Какие углы называются смежными и вертикальными. Смежные и вертикальные углы. Их свойства
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.
Сумма смежных углов равна 180°
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .
Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Вертикальные углы равны
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).
Теорема 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.
Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
АН - перпендикуляр к прямой
Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
Чертежный угольник
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).
Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 - углы вертикальные; заключение - эти углы равны.
Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение - словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».
Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?
Решение.
Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.
Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?
Решение.
Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.
Решение.
Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.
Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.
Решение.
Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.
1. Смежные углы.
Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.
Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, ∠АDF и ∠FDВ - углы смежные (рис. 73).
Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).
Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°
Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.
Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.
Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:
180° - 54° = l26°.
2. Вертикальные углы.
Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF - также вертикальные.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.
Пусть ∠1 = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° - \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°, т. е. 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90°.
Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.
∠3 = 180° - 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90° = 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° (рис. 77).
Мы видим, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.
Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.
Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.
Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.
Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):
∠a + ∠c = 180°;
∠b + ∠c = 180°;
(так как сумма смежных углов равна 180°).
∠a + ∠c = ∠b + ∠c
(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).
В это равенство входит один и тот же угол с .
Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: ∠a = ∠b , т. е. вертикальные углы равны между собой.
3. Сумма углов, имеющих общую вершину.
На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
Другие материалыНа данном уроке мы рассмотрим и уясним для себя понятие смежные углы. Рассмотрим теорему, которая их касается. Введем понятие «вертикальные углы». Рассмотрим опорные факты, касающиеся этих углов. Далее сформулируем и докажем два следствия об угле между биссектрисами вертикальных углов. В конце занятия рассмотрим несколько задач, посвященных этой теме.
Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.
Рис. 1. Угол ∠АОС
Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.
Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными .
Теорема 1: Сумма смежных углов - 180 о.
Рис. 2. Чертеж к теореме 1
∠МОL + ∠LON = 180 o . Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму - 180 о.
Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых в точке О.
Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD
Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.
Теорема 2: Вертикальные углы равны.
Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС - ∠ВОС = 180 о - β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD - ∠BОС = 180 о - β.
Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.
Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.
Рис. 4. Чертеж к следствию 1
Поскольку ОL - биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB = , аналогично ∠ВОК = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Сумма углов α + β равна 180 о, поскольку данные углы - смежные.
Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180 о.
Рис. 5. Чертеж к следствию 2
KO - биссектриса ∠AOB, LO - биссектриса ∠COD. Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Сумма углов α + β равна 180 о, так как данные углы - смежные.
Рассмотрим некоторые задачи:
Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111 о.
Выполним чертеж к задаче:
Рис. 6. Чертеж к примеру 1
Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180 о. То есть 111 о + β = 180 о.
Значит, β = 69 о.
Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.
Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?
Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180 о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.
Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?
Составим уравнение: α + β = 180 о, но поскольку α = β, то β + β = 180 о, значит, β = 90 о.
Ответ: Да, утверждение верно.
Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?
Рис. 7. Чертеж к примеру 4
Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180 о - α. То есть они будут равны между собой.
Ответ: Утверждение верно.
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. - М.: Просвещение.
- \Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. - М.: Просвещение, 2010.
- Измерение отрезков ().
- Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе ().
- Прямая линия, отрезок ().
- № 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. - М.: Просвещение, 2010.
- Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
- Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
- * В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?
Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.
Сумма смежных углов равна 180°
Вертикальные углы - это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжение сторон другого.
Вертикальные углы равны.
2. Признаки равенства треугольников:
I признак : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
II признак : Если стороны и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
III признак : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
3. Признаки параллельности двух прямых: односторонние углы, накрест лежащие и соответственные:
Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.
Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; рис. Стр55
Соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;
Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны
Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны
Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°
4. Сумма углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180°
5. Свойства равнобедренного треугольника:
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, являетсямедианой и высотой (медиана наоборот), (биссектриса делит угол пополам, медиана делит сторону пополам, высота образует угол 90°)
Признак: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
6. Прямоугольный треугольник:
Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов)
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета
1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°
7. Равносторонний треугольник:
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК, плоская фигура, имеющая три стороны равной длины; три внутренних угла, образуемых сторонами, также равны и составляют 60 °С.
8. Sin, cos, tg, ctg:
Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= , ctg=
9. Признаки четырехугольника^
Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, сумма противоположных углов равна 180°
10. Признаки подобия треугольников:
I признак : если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны
II признак : если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
III признак : если три стороны одного треугольника порциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны
11. Формулы:
· Теорема Пифагора: a 2 +b 2 =c 2
· Теорема sin:
· Теорема cos:
· 3 формулы площади треугольника:
· Площадь прямоугольного треугольника: S= S=
· Площадь равностороннего треугольника:
· Площадь параллелограмма: S = ah
· Площадь квадрата: S = a2
· Площадь трапеции:
· Площадь ромба:
· Площадь прямоугольника: S=ab
· Равносторонний треугольник. Высота: h=
· Тригонометрическая единица: sin 2 a+cos 2 a=1
· Средняя линия треугольника: S=
· Средняя линия трапеции : МК=
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12
Равна двум прямым углам.
Даны два смежных угла : АОВ и ВОС . Требуется доказать, что:
∠АОВ+∠ВОС= d+ d = 2d
Восставим из точки О к прямой АС перпендикуляр OD . Мы разделили угол АОВ на две части AOD и DOB так, что можно написать:
∠AO B = ∠ AO D+∠ D OB
Прибавим к обеим частям этого равенства по одному и тому же углу BOС , отчего равенство не нарушится:
∠ AO B + ∠ BO С = ∠ AOD + ∠ D OB + ∠ BO С
Так как сумма D OB + BOС составляет прямой угол DO С , то
∠ AO B+ ∠ BO С = ∠ AO D + ∠ DO С = d + d = 2 d,
что и требовалось доказать.
Следствия .
1. Сумма углов (AO B, BOС , СOD , DOE ), расположенных вокруг общей вершины (O ) по одну сторону прямой (AE ) равна 2 d = 180 0 , потому что эта сумма составляет сумму двух смежных углов , например таких: АОС + СОЕ
2. Сумма углов , расположенных вокруг общей вершины (O ) по обе стороны какой-нибудь прямой равна 4 d=360 0 ,
Обратная теорема.
Если сумма двух углов , имеющих общую вершину и общую сторону и не покрывающих друг друга, равна двум прямым углам (2d), то такие углы - смежные , т.е. две другие их стороны составляют прямую линию .
Если из одной точки (O) прямой (AB) восстановить к ней, по каждую ее сторону, перпендикуляры, то эти перпендикуляры образуют одну прямую (СD). Из всякой точки вне прямой можно опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один.
Потому, что сумма углов COB и BOD равна 2d.
Прямая С части которой O С и OD служат перпендикулярами к прямой AB , называется прямой перпендикулярной к AB .
Если прямая С D перпендикулярна к прямой AB , то и наоборот: AB перпендикулярна к С D , потому что части OA и OB служат также перпендикулярны к С D . Поэтому прямые AB и С D называются взаимноперпендикулярными .
То, что две прямые AB и С D взаимноперпендикулярны, выражают письменно так AB ^ С D .
Два угла называются вертикальными , если стороны одного составляют продолжение сторон другого.
Так, при пересечении двух прямых AB и С D образуются две пары вертикальных углов: AO D и СOB ; AOС и D OB .
Теорема.
Два вертикальных угла равны.
Пусть даны два вертикальных угла: AOD и С OB т.е. OB есть продолжение OA , а O С продолжение OD .
Требуется доказать, что AOD = С OB.
По свойству смежных углов можем написать:
AO D + D OB = 2 d
DOB + BOС = 2d
Значит: AOD + DOB = DOB + BOС.
Если вычесть из обеих частей этого равенства по углу D OB , получим:
AO D = BOС , что и требовалось доказать.
Аналогично докажем, что AOС = D OB .