Эквипотенциальная поверхность эквипотенциа́льная пове́рхность

поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал. Эквипотенциальная поверхность ортогональна силовым линиям поля. Поверхность проводника в электростатике является эквипотенциальной поверхностью.

ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

ЭКВИПОТЕНЦИА́ЛЬНАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ, поверхность, во всех точках которой потенциал (см. ПОТЕНЦИАЛ (в физике)) электрического поля имеет одинаковое значение j= const. На плоскости эти поверхности представляют собой эквипотенциальные линии поля. Используются для графического изображения распределения потенциала.
Эквипотенциальные поверхности замкнуты и не пересекаются. Изображение эквипотенциальных поверхностей осуществляют таким образом, чтобы разности потенциалов между соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. В этом случае в тех участках, где линии эквипотенциальных поверхностей расположены гуще, больше напряженность поля.
Между двумя любыми точками на эквипотенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю. Это означает, что вектор силы в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности (см. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ) электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности. Другими словами: эквипотенциальная поверхность ортогональна к силовым линиям (см. СИЛОВЫЕ ЛИНИИ) поля, а вектор напряженности электрического поля Е всегда перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и всегда направлен в сторону убывания потенциала. Работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю, так как?j = 0.
Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд. Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности. Поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной поверхностью.

Энциклопедический словарь . 2009 .

Смотреть что такое "эквипотенциальная поверхность" в других словарях:

Поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал. Эквипотенциальная Поверхность ортогональна к силовым линиям поля. Поверхность проводника в электростатике является эквипотенциальной поверхностью … Большой Энциклопедический словарь

Поверхность, все точки к рой имеют один и тот же потенциал. Напр., поверхность проводника в электростатике Э. п. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983 … Физическая энциклопедия

эквипотенциальная поверхность - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN surface of equal potentialsequal energy surfaceequipotential… … Справочник технического переводчика

Эквипотенциальные поверхности электрического диполя (изображены тёмным их сечения плоскостью рисунка; цветом условно передано значение потенциала в разных точках наиболее высокие значения пурпурным и красным, н … Википедия

эквипотенциальная поверхность - vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. equipotential surface vok. Äquipotentialfläche, f rus. эквипотенциальная поверхность, f pranc. surface de potentiel constant, f; surface d’égal potentiel, f; surface… … Fizikos terminų žodynas

Поверхность равного потенциала, поверхность, все точки которой имеют один и тот же Потенциал. Например, поверхность проводника в электростатике Э. п. В силовом поле Силовые линии нормальны (перпендикулярны) к Э. п … Большая советская энциклопедия

- (от лат. aequus равный и потенциал) геом. место точек в поле, к рым соответствует одно и то же значение потенциала. Э. п. перпендикулярны силовым линиям. Эквипотенциальной является, напр., поверхность проводника, находящегося в электростатич.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Для большей наглядности электрическое поле часто изображается при помощи силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовые линии – это непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают с вектором напряженности электрического поля (рис. 1.5). Густота силовых линий (число силовых линий, проходящих через единицу площади) пропор­ци­о­нальна напряженности электрического поля.

Эквипотенциальные поверхности (экви­по­тенциали) – поверхности равного потен­циала. Это поверхности (линии), при движении по которым потенциал не меняется. Иначе, разность потенциалов между двумя любыми точками эквипотенциали равна нулю. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциалям и направлены в сторону убывания потенциала. Это следует из уравнения (1.10).

Рассмотрим в качестве примера электрическое поле, создаваемое на расстоянии от точечного заряда. Согласно (1.11,б) вектор напряженности совпадает с направлением вектора, если заряд положительный, и противоположен ему, если заряд отрицательный. Следовательно силовые линии расходятся радиально от заряда (рис. 1.6, а, б). Густота силовых линий, как и напряженность, обратно пропорциональна квадрату расстояния (
) до заряда. Эквипотенциали электрического поля точечного заряда представляют собой сферы с центром в месте расположения заряда.

На рис. 1.7 показано электрическое поле системы двух равных по модулю, но противоположных по знаку точечных зарядов. Мы предоставляем разобрать этот пример читателям самостоятельно. Отметим лишь, что силовые линии всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В случае электрического поля одного точечного заряда (рис. 1.6, а, б) предполагается, что силовые линии обрываются на очень удаленных зарядах противоположного знака. Считается, что Вселенная в целом нейтральна. Поэтому, если имеется заряд одного знака, то где-то обязательно найдется равный ему по модулю заряд другого знака.

1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Основной задачей электростатики является задача о нахождении напряженности и потенциала электрического поля в каждой точке пространства. В п. 1.4 мы решили задачу о поле точечного заряда, а также рассмотрели поле системы точечных зарядов. В этом параграфе речь пойдет о теореме, позволяющей рассчитывать электрическое поле более сложных заряженных объектов. Например, заряженной длинной нити (прямой), заряженной плоскости, заряженной сферы и других. Рассчитав напряженность электрического поля в каждой точке пространства, используя уравнения (1.12) и (1.13), можно вычислить потенциал в каждой точке или разность потенциалов между двумя любыми точками, т.е. решить основную задачу электростатики.

Для математического описания введем понятие потока вектора напряженности или потока электрического поля. Потоком (Ф) вектора электрического поля через плоскую поверхность площади
называется величина:

, (1.16)

где – напряженность электрического поля, которая предполагается постоянной в пределах площадки
;
– угол между направлением вектораи единичного вектора нормалик площадке
(рис. 1.8). Формулу (1.16) можно записать, используя понятие скалярного произведения векторов:

. (1.15,а)

В случае, когда поверхность не плоская, для вычисления потока ее необходимо разделить на малые части
, которые можно приблизительно считать плоскими, а затем записать выражение (1.16) или (1.16,а) для каждого куска поверхности и сложить их. В пределе, когда поверхностьS i очень мала (
), такую сумму называют поверхностным интегралом и обозначают
. Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через произвольную поверхностьопределяется выражением:

. (1.17)

В качестве примера рассмотрим сферу радиуса , центром которой служит положительный точечный заряд , и определим поток электрического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии (см., например, рис.1.6, а) выходящие из заряда, перпендикулярны поверхности сферы, и в каждой точке сферы модуль напряженности поля один и тот же

.

Площадь сферы
,

тогда


.

Величина
и представляет собой поток электрического поля через поверхность сферы. Таким образом, получаем
. Видно, что поток через поверхность сферы электрического поля не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряда. Поэтому, если провести ряд концентрических сфер, то поток электрического поля через все эти сферы будет одинаковым. Очевидно, что число силовых линий, пересекающих эти сферы, тоже будет одинаковым. Условились число силовых линий, выходящих из заряда, принимать равным потоку электрического поля:
.

Если сферу заменить любой другой замкнутой поверхностью, то поток электрического поля и число силовых линий, пересекающих ее, не изменятся. Кроме того, поток электрического поля через замкнутую поверхность, а значит и число силовых линий, пронизывающих эту поверхность, равняется
не только для поля точечного заряда, но и для поля, создаваемого любой совокупностью точечных зарядов, в частности – заряженным телом. Тогда величинуследует считать как алгебраическую сумму всей совокупности зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности. В этом и состоит суть теоремы Гаусса, которая формулируется так.

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находится система зарядов, равняется
, где
 алгебраическая сумма этих зарядов.

Математически теорему можно записать в виде

. (1.18)

Отметим, что если на некоторой поверхности S вектор постоянен и параллелен вектору, то поток через такую поверхность. Преобразуя первый интеграл, мы сначала воспользовались тем, что векторыипараллельны, а значит
. Затем вынесли величинуза знак интеграла в силу того, что она постоянна в любой точке сферы. Применяя теорему Гаусса для решения конкретных задач, специально в качестве произвольной замкнутой поверхности стараются выбирать поверхность, для которой выполняются описанные выше условия.

Приведем несколько примеров на применение теоремы Гаусса.

Пример 1.2. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити. Определить разность потенциалов между двумя точками в таком поле.

Решение. Предположим для определенности, что нить заряжена положительно. В силу симметрии задачи можно утверждать, что силовые линии будут радиально расходящимися от оси нити прямыми (рис.1.9), густота которых по мере удаления от нити уменьшается по какому-то закону. По этому же закону будет уменьшаться и величина электрического поля . Эквипотенци­аль­ны­ми поверхностями будут цилиндрические поверхности с осью, совпадающей с нитью.

Пусть заряд единицы длины нити равен . Эта величина называется линейной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м]. Для расчета напряженности поля применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхностивыберем цилиндр радиусаи длины, ось которого совпадает с нитью (рис.1.9). Вычислим поток электрического поля через площадь поверхности цилиндра. Полный поток складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и потока через основания

Однако,
, поскольку в любой точке на основаниях цилиндра
. Это значит, что
в этих точках. Поток через боковую поверхность
. По теореме Гаусса этот полный поток равен
. Таким образом, получили

.

Сумма зарядов, находящихся внутри цилиндра, выразим через линейную плотность заряда :
. Учитывая, что
, получим

,

, (1.19)

т.е. напряженность и густота силовых линий электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити убывает обратно пропорционально расстоянию (
).

Найдем разность потенциалов между точками, находящимися на расстояниях иот нити (принадлежащими эквипотенциальным цилиндрическим поверхностям с радиусамии). Для этого воспользуемся связью напряженности электрического поля с потенциалом в виде (1.9,в):
. Учитывая выражение (1.19), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Пример 1.3. Рассчитать напряжен­ность электрического поля равномерно заряженной плоскости. Определить раз­ность потенциалов между двумя точками в таком поле.

Решение. Электрическое поле равно­мер­но заряженной плоскости показано на рис. 1.10. В силу симметрии силовые линии должны быть перпендикулярны плоскости. Поэтому сразу можно сделать вывод о том, что густота линий, а, сле­до­вательно, и напряженность электри­ческого поля при удалении от плоскости меняться не будут. Эквипотенциальные поверхности пред­став­ляют собой плоскости, параллельные данной заряженной плоскости. Пусть заряд единицы площади плоскости равен . Эта величина называется поверхностной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м 2 ].

Применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхности выберем цилиндр длиной, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания равноудалены от нее (рис.1.10). Общий поток электрического поля
. Поток через боковую поверхность равен нулю. Поток через каждое из оснований равен
, поэтому
. По теореме Гаусса получим:

.

Сумму зарядов, находящихся внутри цилиндра , найдем через поверхностную плотность заряда:
. Тогда, откуда:

. (1.20)

Из полученной формулы видно, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависит от расстояния до заряженной плоскости, т.е. в любой точке пространства (в одной полуплоскости) одинакова и по модулю, и по направлению. Такое поле называется однородным. Силовые линии однородного поля параллельны, их густота не меняется.

Найдем разность потенциалов между двумя точками однородного поля (принадлежащим эквипотенциальным плоскостям и, лежащим в одной полуплоскости относительно заряженной плоскости (рис.1.10)). Направим осьвертикально вверх, тогда проекция вектора напряженности на эту ось равна модулю вектора напряженности
. Воспользуемся уравнением (1.9):

.

Постоянную величину (поле однородно) можно вынести из под знака интеграла:
. Интегрируя, получаем: . Итак, потенциал однородного поля линейно зависит от координаты.

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля – есть напряжение между этими точками (). Обозначим расстояние между эквипотенциальными плоскостями
. Тогда можно записать, что в однородном электрическом поле:

. (1.21)

Еще раз подчеркнем, что при использовании формулы (1.21) нужно помнить, что величина  не расстояние между точками 1 и 2, а расстояние между эквипотен­ци­альными плоскостями, которым эти точки принадлежат.

Пример 1.4. Рассчитать напря­жен­ность электрического поля двух параллельных плоскостей, однородно заряженных с поверхностными плотностями зарядов
и
.

Решение. Воспользуемся резуль­та­том примера 1.3 и принципом суперпо­зи­ции. Согласно этому принципу резуль­тиру­ющее электрическое поле в любой точке пространства
, гдеи- напряженности электрических полей первой и второй плоскости. В пространстве между плоскостями вектораинаправлены в одну сторону, поэтому модуль напряженности результирующего поля. Во внешнем пространстве вектораинаправлены в разные стороны, поэтому(рис. 1.11). Таким образом, электрическое поле есть только в пространстве между плоскостями. Оно однородно, так как является суммой двух однородных полей.

Пример 1.5. Найти напряженность и потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы. Суммарный заряд сферы равен , а радиус сферы –.

Решение. В силу симметрии распределения заряда силовые линии должны быть направлены вдоль радиусов сферы.

Рассмотрим область внутри сферы. В качестве произвольной поверхности выберем сферу радиуса
, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Тогда поток электрического поля через сферуS :
. Сумма зарядов внутри сферырадиусаравна нулю, поскольку все заряды располагаются на поверхности сферы радиуса
. Тогда по теореме Гаусса:
. Поскольку
, то
. Таким образом внутри равномерно заряженной сферы поля нет.

Рассмотрим область вне сферы. В качестве произвольной поверхности выберем сферу радиуса
, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Поток электрического поля через сферу:
. Сумма зарядов внутри сферы равна полному зарядузаряженной сферы радиуса. Тогда по теореме Гаусса:
. Учитывая, что
, получим:

.

Рассчитаем потенциал электрического поля. Удобнее начать с внешней области
, поскольку мы знаем, что на бесконечном расстоянии от центра сферы потенциал принимается равным нулю. Используя уравнение (1.11,а) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Константа
, поскольку
при
. Таким образом, во внешнем пространстве (
):
.

Точки на поверхности заряженной сферы (
) будут иметь потенциал
.

Рассмотрим область
. В этой области
, поэтому из уравнения (1.11,а) получаем:


. В силу непрерывности функции
константадолжна быть равна значению потенциала на поверхности заряженной сферы:
. Таким образом, потенциал во всех точках внутри сферы:
.

Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электростатического поля.

Хотелось бы иметь возможность наглядно представить себе электростатическое поле. Поле скалярного потенциала можно геометрически представить себе как совокупность эквипотенциальных поверхностей (в плоском случае - линий), или поверхностей уровня, как их называют математики:

Для каждой такой поверхности имеет место условие (в силу определения!):

(*)

Представим это условие в эквивалентной форме записи:

Здесь принадлежит рассматриваемой поверхности, вектор перпендикулярным элементу поверхности (скалярное произведение неравных нулю векторов равно нулю именно при этом условии). Мы имеем возможность определит единичный вектор нормали к рассматриваемому элементу поверхности:

Если вернуться к физике, заключаем, что вектор напряжённости электростатического поля перпендикулярен эквипотенциальной поверхности этого поля!

Математическое содержание понятия "градиент скалярного поля" :

Направление вектора - это направление, в котором функция возрастает наиболее быстро;

Это приращение функции на единице длины вдоль направления максимального возрастания.

Как построить эквипотенциальную поверхность?

Пусть эквипотенциальная поверхность, заданная уравнением (*), проходит через точку пространства с координатами (x,y,z ). Зададим произвольно малые смещения двух координат, например x=>x+dx и y=>y+dy. Из уравнения (*) определяем необходимое смещение dz , такое, чтобы конечная точка осталась на рассматриваемой эквипотенциальной поверхности. Таким способом можно "добраться" до нужной точки поверхности.

Силовая линия векторного поля .

Определение. Касательная к силовой линии совпадает по направлению с вектором, определяющим рассматриваемое векторное поле.

Вектор и вектор совпадают по направлению (т.е. параллельны друг другу), если

В координатной форме записи имеем:

Легко видеть, что справедливы соотношения:

К такому же результату можно придти, если записать условие параллельности двух векторов с помощью их векторного произведения:

Итак, имеем векторное поле . Рассмотрим элементарный вектор как элемент силовой линии векторного поля .

В соответствие с определением силовой линии должны выполняться соотношения:

(**)

Так выглядят дифференциальные уравнения силовой линии. Получить аналитическое решение этой системы уравнений удаётся в очень редких случаях (поле точечного заряда, постоянное поле и т.п.). Но построить графически семейство силовых линий несложно.

Пусть силовая линия проходит через точку с координатами (x,y,z ). Значения проекций вектора напряжённости на координатные направления в этой точке нам известны. Выберем произвольно малое смешение, например, х=>x+dx . По уравнениям (**) определяем требуемые смещения dy и dz . Так мы перешли в соседнюю точку силовой линии, Процесс построения можно продолжить.

NB! (Nota Bene!). Силовая линия не полностью определяет вектор напряжённости. Если на силовой линии задано положительное направление, вектор напряжённости может быть направлен либо в положительную, либо в отрицательную сторону (но по линии!). Силовая линия не определяет модуль вектора (т.е. его величину) рассматриваемого векторного поля.

Свойства введённых геометрических объектов:

Связь между напряженностью и потенциалом.

Для потенциального поля, между потенциальной (консервативной) силой и потенциальной энергией существует связь

где ("набла") - оператор Гамильтона.

Поскольку то

Знак минус показывает, что вектор Е направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности - поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше. На рисунке пунктиром изображены силовые линии, сплошными линиями - сечения эквипотенциальных поверхностей для: положительного точечного заряда (а), диполя (б), двух одноименных зарядов (в), заряженного металлического проводника сложной конфигурации (г).

Для точечного заряда потенциал поэтому эквипотенциальные поверхности - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Можно показать, что во всех случаях вектор Е перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и всегда направлен в сторону убывания потенциала.

Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических полей в вакууме.

1. Электростатическое поле электрического диполя в вакууме.

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом) называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q,-q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля (l<< r).

Плечо диполя l - вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними.

Электрический момент диполя ре - вектор, совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению модуля заряда |q| на плечо I:

Пусть r - расстояние до точки А от середины оси диполя. Тогда, учитывая что

2)Напряженность поля в точке В на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины при

Точка В равноудалена от зарядов +q и -q диполя, поэтому потенциал поля в точке В равен нулю. Вектор Ёв направлен противоположно вектору l .

3)Во внешнем электрическом поле на концы диполя действует пара сил, которая стремится повернуть диполь таким образом, чтобы электрический момент ре диполя развернулся вдоль направления поля Ё (рис.(а)).

Во внешнем однородном поле момент пары сил равен M = qElsin а или Во внешнем неоднородном поле (рис.(в)) силы, действующие на концы диполя, неодинаковы и их результирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большей напряженностью - диполь втягивается в область более сильного поля.

2. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны.

В качестве Гауссовой поверхности примем поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны заряженной плоскости, а основания параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, то поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания 2ES. Заряд, заключенный внутри цилиндра, равен . По теореме Гаусса откуда:

Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю. Такое поле называется однородным.

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х1 и х2 от плоскости, равна

3.Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей с равными по абсолютному значению поверхностными плотностями зарядов σ>0 и - σ.

Из предыдущего примера следует, что векторы напряженности Е 1 и E 2 первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направлены перпендикулярно плоскостям. Поэтому в пространстве вне плоскостей они компенсируют друг друга, а в пространстве между плоскостями суммарная напряженность . Поэтому между плоскостями

(в диэлектрике. ).

Поле между плоскостями однородное. Разность потенциалов между плоскостями.
(в диэлектрике ).

4.Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена равномерно с поверхностной плотностью

Поскольку система зарядов и, следовательно, само поле центрально-симметрично относительно центра сферы, то линии напряженности направлены радиально.

В качестве Гауссовой поверхности выберем сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд q. По теореме Гаусса , откуда

При r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 от центра сферы

(r1 >R,r2 >R), равна

Вне заряженной сферы поле такое же, как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, поэтому потенциал всюду одинаков и такой же, как на поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля. Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x 1 – x 2 = dx, равна E x dx. Та же работа равна j 1 -j 2 = dj. Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор Е:

где i, j, k - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента (12.4) и (12.6). следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения (см. § 25), пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал jимеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно (84.5),

Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 133 для примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом - впадину (б).