между синими и красными областями) стоячих волн интегрируемых – круглого и прямоугольного – бильярдов. Внизу: узловые линии одной из стоячих волн в хаотическом бильярде – четверти бильярда «стадион» .

Пересекаться или не пересекаться?

Почему же узловые линии в хаотических бильярдах не пересекаются? В 1976 году математик Карен Уленбек доказал теорему , согласно которой узловые линии стоячих волн квантовых бильярдов, вообще говоря, и не должны пересекаться.

В классической теории хаоса этому вопросу посвящена знаменитая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера . Она говорит о том, что если слегка нарушить симметрию интегрируемой системы, то она не станет сразу же проявлять хаотическое поведение, а, по большей части, сохранит свое свойство предсказуемости движения. На уровне квантовой теории хаоса и фигур Хладни это проявляется в том, что в некоторых местах пересечения узловых линий сохраняются. Это происходит либо в особо симметричных точках бильярда, либо далеко от источника возмущения, нарушающего симметрию интегрируемой системы.

Что еще?

Чем еще интересна квантовая теория хаоса? Для заинтересованного читателя упомяну о трех дополнительных вопросах, уже не связанных непосредственно с фигурами Хладни.

1) Важное явление, изучаемое этой теорией – универсальность хаотических систем. Подавляющее большинство систем, в которых могут возникать нормальные колебания, являются хаотическими, и все они – независимо от своей физической природы! – подчиняются одинаковым закономерностям. Феномен универсальности, при котором совершенно разные системы описываются одними и теми же формулами, сам по себе очень красив и служит нам напоминанием о математическом единстве физического мира.

Статистика расстояний между соседними частотами нормальных колебаний в хаотических системах разной физической природы, везде описываемая одной и той же универсальной формулой Вигнера-Дайсона. .

2) Рисунки нормальных колебаний хаотических бильярдов обладают интересной особенностью, называемой «квантовыми шрамами» . Мы видели, что траектории движения шарика в хаотическом бильярде обычно выглядит весьма запутанными. Но есть и исключения – это периодические орбиты , достаточно простые и короткие замкнутые траектории, вдоль которых шарик совершает периодическое движение. Квантовыми шрамами называются резкие сгущения стоячих волн вдоль периодических орбит.

Квантовые шрамы в бильярде «стадион», идущие вдоль периодических орбит, показанных красными и зелеными линиями. .

3) До сих пор мы говорили о двумерных системах. Если же рассматривать распространение волн в трехмерном пространстве, то здесь тоже могут возникать узловые линии, вдоль которых амплитуда колебаний равна нулю. Особенно важно это при изучении бозе-конденсации и сверхтекучести, где тысячи атомов движутся как единые «волны материи ». Анализ структуры узловых линий волн материи в трехмерном пространстве необходим, например, для понимания того, как возникает и развивается квантовая турбулентность в сверхтекучих системах.

Запутанные трехмерные структуры узловых линий стоячих «волн материи» в бозе-конденсате. .

Если размер частичек, насыпанных на пластинку, достаточно мал, то их будет сдувать уже не к узлам, а к пучностям стоячей волны, как было показано в этой экспериментальной работе .

Хотя на обывательском уровне слова «хаотичный» и «случайный» часто используются как синонимы, на уровне физики эти понятия существенно отличаются: хаотические системы являются детерминированными – это системы, движение которых описывается строго определенными уравнениями, не подвержено воздействию случайных факторов и потому предопределено начальными условиями. Однако трудность предсказания движения хаотических систем делает их на практике похожими на случайные.

Еще один пример интегрируемого бильярда – это бильярд в форме эллипса. В этом случае симметрия, делающая его интегрируемым, уже не столь очевидна, как в случае круга и прямоугольника.

Если выражаться более точно, то принадлежность бильярда к интегрируемым или хаотическим зависит от числа независимых интегралов движения – сохраняющихся с течением времени величин. Интегрируемые бильярды обладают двумя интегралами движения, в двумерной системе этого достаточно для точного аналитического решения уравнений движения. Хаотический бильярд имеет только один интеграл движения – кинетическую энергию шарика.

В театрах, чтобы представить на сцене звон церковных колоколов, употребляют обыкновенно длинные стальные пруты или свободно висящие листы железа. Мы знаем уже о колебаниях струн и деревянных палочек, поэтому нам легко представить себе и колебания железных прутов. Что же касается железных плит, то здесь явление гораздо более сложное. Только благодаря интересным исследованиям физика Хладни мы имеем точные данные по этому вопросу. Вот как рассказывает сам Хладни о своих опытам: «Я нигде не мог найти научного объяснения разного рода колебаниям и звучности тел. Между прочим, я заметил, что маленькая стеклянная или металлическая пластинка, подвешиваемая в разных точках, издавала различные звуки, когда я ударял по ней. Я захотел узнать причину этого различия звуков. Должен добавить, что тогда никто еще не производил исследований в этой области.

Я зажал в тиски латунный кружок от шлифовальной машины за находившийся посредине него шип и заметил, что скрипичный смычок заставляет его издавать различные звуки в зависимости от места, где прикасается смычок. Наблюдения Лихтенберга над узорами смоляной пыли, получающимися на стеклянных или смоляных пластинках под влиянием электричества, навели меня на мысль, что различные колебания моего кружка тоже обнаружатся, если посыпать его песком или чем-нибудь вроде этого. Когда я привел свою мысль в исполнение, то действительно получил при таких опытах звездообразные фигуры».
Если вы захотите повторить опыт Хладни, возьмите какую-нибудь стеклянную или, еще лучше, латунную квадратную пластинку со-стороной сантиметров в 30 и толщиной в 1-2 миллиметра. Неровная или надтреснутая пластинка для опыта не годится.

В центре пластинки просверлите отверстие диаметром в 6 миллиметров. Чтобы пластинка могла звучать, ее надо прикрепить к чему-нибудь твердому только серединой. Привинтите ее к небольшой деревяшке, а деревяшку зажмите в тиски, привинченные к столу (рис. 45). Чтобы дать возможность пластинке свободно колебаться, под головку винта подложите предварительно плоский кусочек пробки. Покройте теперь пластинку черным лаком, хорошенько натрите смычок канифолью и медленно водите им, как показано на рисунке, вверх и вниз, осторожно нажимая. Может быть, не сразу, но вскоре вы вызовете чистый звук, правда, не особенно приятный.
Сквозь сито насыпьте на пластинку мелкий песок. Насыпать постарайтесь поровнее, но не очень густо. Водите смычком по одному из краев пластинки, а пальцем другой руки дотроньтесь до противоположной стороны. На колеблющейся поверхности пластинки песчинки будут подпрыгивать, и, наконец, когда звук пластинки установится, песок будет симметрично лежать на ней в виде какой-нибудь фигуры. Если вы держали пальцем посредине края пластинки, противоположного смычку, песок на ней ляжет двумя линиями так, что разделит пластинку на 4 квадрата. Если вы будете держать за угол пластинки, песок покроет ее по двум диагоналям.

Правильность фигуры зависит от чистоты тона, который дает пластинка. Если тон скрипучий, неприятный и неясный, фигура ясно не обозначается. Но зато, имея пластинку, дающую ясный и чистый тон, вы можете «рисовать» на ней фигуры удивительно точные и.разнообразные. Фигуры образуются оттого, что не все точки пластинки колеблются от прикосновения смычка. Те участки, которые придерживаются пальцами, не двигаются, а другие бистро и сильно колеблются. Песок соскальзывает с колеблющихся точек и остается на неподвижных местах, образуя линии фигур. Если вы будете нажимать на пластинку двумя пальцами на равных расстояниях от середины одной стороны (рис. 45), а смычком водить посредине противоположной стороны, вы получите фигуру, изображенную на том же рисунке. Наблюдая за фигурами при различных положениях пальцев на пластинке, вы заметите, что, как только меняется положение пальцев, изменяется звук и сейчас же изменяется расположение песка на пластинке.

Простые фигуры вызываются низкими басовыми нотами; более сложные образуются при высоких нотах.
Мы уже много говорили о звуковых колебаниях, и теперь нам нетрудно объяснить появление фигур Хладни.
Высокие звуки вызываются быстрыми колебаниями. Эти колебания могут совершать только малые колеблющиеся плоскости. Поэтому в них образуется большое количество неподвижных точек. Само собой понятно, что разные пластинки дают разные фигуры. Опыт можно производить не только с квадратной, но и с круглой и многогранной пластинками. В нижней части рис. 45 показаны звуковые фигуры Хладни, полученные при опытах с квадратной пластинкой. Там показаны только самые простые фигуры из бесчисленного множества фигур, полученных Хладни. Чем выше тон пластинки, тем более сложной получается фигура и тем поразительнее скорость появления ее.

Б. Донат
“Физика в играх”

Экспериментальная часть.

Опыт 1. Получение фигур Хладни с помощью звукового динамика

Цель : наглядно продемонстрировать появление фигур Хладни.

Приборы: п лоская стеклянная пластина, с размерами 18 см на 22 см;. толщина – 3 мм. Жестяная пластина с размерами 20 см на 23 см; толщина- 1,5 мм. Источник гармонических колебаний – динамик.

Для определения форм колебаний с помощью песчаных фигур, горизонтально установленную и обезжиренную пластину посыпали тонким слоем предварительно просеянного песка. При подходе к резонансу песок начинает интенсивно перемещаться по пластине, концентрируясь в узлах данной формы колебаний, то есть в тех местах, которые в процессе колебаний остаются неподвижными. После более или менее продолжительного выдерживания объекта на резонансе на его поверхности появляется чёткая песчаная фигура, показывающая расположение узловых линий. Через 3,5 минуты на стеклянной пластине получилась следующая картина (рис.1). На жестяной пластине узор получился через 2 минуты, т.к. она тоньше, чем стеклянная и рисунок получился более четкий .

Опыт № 2 Получение фигур Хладни с помощью звукового генератора.

Цель: д оказать опытным путем как зависит частота волны на число пучностей в рисунке.

Приборы: генератор звуковых волн, динамик, лист бумаги, песок.

Ход работы:

Расположили динамик на ровной поверхности, на него положили квадратный лист плотной бумаги. На бумагу насыпали тонким слоем речной песок. Лист должен быть без вмятин, иначе в них будет собираться песок.

Подключаем динамик к звуковому генератору. Поэтапно возбуждаем динамик на частотах 400Гц, 600Гц, 800Гц, 1000Гц, 2000Гц, 3000Гц и наблюдаем за получаемой картиной узлов и пучностей из песка. Образование картины происходит за 45сек - 3 мин.

Фигуры получались только в этом диапазоне. Когда частота ниже 400Гц динамик начинает "бить" по листу, из-за чего песок начинал "прыгать" по поверхности, впоследствии рисунок не складывался. Если частота выше 3000Гц, то изображение не сложится, из-за того что плотность листа будет слишком высокой для частоты.

Результаты опыта:

𝝂= 400 Гц

𝝂= 600 Гц

𝝂= 800 Гц

𝝂= 1000 Гц

𝝂= 2000 Гц

𝝂= 3000 Гц

Вывод: Изменение возбуждаемой частоты в динамике влечет за собой изменение картины узлов и пучностей. С увеличением частоты число пучностей и узлов увеличивается.

Опыт № 3 Получение фигур Хладни на мембране с сыпучим материалом с помощью духового инструмента.

Цель: получить фигуры Хладни с помощью трубы на мембране с сыпучим материалом.

Приборы: музыкальный инструмент - труба, мембрана (резиновая перчатка, воздушный шар), стеклянная чаша, песок .

Ход работы:

Натягиваем резиновую мембраны на стеклянную чашу. Затем, размещаем чашу на ровной поверхности. Рассыпаем песок ровным слоем на мембране.

Трубу держим на расстоянии 2-7 см от мембраны, под углом 25-45 градусов. Во время звукоизвлечения, важно, чтобы звук был одной амплитуды и частоты и длительность тянущейся ноты от 20 сек до 40 сек, иначе ожидаемая картинка не получится.

Наблюдаемая картина:

до

ре

ми

фа

Вывод: При различных частотах музыкального инструмента картины фигур Хладни из сыпучих материалов различна. Простые фигуры вызываются низкими басовыми нотами, а более сложные образуются при высоких нотах.

Опыт № 4 Получение фигур Хладни в жидкости

Цель: получить фигуры Хладни на воде

Приборы: генератор звуковых волн, динамик, стеклянная чаша, смесь воды и крахмала (или вода).

Ход работы.

Расположили динамик на ровной поверхности, на него поставили чащу с водой. Подключаем динамик к звуковому генератору и наблюдаем за получаемой картиной узлов и пучностей из песка.

Результаты опыта:

Вывод: фигуры Хладни можно наблюдать и в жидкой среде.

Применение фигур Хладни.

Позднее Хладниевы фигуры нашли практическое применение при исследовании собственных частот диафрагм, микрофонов, а также нижней деки струнных смычковых инструментов. Ну и для любителей загадок есть такая история. В Шотландии есть рослинская капелла св. Матвея, которая содержит множество тайн и загадок, и еще больше легенд связано с ее именем. В частности на одной из арок есть 213 резных каменных кубов, с вырезанных на них геометрическим рисунком. Многие исследователи пытались понять что зашифровано в рисунках на кубах. Отставной генерал ВВС Томас Митчел, со своим сыном пианистом Стюартом Митчелом предложили оригинальный способ расшифровки послания. Они сопоставили геометрические рисунки с фигурами Хладни, и пришли к выводу, что на кубах записаны частоты - ноты.

Собрав ноты воедино и творчески обработав их они представили миру произведение - " " ( хоровое полифоническое сочинение на изречение из Библии ).

Фигуры Хладни используются в дефектоскопии (топографический метод - основан на возбуждении в исследуемом изделии мощных колебаний заданной частоты с одновременной визуализацией картины колебаний контролируемой поверхности путем нанесения на нее порошка) для исследования изделия в целом (например, пластинки или оболочки).

Интересно, что геометрические фигуры, которые образуются в результате эксперимента Хладни, наши предки использовали повсеместно. Мы можем наблюдать их в орнаментах украшений жилища, на колоннах, древних скульптурах, и даже на иконах. Это свидетельствует о том, что для людей, живших в различное время и на разных континентах эти изображения имели большое значение и говорит об их понимании физических процессов, которые происходят в невидимом мире.

Это говорит о том, что благодаря таким открытиям, мы только подбираемся к тому, чтобы понять какое богатое духовное наследие оставили люди прошлых цивилизаций. Но все это возможно только в том случае, когда мы постоянно расширяем свой кругозор, анализируем, сопоставляем, а главное, в каждом дне уделяем внимание познанию внутреннего мира, что дает возможность глубже понять себя, окружающих и происходящие события.

Заключение:

Исходя их исследования, можно сделать вывод, что визуализация звуковых волн является одним из красивейших зрелищ, которую можно увидеть своими глазами при помощи многих экспериментов.

На основе изучения и методов проведены опыты, позволившие визуализировать звуковые волны при помощи простых материалов и методы получения фигур Хладни. Выяснены зависимости между характеристиками звуковых волн. Так же исследование помогло понять, что изменение волн зависят от частоты вибрации, как и от амплитуды колебания. Фигуры Хладни можно наблюдать в различных средах.