Как решать линейные неравенства с параметрами. Учебное пособие "уравнения и неравенства с параметрами". Решение неравенств с параметром
На этом уроке мы изучим алгоритм решения неравенств с параметрами и научимся применять его при решении такого типа заданий.
Определение первое .
Решить неравенство с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данного неравенства или доказать, что решений нет.
Рассмотрим линейные неравенства.
Определение второе .
Неравенства вида а икс плюс бэ больше нуля, больше либо равно нулю, меньше нуля, меньше либо равно нулю, где a и бэ — действительные числа, икс — переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).
Алгоритм решения линейного неравенства с параметром, например, неравенстваа икс плюс бэ больше нуля, где a и бэ — действительные числа, икс — переменная. Рассмотрим следующие случаи:
Первый случай: a больше нуля, тогда икс больше минус бэ деленное на а.
Следовательно, множество решений неравенства есть открытый числовой луч от минус бэ деленное на а до плюс бесконечности.
Второй случай: a меньше нуля, тогда икс меньше минус бэ деленное на а
и, следовательно, множество решений неравенства есть открытый числовой луч от минус бесконечности до минус бэ деленное на а.
Третий случай: a равно нулю, тогда неравенство примет вид: ноль умноженное на икс плюс бэ больше нуля и для бэ большенуля любое действительное число есть решение неравенства, а при бэ меньшем либо равным нулю неравенство не имеет решений.
Остальные неравенства решаются аналогично.
Рассмотрим примеры.
Задание 1
Решить неравенство а иксменьше либо равно единице.
Решение
В зависимости от знака a рассмотрим три случая.
Первый случай: если a больше нуля, то икс меньше либо равно один деленное на а;
Второй случай: если a меньше нуля, то икс больше либо равно один деленное на а;
Третий случай: если a равно нулю, то неравенство примет вид: ноль умноженное на икс меньше, либо равно единице и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства.
Таким образом, если а больше нуля, то икс принадлежит лучу от минус бесконечности до единицы, деленной на а.
Если a a равно нулю,
то x
Ответ: если а больше нуля, то икс принадлежит лучу от минус бесконечности до единицы, деленной на а;
если a меньше нуля, то икс принадлежит лучу от единицы, деленной на а, до плюс бесконечности, и если a равно нулю,
то x икс принадлежит множеству действительных чисел.
Задание 2
Решить неравенство модуль икс минус два больше минус квадрата разности а и единицы.
Решение
Заметим, что модуль икс минус два больше либо равно нулю для любого действительного икс и минус квадрат разности а и единицы меньше либо равно нулю для любого значения параметра a . Следовательно, если a равно единице, то любое икс — действительное число, отличное от двух, является решением неравенства, а если a не равно одному, то любое действительное число является решением неравенства.
Ответ: если a равно одному, то икс принадлежит объединению двух открытых числовых лучей от минус бесконечности до двух и от двух до плюс бесконечности,
а если a принадлежит объединению двух открытых числовых лучей от минус бесконечности до единицы и от одного до плюс бесконечности, то икс принадлежит множеству действительных чисел.
Задание 3
Решить неравенство три умноженное на разность четырех а и икса меньше двух а икс плюс три.
Решение
После элементарных преобразований данного неравенства, получим неравенство: икс умноженное на сумму двух а и трех больше три умноженное на разность четырех а и одного.
Первый случай: если два а плюс три больше нуля, то есть a больше минус трех вторых, то икс больше дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три.
Второй случай: если два а плюс три меньше нуля, то есть a меньше минус трех вторых, то икс меньше дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и одного, а знаменатель два а плюс три.
Третий случай: если два а плюс три равно нулю, то есть a равно минус три вторых,
любое действительное число является решением исходного неравенства.
Следовательно, если а принадлежит окрытому числовому лучу от минус трех вторых до плюс бесконечности, то икс
принадлежит открытому числовому лучу от дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и одного, а знаменатель — два а плюс три, до плюс бесконечности.
Если а принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до минус трех вторых, то икс принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три;
если a равно минус трем вторых, то икс принадлежит множеству действительных чисел.
Ответ: если а принадлежит окрытому числовому лучу от минус трех вторых до плюс бесконечности, то икс
принадлежит открытому числовому лучу от дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три до плюс бесконечности;
если а принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до минус трех вторых, то икс принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель два а плюс три;
если a равно минус трем вторых, то икс принадлежит множеству действительных чисел.
Задание 4
Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство квадратный корень из икс минус а плюс квадратный корень из двух а минус икс плюс квадратный корень из а минус один плюс квадратный корень из трех минус а больше нуля.
Решение
Найдем область определения параметра а . Она определяется системой неравенств, решив которую находим, что а принадлежит отрезку от одного до трех.
Данное неравенство равносильно системе неравенств, решая которую находим, что икс принадлежит отрезку от а до двух а.
Если а принадлежит отрезку от единицы до трех, то решением исходного неравенства является отрезок от а до двух а.
Ответ: если а принадлежит отрезку от одного до трех, тоикс принадлежит отрезку от а до двух а.
Задание 5
Найти все а , при которых неравенство
квадратный корень из икс в квадрате минус икс минус два плюс квадратный корень из дроби, числитель которой — два минус икс, а знаменатель — икс плюс четыре больше либо равно а икс плюс два минус квадратный корень из дроби, числитель которой — икс плюс один, а знаменатель — пять минус икс не имеет решения.
Решение
Первое. Вычислим область определения данного неравенства. Она определяется системой неравенств, решением которой являются два числа: икс равен минус единице и икс равен двум.
Второе. Найдем все значения а, при которых данное неравенство имеет решения. Для этого найдем все а , при которых икс равен минус единице и икс равен двум — это решение данного неравенства. Рассмотрим и решим совокупность двух систем. Решением является объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до минус одной второй, и от единицы до плюс бесконечности.
Значит, данное неравенство имеет решение, если а принадлежит объединению двух числовых лучей от минус
бесконечности до минус одной второй, и от единицы до плюс бесконечности.
Третье. Следовательно, данное неравенство не имеет решения, если а принадлежит интервалу от минус одной второй до единицы.
Ответ: неравенство не имеет решения, если а принадлежит интервалу от минус одной второй до единицы.
Серия «Учимся решать задачи с параметром»
IV. Квадратные уравнения и неравенства с параметром
IV.1. Основные понятия
Определение . Функцию вида (1), где , , – данные функции от параметра а , рассматриваемые на пересечении их областей определения, назовём квадратичной функцией с параметром а .
Примеры.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6.
.
7. .
8. .
9. .
10. .
Определение . Подобластью определения квадратичной функции (1) с параметром а будем понимать всё множество пар значений х и а вида (х ; а ), при каждой из которых выражение не теряет смысла.
Установим области определения функций 1-10.
1. 2.
3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
Если параметр принимает одно из числовых значений из , то функция (1) примет вид одной из функций с числовыми коэффициентами:
;
;
;
;
;
;
,
где k , b , c – действительные числа.
Обратим внимание на то, что при некоторых значениях параметра из квадратичная функция с параметром принимает вид либо квадратичной функции без параметра, либо – линейной.
Так как квадратичная функция с параметром чаще всего «порождает» семейство квадратичных или линейных функций с числовыми коэффициентами, то говоря о графиках квадратичной функции с параметром , мы будем подразумевать множество графиков этого семейства.
Определение . а называется уравнение вида (1) где , , – данные функции от параметра а , рассматриваемые на пересечении их областей определения.
В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.
Примеры.
, (1)
,
(2)
, (3)
, (4)
. (5)
Используя определение квадратичной функции с параметром, можно дать такое определение квадратного уравнения с параметром.
Определение . Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида , где – квадратичная функция с параметром а .
Если , то
уравнение (1) является квадратным в традиционном
смысле, т.е. второй степени.
Если же , то
уравнение (1) становится линейным.
При всех допустимых значениях параметра а , при которых и , по известным формулам получаем выражения корней уравнения (1) через параметр.
Те значения а
, при которых , следует рассматривать
отдельно в качестве особых случаев.
Так, например, уравнение (5) при примет вид , откуда .
IV.2. Квадратные уравнения с параметром
№1. Решите уравнение .
– уравнение-следствие. Получим: , .
В системе координат (аОх ) завершаем решение. (Рис. 1)
Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , , то , .
№2. Найдите значение параметра а , при котором уравнение имеет единственный корень. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.
Данное уравнение сводится к равносильной системе:
Приведём её к виду: и решим графически в системе координат (хОа ). (Рис. 2).
Уравнение имеет единственный корень при , и .
№3. Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра а , не принадлежащем промежутку (0; 2], выражение не равно выражению . (ЕГЭ-2007).
Переформулируем задачу: «Найдите все значения х
такие, что при любом значении параметра уравнение не имеет корней».
Выразим а
через х
:
1) Пусть . Тогда . Поэтому уравнение
имеет корни. Значит, не удовлетворяет условию.
2) Пусть . Тогда . Воспользуемся
системой координат (хОа
). (Рис. 3).
Условию удовлетворяют .
№4. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?
Раскроем модуль:
В системе координат (хОу ) построим график функции
и несколько прямых пучка параллельных прямых, задаваемых уравнением . (Рис. 4).
Ответ: 1. Если , то корней нет.
2. Если , то один корень.
3. Если , то два корня.
IV.3. Квадратные неравенства с параметром
№5. Решите неравенство .
1 способ .
Учтём, что . Тогда - решение данного неравенства при любом b. (Рис. 5).
Если , то переходим к неравенству , множество решений которого изобразим в системе координат (bOx ). (Рис. 6).
Совместим рис. 5 и 6.
А теперь по рис. 7, рассекая его вертикальными прямыми, легко получить ответ.
Ответ: 1. Если ,
то .
2. Если , то .
3. Если , то
2 способ .
Решим неравенство графическим методом в системе координат (хОb ):
. (Рис. 8).
Рассмотрим два случая.
1) . Тогда
неравенство примет вид , откуда .
2) , тогда .
График функции и часть плоскости, содержащая точки, координаты которых удовлетворяют неравенству , изображены на рисунке 8.
1. Если , то .
2. Если , то . 3. Если , то .
3 способ .
Привёдем теперь графическое решение в системе координат (хОу ). Для этого раскроем модуль:
Рассмотрим функцию .
Корни квадратного трёхчлена .
Сравним и .
1) , откуда .
Получаем совокупность . (Рис. 9)
2) , откуда . (Рис. 10).
Тогда т.е. .
3) , откуда . (Рис. 11).
Тогда т.е. .
Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , то .
№6. Найдите все значения параметра а , для которых наименьшее значение функции больше 2.
Достаточно найти все значения параметра а , для каждого из которых для любого верно неравенство . Перепишем неравенство в виде ., ;
Тип задания: 18
Условие
При каких значениях параметра a неравенство
\log_{5}(4+a+(1+5a^{2}-\cos^{2}x) \cdot \sin x - a \cos 2x) \leq 1 выполняется при всех значениях x ?
Показать решениеРешение
Данное неравенство равносильно двойному неравенству 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^{2}x-1) \leq 5 .
Пусть \sin x=t , тогда получим неравенство:
4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , которое должно выполняться при всех значениях -1 \leq t \leq 1 . Если a=0 , то неравенство (*) выполняется для любого t\in [-1;1] .
Пусть a \neq 0 . Функция f(t)=t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t возрастает на промежутке [-1;1] , так как производная f"(t)=3t^{2}+4at+5a^{2} > 0 при всех значениях t \in \mathbb{R} и a \neq 0 (дискриминант D < 0 и старший коэффициент больше нуля).
Неравенство (*) будет выполняться для t \in [-1;1] при условиях
\begin{cases} f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} -1+2a-5a^{2} > -4, \\ 1+2a+5a^{2} \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} 5a^{2}-2a-3 < 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac{2}{5} \leq a < 0 .
Итак, условие выполняется при -\frac{2}{5} \leq a \leq 0 .
Ответ
\left [ -\frac{2}{5}; 0 \right ]
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 18
Тема:
Неравенства с параметром
Условие
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство
x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a
имеет единственное решение.
Показать решениеРешение
Неравенство равносильно совокупности систем неравенств
\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end{cases} \\ \begin{cases}x \left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end{cases} \\ \begin{cases}x \left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end{cases} \\ \begin{cases}a>x, \\ a\leqslant -\frac{x^2}{5}+2x. \end{cases}\end{array}\right.
В системе координат Oxa построим графики функций a=x, a=x^2-4x, a=-\frac{x^2}{5}+2x.
Полученной совокупности удовлетворяют точки, заключенные между графиками функций a=x^2-4x, a=-\frac{x^2}{5}+2x на промежутке x\in (заштрихованная область).
По графику определяем: исходное неравенство имеет единственное решение при a=-4 и a=5 , так как в заштрихованной области будет единственная точка с ординатой a , равной -4 и равной 5.
Неравенство
(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, x), (1)
где a, b, c, …, - параметры, а x - действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0 , b = b0 , c = c0 , …, k = k0 , при некоторой функции
(a, b, c, …, , x) и
(a, b, c, …, , x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.
называется допустимым значением х, если
(a, b, c, …, , x) и
(a, b, c, …, , x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное число х 0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство
(a, b, c, …, , x0 )>(a, b, c, …, x0 )
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) - значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, x) и (1)
(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
Алгоритм решения.
Находим область определения данного неравенства.
Сводим неравенство к уравнению.
Выражаем а как функцию от х.
В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
Исследуем влияние параметра на результат.
найдём абсциссы точек пересечения графиков.
зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+
Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
Если, то решения исходного неравенства заполняют отрезок.
Ответ: , .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Найдем корни трехчлена левой части неравенства -
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где, а значения и находятся из системы
а значения и находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Находим область допустимых значений -
Построим график функции в системе координат хОу.
при неравенство решений не имеет.
при для решение х удовлетворяет соотношению, где
Курсовая работа
Исполнитель: Бугров С К.
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§ 1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
§ 2. Алгоритм решения.
Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.
Записываем ответ.
I. Решить уравнение
(1)Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а:
илиГрафик функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È
, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение
. , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и . , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È
, то ; , то , ; , то решений нет.II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет три различных корня.Переписав уравнение в виде
и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .В системе координат хОу построим график функции
). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в видеПоскольку график функции
– это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную .III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет решения.
Из первого уравнения системы получим
при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители
Множеством точек плоскости
, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые иВыясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.