Как решать неравенства с двумя переменными примеры. Неравенства с двумя переменными и их системы. Решения неравенства: частное, общее и простое решение
Часто приходится изображать на координатной плоскости мно-жество решений неравенства с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.
2у + Зх < 6.
Сначала построим прямую. Для этого запишем неравенство в виде уравнения 2у + Зх = 6 и выразим y. Таким образом, получим: y=(6-3 x)/2.
Эта прямая раз-бивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные выше ее, и точки, расположенные ниже ее.
Возь-мем из каждой области по контрольной точке , например А (1;1) и В (1; 3)
Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у + Зх < 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.
Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2∙3 + 3∙1 < 6.
Так как данное неравенство может изменить знак на прямой 2у + Зх = 6, то неравенству удовлетворяет множество точек той об-ласти, где расположена точка А. Заштрихуем эту область.
Таким образом, мы изобразили множество решений неравенства 2у + Зх < 6.
Пример
Изобразим множество решений неравенства х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 > 0 на координатной плоскости.
Построим сначала график уравнения х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 = 0. Вы-делим в этом уравнении уравнение окружности: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 - 4у + 4) = 4, или (х + 1) 2 + (у - 2) 2 = 2 2 .
Это уравнение окружности с центром в точке 0 (-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружность.
Так как данное неравенство строгое и точки, лежащие на самой окружности, неравенству не удовлетворяют, то строим окружность пунктирной линией.
Легко проверить, что координаты центра О окружности данному неравенству не удовлетворяют. Выражение х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 ме-няет свой знак на построенной окружности. Тогда неравенству удовлетворяют точки, расположенные вне окружности. Эти точки заштрихованы.
Пример
Изобразим на координатной плоскости множество решений нера-венства
(у - х 2)(у - х - 3) < 0.
Сначала построим график уравнения (у - х 2)(у - х - 3) = 0. Им яв-ляется парабола у = х 2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х 2)(у - х - 3) проис-ходит только на этих линиях. Для точки А (0; 5) определим знак это-го выражения: (5- 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для кото-рых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).
Алгоритм решения неравенств с двумя переменными
1. Приведем неравенство к виду f (х; у) < 0 (f (х; у) > 0; f (х; у) ≤ 0; f (х; у) ≥ 0;)
2. Записываем равенство f (х; у) = 0
3. Распознаем графики, записанные в левой части.
4. Строим эти графики. Если неравенство строгое (f (х; у) < 0 или f (х; у) > 0), то - штрихами, если неравенство нестрогое (f (х; у) ≤ 0 или f (х; у) ≥ 0), то - сплошной линией.
5. Определяем, на сколько частей графики разбили координатную плоскость
6. Выбираем в одной из этих частей контрольную точку. Определяем знак выражения f (х; у)
7. Расставляем знаки в других частях плоскости с учетом чередования (как по методу интервалов)
8. Выбираем нужные нам части в соответствии со знаком неравенства, которое мы решаем, и наносим штриховку
Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными
Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.
Уравнение с двумя переменными;
Неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;
Здесь х и у - переменные, р - выражение, от них зависящее
Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.
Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу - найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.
Пример 1 - решить уравнение и неравенство:
Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.
Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:
Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую
Рис. 1. График уравнения, пример 1
Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х 0 , х 0 +1)
Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х 0 на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем . Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: .
Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.
Пример 2 - решить уравнение и неравенство:
Мы знаем, что заданное уравнение - это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2
В произвольной точке х 0 уравнение имеет два решения: (х 0 ; у 0) и (х 0 ; -у 0).
Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).
Рассмотрим уравнение с модулями.
Пример 3 - решить уравнение:
В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х 0 ; у 0) является решением, то и точка (х 0 ; -у 0) - также решение, точки (-х 0 ; у 0) и (-х 0 ; -у 0) также являются решением.
Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3
Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.
Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.
Пример 4 - изобразить множество решений неравенства:
Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:
Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.
ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.
Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:
Строим график функции.
Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ
Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область D 1 . Между отрезком ломаной и прямой - область D 2 , ниже прямой - область D 3 , между отрезком ломаной и прямой - область D 4
В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.
В области возьмем точку (0;1). Имеем:
В области возьмем точку (10;1). Имеем:
Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.
В области возьмем точку (0;-5). Имеем:
Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.
Тема урока: Неравенства с двумя переменными.
Цель урока: Обучать учащихся решению неравенств с двумя переменными.
Задачи урока:
1. Ввести понятие неравенства с двумя переменными. Учить учащихся решению неравенств. Формировать навыки применения графического метода при решении неравенств, умения показать решение на координатной плоскости.
2.Развивать мышление учащихся, развивать практические навыки учащихся.
3.Воспитывать у учащихся трудолюбие, самостоятельность, ответственное отношение к делу, инициативу и самостоятельность принятия решения.
Учебник/литература: Алгебра 9, дидактические материалы.
Ход урока:
1. Понятие неравенства с двумя переменными и его решения.
2. Линейное неравенство с двумя переменными.
Рассмотрим неравенства: 0,5х 2 -2у+l 20 -неравенство с двумя переменными.
Рассмотрим неравенство 0,5х 2 -2у+l
При х=1, у=2. Получим верное неравенство 0,5 1 - 2 2 + 1
Пару чисел (1; 2), в которой на первом месте - значение х, а на втором - значение у, называют решением неравенства 0,5х 2 -2у+l
Определение. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.
Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой. Говорят, что эта фигура задается или описывается неравенством.
Рассмотрим линейные неравенства с двумя переменными.
Определение. Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + by с, где х и у - переменные, а, b и с - некоторые числа.
Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение. Графиком линейного уравнения ах + by = с, в котором а или b не равно нулю, является прямая линия. Она разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на две области, представляющие открытые полуплоскости.
На примерах рассмотрим, как изображается множество решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости.
Пример 1. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2у+3х≤6.
Строим прямую 2у+3х=6, у=3-1,5х
Прямая разбивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные ниже ее, и точки, расположенные выше ее. Возьмем из каждой области по контрольной точке: А(1;1), В(1;3).
Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·1+3·1≤6, 5≤6
Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·3+3·1≤6.
Данному неравенству удовлетворяет множество точек той области, где расположена точка А. Заштрихуем эту область. Мы изобразили множество решений неравенства 2у+3х≤6.
Для изображения множества решений неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:
1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.
2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.
3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.
Вывод: - решением неравенства f(x,y)˃0, и луч [ 13 ; + ∞) , тогда ответ запишется так: 3 , (5 , 9 ] , [ 13 , + ∞) , или: 3 ꓴ (5 , 9 ] ꓴ [ 13 , + ∞) , или: x = 3 , 5 < x ≤ 9 , x ≥ 13 .
Чтобы записать общее решение неравенства с двумя, тремя и более переменными при небольшом количестве решений, перечисляют их все; либо делают описание множеств переменных. К примеру, d – любое целое число, s равно 0 или 1 , t = - 3 , m = 17 .
Зачастую решение для неравенства с двумя переменными не записывают, а «зарисовывают», изображая решения неравенства на координатной плоскости. Пусть задано неравенство: 2 · х - у ≥ 5 ; его решение – все точки, расположенные на и ниже прямой, определяемой формулой: у = 2 · х - 5 .
Решением неравенства с тремя переменными станет некое множество точек трехмерного пространства.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
1. Неравенства с двумя переменными. Способы решения системы двух неравенств с двумя переменными: аналитический способ и графический способ.
2. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.
3. Совокупности неравенств с двумя переменными.
НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. Предикат вида f₁(х, у)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - выражения с переменными х и у, определенные на множестве ХхУ называется неравенством с двумя переменными (с двумя неизвестными) х и у. Ясно, что любое неравенство вида с двумя переменными можно записать в виде f(х, у) > 0, хÎХ, уÎ У. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (х, у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости. Если уравнение.
f(х, у) = 0 определяет некоторую линию на координатной плоскости, то множество точек плоскости, не лежащих на этой линии, состоит из конечного числа областей С₁, С 2 , ..., С п (рис. 17.8). В каждой из областей С, функция f(х, у) отлична от нуля, т.к. точки, в которых f(х, у) = 0 принадлежат границам этих областей.
Решение. Преобразуем неравенство к виду х > у 2 + 2у - 3. Построим на координатной плоскости параболу х = у 2 + 2у - 3. Она разобьет плоскость на две области G₁ и G 2 (рис. 17.9). Так как абсцисса любой точки, лежащей правее параболы х = у 2 + 2у - 3, больше, чем абсцисса точки, имеющей ту же ординату, но лежащей на параболе, и т.к. неравенство х>у г + 2у -3 нестрогое, то геометрическим изображением решений данного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе х = у 2 + 2у - 3 и правее нее (рис. 17.9).
Рис. 17.9 |
Рис. 17.10
Пример 17.15. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
у > 0,
ху > 5,
х + у <6.
Решение. Геометрическим изображением решения системы неравенств х > 0, у > 0 является множество точек первого координатного угла. Геометрическим изображением решений неравенства х + у < 6 или у < 6 - х является множество точек, лежащих ниже прямой и на самой прямой, служащей графиком функции у = 6 - х. Геометрическим изображением решений неравенства ху > 5 или, поскольку х > 0 неравенства у > 5/х является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции у = 5/х. В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции у = 6 - х, и выше ветви гиперболы, служащей графиком функции у = 5х (рис. 17.10).
Глава III. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ