Как появился принцип наименьшего действия. Принцип наименьшего действия

Коэффициент полезного действия При помощи различных машин можно заставить источники энергии производить различную работу – поднимать грузы, двигать станки, перевозить грузы и людей.Можно подсчитать количество энергии, вложенной в машину, и значение полученной от нее

Принцип исключения Несмотря на свои очевидные успехи, в 1924 г. «старая» квантовая теория, которая в течение нескольких предшествующих лет, казалось, дает методы и принципы, способные помочь, по крайней мере, представить основы атомной феноменологии, столкнулась с

Глава II Принцип действия ядерных бомб Напомнив некоторые общие сведения из области ядерной физики, мы можем перейти к изложению принципа действия ядерных бомб.Все ядерные бомбы делятся на две большие группы: бомбы, основанные на реакции деления, называемые иногда

II. Защита от поражающего действия ядерных бомб 1. Защита от светового излучения.Самая надежная защита от светового излучения заключается в том, чтобы не быть застигнутым вспышкой врасплох. Мы уже говорили, что световое излучение распространяется прямолинейно и

Глава VIII Принцип действия и возможности ядерного реактора I. Устройство ядерного реактора Ядерный реактор состоит из следующих пяти основных элементов:1) ядерного горючего;2) замедлителя нейтронов;3) системы регулирования;4) системы охлаждения;5) защитного

Глава 19 ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ Добавление, сделанное после лекцииКогда я учился в школе, наш учитель фи­зики, по фамилии Бадер, однажды зазвал меня к себе после урока и сказал: «У тебя вид такой, как будто тебе все страшно надоело; послу­шай-ка об одной интересной

Когда я впервые узнал об этом принципе, у меня возникло ощущение какой-то мистики. Такое впечатление, что природа таинственным образом перебирает все возможные пути движения системы и выбирает из них самый лучший. Сегодня я хочу немного рассказать об одном из самых замечательных физических принципов – принципе наименьшего действия.

Предыстория

Со времен Галилея было известно, что тела, на которые не действуют никакие силы, двигаются по прямым линиям, то есть по кратчайшему пути. По прямым линиям распространяются и световые лучи.

При отражении свет также двигается таким образом, чтобы добраться из одной точки в другую кратчайшим путем. На картинке кратчайшим будет зеленый путь, при котором угол падения равен углу отражения. Любой другой путь, например, красный, окажется длиннее.

Это несложно доказать, просто отразив пути лучей на противоположную сторону от зеркала. На картинке они показаны пунктиром.

Видно, что зеленый путь ACB превращается в прямую ACB’. А красный путь превращается в изломанную линию ADB’, которая, конечно длиннее зеленой.

В 1662 Пьер Ферма предположил, что скорость света в плотном веществе, например, в стекле, меньше, чем в воздухе. До этого общепринятой была версия Декарта, согласно которой скорость света в веществе должна быть больше, чем в воздухе, чтобы получался правильный закон преломления. Для Ферма предположение, что свет может двигаться в более плотной среде быстрее, чем в разреженной казалось противоестественным. Поэтому он предположил, что все в точности наоборот и доказал удивительную вещь – при таком предположении свет преломляется так, чтобы достичь место назначения за минимальное время.

На рисунке опять, зеленым цветом показан путь, по которому в действительности двигается световой луч. Путь, отмеченный красным цветом, является кратчайшим, но не самым быстрым, потому что свету приходится больший путь проходить в стекле, а в нем его скорость меньше. Самым быстрым является именно реальный путь прохождения светового луча.

Все эти факты наводили на мысль, что природа действует каким-то рациональным образом, свет и тела двигаются наиболее оптимально, затрачивая как можно меньше усилий. Но что это за усилия, и как их посчитать оставалось загадкой.

В 1744 Мопертюи вводит понятие «действия» и формулирует принцип, согласно которому истинная траектория частицы отличается от любой другой тем, что действие для неё является минимальным. Однако сам Мопертюи, так и не смог дать четкого определения чему равно это действие. Строгая математическая формулировка принципа наименьшего действия была разработана уже другими математиками – Эйлером, Лагранжем, и окончательно была дана Уильямом Гамильтоном:

На математическом языке принцип наименьшего действия формулируется достаточно кратко, однако не для всех читателей может быть понятен смысл используемых обозначений. Я хочу попытаться объяснить этот принцип более наглядно и простыми словами.

Свободное тело

Итак, представьте, что вы сидите в машине в точке AA и в момент времени t A вам дана простая задача: к моменту времени t B вам нужно доехать на машине до точки B.

Топливо для машины дорого стоит и, конечно, вам хочется потратить его как можно меньше. Машина у вас сделана по новейшим супер-технологиям и может разгоняться или тормозить как угодно быстро. Однако, устроена она так, что чем быстрее она едет, тем больше потребляет топлива.

Причем потребление топлива пропорционально квадрату скорости. Если вы едете в два раза быстрее, то за тот же промежуток времени потребляете в 4 раза больше топлива. Кроме скорости, на потребление топлива, конечно же влияет и масса автомобиля. Чем тяжелее наш автомобиль, тем больше топлива он потребляет. У нашего автомобиля потребление топлива в каждый момент времени равно mv 2 /2, т.е. в точности равно кинетической энергии автомобиля.

Так как же нужно ехать, чтобы добраться к пункту B к точно назначенному времени и израсходовать топлива как можно меньше? Ясно, что ехать нужно по прямой. При увеличении проезжаемого расстояния топлива израсходуется точно не меньше. А дальше можно избрать разные тактики. Например, можно быстро приехать в пункт B заранее и просто посидеть, подождать, когда наступит время t B . Скорость езды, а значит и потребление топлива в каждый момент времени при этом получится большой, но ведь и время езды сократится. Возможно, общий расход топлива при этом будет не так уж и велик. Или можно ехать равномерно, с одной и той же скоростью, такой, чтобы, не торопясь, точно приехать в момент времени tBt_B. Или часть пути проехать быстро, а часть медленнее. Как же лучше ехать?

Оказывается, что самый оптимальный, самый экономный способ езды – это ехать с постоянной скоростью, такой, чтобы оказаться в пункте B в точно назначенное время t B . При любом другом варианте топлива израсходуется больше. Можете сами проверить на нескольких примерах. Причина в том, что потребление топлива возрастает пропорционально квадрату скорости. Поэтому при увеличении скорости потребление топлива возрастает быстрее, чем сокращается время езды, и общий расход топлива также возрастает.

Итак, мы выяснили, что если автомобиль в каждый момент времени потребляет топливо пропорционально своей кинетической энергии, то самый экономный способ добраться из точки A в точку B к точно назначенному времени – это ехать равномерно и прямолинейно, точно так, как двигается тело в отсутствие действующих на него сил. Любой другой способ движения приведет к большему общему расходу топлива.

В поле тяжести

Теперь давайте немного усовершенствуем наш автомобиль. Давайте приделаем к нему реактивные двигатели, чтобы он мог свободно летать в любом направлении. В целом конструкция осталась той же, поэтому расход топлива опять остался строго пропорционален кинетической энергии автомобиля. Если теперь дано задание вылететь из точки A в момент времени t A и прилететь в точку B к моменту времени t B , то наиболее экономичный способ, как и прежде, конечно, будет лететь равномерно и прямолинейно, чтобы оказаться в точке В в точно назначенное время t B . Это опять соответствует свободному движению тела в трехмерном пространстве.

Однако, в последнюю модель автомобиля установили необычный аппарат. Данный аппарат умеет вырабатывать топливо буквально из ничего. Но конструкция такова, что чем выше находится автомобиль, тем больше топлива в каждый момент времени вырабатывает аппарат. Выработка топлива прямо пропорциональна высоте h, на которой в данный момент находится автомобиль. Также, чем тяжелее автомобиль, тем более мощный аппарат на нем установлен и тем больше топлива он вырабатывает, и выработка прямо пропорциональна массе автомобиля m. Аппарат получился таким, что выработка топлива точно равна mgh (где g – ускорение свободного падения), т.е. потенциальной энергии автомобиля.

Потребление топлива в каждый момент времени получается равным кинетической энергии минус потенциальной энергии автомобиля (минус потенциальной энергии, потому что установленный аппарат вырабатывает топливо, а не тратит). Теперь наша задача наиболее экономного движения автомобиля между пунктами A и B становится сложнее. Прямолинейное равномерное движение оказывается в данном случае не самым эффективным. Оказывается, более оптимально - немного набрать высоты, какое-то время там задержаться, выработав побольше топлива, а затем уже спуститься в точку B. При правильной траектории полета общая выработка топлива за счет набора высоты перекроет дополнительные расходы топлива на увеличение длины пути и увеличения скорости. Если аккуратно посчитать, то самым экономным способом для автомобиля будет лететь по параболе, точно по такой траектории и с точно такой скоростью, с какой летел бы камень в поле тяжести Земли.

Здесь стоит сделать разъяснение. Конечно, можно из точки А кинуть камень многими разными способами так, чтобы он попал в точку B. Но кидать его нужно так, чтобы он, вылетев из точки А в момент времени t A , попал в точку B точно в момент времени t B . Именно это движение будет самым экономным для нашего автомобиля.

Функция Лагранжа и принцип наименьшего действия

Теперь мы можем перенести эту аналогию на реальные физические тела. Аналог интенсивности потребления топлива для тел называют функцией Лагранжа или Лагранжианом (в честь Лагранжа) и обозначают буквой L. Лагранжиан показывает насколько много «топлива» потребляет тело в данный момент времени. Для тела, движущегося в потенциальном поле, Лагранжиан равен его кинетической энергии минус потенциальной энергии.

Аналог общего количества израсходованного топлива за все время движения, т.е. значение Лагранжиана, накопленное за все время движения, называется «действием».

Принцип наименьшего действия состоит в том, что тело двигается таким образом, чтобы действие (которое зависит от траектории движения) было минимальным. При этом не нужно забывать, что заданы начальное и конечное условия, т.е. где тело находится в момент времени t A и в момент времени t B .

При этом тело не обязательно должно двигаться в однородном поле тяготения, которое мы рассматривали для нашего автомобиля. Можно рассматривать совершенно другие ситуации. Тело может колебаться на резинке, качаться на маятнике или летать вокруг Солнца, во всех этих случаях оно движется так, чтобы минимизировать «общий расход топлива» т.е. действие.

Если система состоит из нескольких тел, то Лагранжиан такой системы будет равен суммарной кинетической энергии всех тел минус суммарной потенциальной энергии всех тел. И опять, все тела будут согласованно двигаться так, чтобы действие всей системы при таком движении было минимальным.

Не все так просто

На самом деле я немного обманул, сказав, что тела всегда двигаются так, чтобы минимизировать действие. Хотя в очень многих случаях это действительно так, можно придумать ситуации, в которых действие явно не минимально.

Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте. При таких заданных условиях шарик может двигаться двумя разными способами. Во-первых, он может просто оставаться на месте. Во-вторых, можно его толкнуть по направлению к стенке. Шарик долетит до стенки, отскочит от нее и вернется обратно. Понятно, что можно толкнуть его с такой скоростью, чтобы он вернулся в точно нужное время.

Оба варианта движения шарика возможны, но действие во втором случае получится больше, потому что все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией.

Как же спасти принцип наименьшего действия, чтобы он был справедлив и в таких ситуациях? Об этом мы поговорим в следующий раз.

Сразу же указав на его универсальную природу, считая его приложимым к оптике и механике. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Математическое исследование и развитие принципа Ферма провёл Христиан Гюйгенс , после чего тему активно обсуждали крупнейшие учёные XVII века. Лейбниц в 1669 году ввёл в физику фундаментальное понятие действия : «Формальные действия движения пропорциональны… произведению количества материи, расстояний, на которые они передвигаются, и скорости».

  Параллельно с анализом основ механики развивались методы решения вариационных задач. Исаак Ньютон в своих «Математических началах натуральной философии » (1687 год) поставил и решил первую вариационную задачу: найти такую форму тела вращения, движущегося в сопротивляющейся среде вдоль своей оси, для которой испытываемое сопротивление было бы наименьшим. Почти одновременно появились и другие вариационные проблемы: задача о брахистохроне (1696), форма цепной линии и др.

  Решающие события произошли в 1744 году. Леонард Эйлер опубликовал первую общую работу по вариационному исчислению («Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума»), а Пьер Луи де Мопертюи в трактате «Согласование различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми» дал первую формулировку принципа наименьшего действия: «путь, которого придерживается свет, является путём, для которого количество действия будет наименьшим». Он продемонстрировал выполнение этого закона как для отражения, так и для преломления света. В ответ на статью Мопертюи Эйлер опубликовал (в том же 1744 году) работу «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов», и в этом труде он придал принципу Мопертюи общемеханический характер: «Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума. Далее Эйлер сформулировал этот закон: траектория тела осуществляет минимум ∫ m v d s {\displaystyle \int mv\ ds} . Затем он применил его, выведя законы движения в однородном поле тяжести и в нескольких других случаях.

  В 1746 году Мопертюи в новой работе согласился с мнением Эйлера и провозгласил самую общую версию своего принципа: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на расстояние, которое они пробегают». В развернувшейся широкой дискуссии Эйлер поддержал приоритет Мопертюи и аргументировал всеобщий характер нового закона: «вся динамика и гидродинамика могут быть с удивительной легкостью раскрыты посредством одного только метода максимумов и минимумов».

  Новый этап начался в 1760-1761 годах, когда Жозеф Луи Лагранж ввёл строгое понятие вариации функции, придал вариационному исчислению современный вид и распространил принцип наименьшего действия на произвольную механическую систему (то есть не только на свободные материальные точки). Тем самым было положено начало аналитической механике. Дальнейшее обобщение принципа осуществил Карл Густав Якоб Якоби в 1837 году - он рассмотрел проблему геометрически, как нахождение экстремалей вариационной задачи в конфигурационном пространстве с неевклидовой метрикой. В частности, Якоби указал, что при отсутствии внешних сил траектория системы представляет собой геодезическую линию в конфигурационном пространстве.

  Подход Гамильтона оказался универсальным и высокоэффективным в математических моделях физики, особенно для квантовой механики . Его эвристическая сила была подтверждена при создании Общей теории относительности , когда Давид Гильберт применил гамильтонов принцип для вывода окончательных уравнений гравитационного поля (1915 год).

  В классической механике

  Принцип наименьшего действия служит фундаментальной и стандартной основой лагранжевой и гамильтоновой формулировок механики.

  Вначале рассмотрим построение таким образом лагранжевой механики . На примере физической системы с одной степенью свободы , напомним, что действие - это функционал относительно (обобщённых) координат (в случае одной степени свободы - одной координаты ), то есть оно выражается через q (t) {\displaystyle q(t)} так, что каждому мыслимому варианту функции q (t) {\displaystyle q(t)} сопоставляется некоторое число - действие (в этом смысле можно сказать, что действие как функционал есть правило, позволяющее для любой заданной функции q (t) {\displaystyle q(t)} вычислить вполне определённое число - также называемое действием). Действие имеет вид:

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , {\displaystyle S[q]=\int {\mathcal {L}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt,}

  где L (q (t) , q ˙ (t) , t) {\displaystyle {\mathcal {L}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)} есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты q {\displaystyle q} , её первой производной по времени q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} , а также, возможно, и явным образом от времени t {\displaystyle t} . Если система имеет большее число степеней свободы n {\displaystyle n} , то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат q i (t) , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle q_{i}(t),\ i=1,2,\dots ,n} и их первых производных по времени. Таким образом, действие является скалярным функционалом, зависящим от траектории тела.

  То, что действие является скаляром, позволяет легко записать его в любых обобщённых координатах, главное только, чтобы положение (конфигурация) системы однозначно ими характеризовалось (например, вместо декартовых это могут быть полярные координаты, расстояния между точками системы, углы или их функции и т. д.).

  Действие можно вычислить для совершенно произвольной траектории q (t) {\displaystyle q(t)} , какой бы «дикой» и «неестественной» она бы ни была. Однако в классической механике среди всего набора возможных траекторий существует одна-единственная, по которой тело действительно пойдёт. Принцип стационарности действия как раз и даёт ответ на вопрос, как действительно будет двигаться тело:

  между двумя заданными точками тело движется так, чтобы действие было стационарным. Шаблон:/рамка Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело, сначала получив уравнения движения - уравнения Эйлера - Лагранжа , а затем решив их. Это позволяет не только серьёзно обобщить формулировку механики, но и выбирать наиболее удобные координаты для каждой определённой задачи, не ограничиваясь декартовыми, что может быть очень полезно для получения наиболее простых и легко решаемых уравнений. S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , {\displaystyle S=\int {\big (}\sum _{i}p_{i}dq_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t)dt{\big)}=\int {\big (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t){\big)}dt,} где H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p,t)\equiv {\mathcal {H}}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},p_{1},p_{2},\dots ,p_{N},t)} - функция Гамильтона данной системы; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N {\displaystyle q\equiv q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}} - (обобщённые) координаты, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N {\displaystyle p\equiv p_{1},p_{2},\dots ,p_{N}} - сопряжённые им (обобщённые) импульсы, характеризующие вместе в каждый данный момент времени динамическое состояние системы и, являясь каждое функцией времени, характеризуя, таким образом, эволюцию (движение) системы. В этом случае для получения уравнений движения системы в форме канонических уравнений Гамильтона надо проварьировать записанное так действие независимо по всем q i {\displaystyle q_{i}} и p i {\displaystyle p_{i}} . Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей - магнитных зарядов - в электромагнитном поле . Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа. Примеры Тривиальные примеры помогают оценивать использование принципа действия через уравнения Эйлера-Лагранжа. Свободная частица (масса m и скорость v ) в евклидовом пространстве перемещается по прямой линии. Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала функция Лагранжа просто равна кинетической энергии 1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)} ψ = ∫ [ D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . {\displaystyle \psi =\int e^{({iS[x]}/{\hbar })}\,.} Шаблон:/рамка Здесь ∫ [ D x ] {\displaystyle \int } - это условная запись бесконечнократного функционального интегрирования по всем траекториям x(t), а ℏ {\displaystyle \hbar } - постоянная Планка . Подчеркнём, что в принципе действие в экспоненте появляется (или может появляться) само, при изучении оператора эволюции в квантовой механике, однако для систем, имеющих точный классический (неквантовый) аналог, оно в точности равно обычному классическому действию. Математический анализ этого выражения в классическом пределе - при достаточно больших S / ℏ {\displaystyle S/\hbar } , то есть при очень быстрых осцилляциях мнимой экспоненты - показывает, что подавляющее большинство всевозможных траекторий в этом интеграле взаимосокращаются при этом в пределе (формально при S / ℏ → ∞ {\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty } ). Для почти любого пути найдется такой путь, на котором набег фазы будет в точности противоположным, и они в сумме дадут нулевой вклад. Не сокращаются лишь те траектории, для которых действие близко к экстремальному значению (для большинства систем - минимуму). Это - чисто математический факт из

  Ему подчиняются, в связи с чем этот принцип является одним из ключевых положений современной физики. Получаемые с его помощью уравнения движения имеют название уравнений Эйлера - Лагранжа .

  Первую формулировку принципа дал П. Мопертюи (P. Maupertuis) в году, сразу же указав на его универсальную природу, считая его приложимым к оптике и механике. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света.

  История

  Мопертюи пришёл к этому принципу из ощущения, что совершенство Вселенной требует определенной экономии в природе и противоречит любым бесполезным расходам энергии. Естественное движение должно быть таким, чтобы сделать некоторую величину минимальной. Нужно было только найти эту величину, что он и продолжал делать. Она являлась произведением продолжительности (время) движения в пределах системы на удвоенную величину, которую мы теперь называем кинетической энергией системы.

  Эйлер (в «Réflexions sur quelques loix générales de la nature» , 1748) принимает принцип наименьшего количества действия, называя действие «усилием». Его выражение в статике соответствует тому, что мы теперь назвали бы потенциальной энергией , так что его утверждение наименьшего действия в статике эквивалентно условию минимума потенциальной энергии для конфигурации равновесия.

  В классической механике

  Принцип наименьшего действия служит фундаментальной и стандартной основой лагранжевой и гамильтоновой формулировок механики.

  Вначале рассмотрим построение таким образом лагранжевой механики . На примере физической системы с одной степенью свободы , напомним, что действие - это функционал относительно (обобщенных) координат (в случае одной степени свободы - одной координаты ), то есть выражается через так, что каждому мыслимому варианту функции сопоставляется некоторое число - действие (в этом смысле можно сказать, что действие как функционал есть правило, позволяющее для любой заданной функции вычислить вполне определенной число - также называемое действием). Действие имеет вид:

  где есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты , её первой производной по времени , а также, возможно, и явным образом от времени . Если система имеет большее число степеней свободы , то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат и их первых производных по времени. Таким образом, действие является скалярным функционалом, зависящим от траектории тела.

  То, что действие является скаляром, позволяет легко записать его в любых обобщенных координатах, главное только, чтобы положение (конфигурация) системы однозначно ими характеризовалось (например, вместо декартовых это могут быть полярные координаты, расстояния между точками системы, углы или их функции и т. д.).

  Действие можно вычислить для совершенно произвольной траектории , какой бы «дикой» и «неестественной» она бы ни была. Однако в классической механике среди всего набора возможных траекторий существует одна-единственная, по которой тело действительно пойдёт. Принцип стационарности действия как раз и даёт ответ на вопрос, как действительно будет двигаться тело:

  Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело, сначала получив уравнения движения - уравнения Эйлера - Лагранжа , а затем решив их. Это позволяет не только серьёзно обобщить формулировку механики, но и выбирать наиболее удобные координаты для каждой определенной задачи, не ограничиваясь декартовыми, что может быть очень полезно для получения наиболее простых и легко решаемых уравнений.

  где - функция Гамильтона данной системы; - (обобщенные) координаты, - сопряженные им (обобщенные) импульсы, характеризующие вместе в каждый данный момент времени динамическое состояние системы и, являясь каждое функцией времени, характеризуя, таким образом, эволюцию (движение) системы. В этом случае для получения уравнений движения системы в форме канонических уравнений Гамильтона надо проварьировать записанное так действие независимо по всем и .

  Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей - магнитных зарядов - в электромагнитном поле . Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа.

  Примеры

  Тривиальные примеры помогают оценивать использование принципа действия через уравнения Эйлера-Лагранжа. Свободная частица (масса m и скорость v ) в Евклидовом пространстве перемещается по прямой линии. Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала функция Лагранжа просто равна кинетической энергии

  в ортогональной системе координат .

  В полярных координатах кинетическая энергия, и следовательно, функция Лагранжа становится

  Радиальная и угловая компонента уравнений становятся, соответственно:

  Решение этих двух уравнений

  Здесь - это условная запись бесконечнократного функционального интегрирования по всем траекториям x(t), а - постоянная Планка . Подчеркнём, что в принципе действие в экспоненте появляется (или может появляться) само, при изучении оператора эволюции в квантовой механике, однако для систем, имеющих точный классический (неквантовый) аналог, оно в точности равно обычному классическому действию.

  Математический анализ этого выражения в классическом пределе - при достаточно больших , то есть при очень быстрых осцилляциях мнимой экспоненты - показывает, что подавляющее большинство всевозможных траекторий в этом интеграле взаимосокращаются при этом в пределе (формально при ). Для почти любого пути найдется такой путь, на котором набег фазы будет в точности противоположным, и они в сумме дадут нулевой вклад. Не сокращаются лишь те траектории, для которых действие близко к экстремальному значению (для большинства систем - минимуму). Это - чисто математический факт из теории функций комплексного переменного ; на нём, например, основан метод стационарной фазы .

  В результате частица в полном согласии с законами квантовой механики движется одновременно по всем траекториям, но в обычных условиях в наблюдаемые значения дают вклад только траектории, близкие к стационарным (то есть классическим). Поскольку квантовая механика переходит в классическую в пределе больших энергий, то можно считать, что это - квантовомеханический вывод классического принципа стационарности действия .

  В квантовой теории поля

  В квантовой теории поля принцип стационарности действия также успешно применяется. В лагранжеву плотность здесь входят операторы соответствующих квантовых полей. Хотя правильнее тут в сущности (за исключением классического предела и отчасти квазиклассики) говорить не о принципе стационарности действия, а о фейнмановском интегрировании по траекториям в конфигурационном или фазовом пространстве этих полей - с использованием упомянутой только что лагранжевой плотности.

  Дальнейшие обобщения

  Более широко, под действием понимают функционал, задающий отображение из конфигурационного пространства на множество вещественных чисел и, в общем, он не обязан быть интегралом, потому что нелокальные действия в принципе возможны, по крайней мере, теоретически. Более того, конфигурационное пространство не обязательно является функциональным пространством, потому что может иметь некоммутативную геометрию.

  Примечания

  Литература

  • Вариационные принципы механики. Сб. статей классиков науки. Под редакцией Полака Л.С. М.: Физматгиз. 1959.
  • Ланцош К. Вариационные принципы механики. - М .: Физматгиз. 1965.
  • Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 448 с.