Конспект множества и операции над ними. Конспект. Множества и операции над ними план-конспект по математике на тему. Этап закрепления нового материала

Множества и операции над ними

1. Основные понятия о множества.

Основные определения.

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).

МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Примеры:

Множество студентов данной учебной группы.
Множество планет солнечной системы.
Множество букв русского алфавита.
Множество натуральных чисел.

Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.

Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.

Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A 1 ,B 1,…

Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a 1, b 1 ,…

В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:

N – множество всех натуральных чисел;

Z c (или Z + или C + ) – множество всех целых неотрицательных чисел;

Z (или C) – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел;

R + - множество всех действительных положительных чисел.

По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.

1. Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.

Пример 1.

Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

Пример 2.

Множество натуральных чисел бесконечно.

Пример 3.

Множество точек отрезка бесконечно.

3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅ .

Пример 4.

Множество действительных корней уравнения x 2 +1=0.

Пример 5.

Множество людей, проживающих на Солнце.

В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.

Пример 6.

Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака ∈ . В данном случае символическая запись будет такой: 5 ∈ N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.

Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака (реже ∉ ). Таким образом, здесь имеем: 5,2 ∉ N

Читается: “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.

1.2 Способы задания множеств.

Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.

Пример 7.

Множество всех гласных букв русского алфавита:

A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}.

Пример 8.

Множество цифр десятичной системы счисления:

B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.

Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.

Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:

А={х│х обладает свойством Р}={ х│Р(х)}={х: Р(х)}.

Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.

Пример 9.

Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:

В={х │х – чётное натуральное число}={х │ х=2k, k Є N}.

Пример 10.

Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:

R 1-3 ={y│1≤ y≤ 3, y Є R}.

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.

Пример 11.

Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.

Первый способ: N ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Второй способ: N ={z│z

Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Пример 12.

Множество квадратов.

Первый способ: A={x│x – ромб с прямыми углами}.

Второй способ: A={ x│x – прямоугольник с равными сторонами}.

1.3 Отношения между множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.

рис. 1.

1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} и Y={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.

X Y B 1 B 2

Рис. 2. рис. 3.

Пусть даны множества B 1 ={1; 2; 3} и B 2 ={4; 5; 6}.

Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B 1 и B 2 находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.

С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.

Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.

Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.

Определение 1.1

Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.

Отношение “включено” обозначается знаком ⊂ .

Соответственно отношение “включает” – знаком ⊃ .

Определение 1.1 символически записывается так: В ⊂ А или А ⊃ В. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.

Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два

Множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ

ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø ⊂ В ⊂ А, или иначе: А ⊃ В ⊃ Ø.

4. Пусть даны множества C={x; y; z}, D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С и D равны и пишут C=D.

Определение 1.2

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.

Определение 1.3

Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.

Символически данное определение можно записать так:
С = D ⇔ С ⊂ D и D ⊂ С, или С = D ⇔ С ⊂ D ∧ D ⊂ С,
где знак ⇔ означает “эквивалентность” (равнозначность), а знак ∧ (конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.

С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.

Рис.5. рис.6.

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…

Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…

Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.

2. Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

2.1 Пересечение множеств

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Определение 1.4

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: А ∩ В, где символ ∩ - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:

Р=А ∩ В= {x ⎪ x ∈ A и x ∈ B}={x ⎪ x ∈ A ∧ x ∈ B}. (1)

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

(2)

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак ∧ (конъюнкция, или логическое “и”):

X ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (2а)

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

(3)

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком ∨ (дизъюнкция, логическое “или”):

Х ∉ А ∩ В ⇒ х ∉ А ∨ х ∉ В. (3а)

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7 ÷ 10 (пересечение заштриховано).

рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10

2.2 Объединение множеств

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 1.5

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А ∪ В, где ∪ - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:

С= А ∪ В={x ⎪ x ∈ A или x ∈ B}. (4)

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

(5)

а также знаком дизъюнкции

Х ∈ А ∪ В ⇒ х ∈ А ∨ х ∈ В. (5а)

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

(6)

или

X ∉ A ∪ B ⇒ x ∉ A ∧ x ∉ B. (6а)

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).

рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

А ∪ А=А, А ∪∅ =А, А ∪ U=U. (7)

Замечание1.

Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

Р= А 1 ∩ А 2 ∩ … ∩ А n ={x ⎪ x ∈∀ A i , i= },

Где символ ∀ (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A i , которая принадлежит каждому множеству одновременно.

Замечание 2.

Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

C= A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ={x ⎪ x ∈ A 1 или x ∈ A 2 или …или x ∈ A n }.

Замечание 3.

Если в выражении есть знаки ∪ и ∩ и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

2.3 Разность множеств

Определение 1.6

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А  В, где символ  является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:

C=A  B={x ⎪ x ∈ A и x ∉ B} (8)

Или

(9)

а также x ∈ A  B ⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B. (9а)

Пример 1.

Если E 1 ={2; 4; 6} и E 2 ={6; 8; 10}, то E 3 =E 1  E 2 ={2; 4}, E 4 =E 2  E 1 ={8;10}.

Пример 2.

Если M 1 ={x 1 ; x 2 ; x 3 }, M 2 ={y 1 ; y 2 }, то M 3 =M 1  M 2 ={ x 1 ; x 2 ; x 3 },

M 4 =M 2  M 1 ={y 1 ; y 2 }.

Пример 3.

Если K 1 ={1; 3; 5; 7; 9}, K 2 ={5; 7; 1}, то K 3 =K 1  K 2 ={3; 9}, K 4 =K 2  K 1 = ∅ .

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А  В заштриховано.

рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18

2.4 Дополнение к множеству

Определение 1.7

Пусть В ⊂ А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .

Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .

Определение 1.8

Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .

Это определение может быть записано в виде:

= {x ⎪ x ∉ A}. (10)

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

Рис. 19 рис. 20

Муниципальное общеобразовательное учреждение-

Открытый урок по теме: « Множества. Подмножества. Операции над множествами»

5 класс

Учителя математики

Сычук В.Д.

МОУ - Лицей №2

Г.Саратов

Урок: Множества. Подмножества. Операции над множествами.

Цель урока : 1)повторить основные понятия множества, подмножества,

операции над множествами;

2)развитие логического мышления через решение

нестандартных задач, систематизацию и обобщение,

развитие математической речи

3)воспитание внимательности, интереса к предмету,

Расширение кругозора.

Тип урока : повторительно-обобщающий.

Метод обучения : дидактическая игра – соревнование.

Способ организации деятельности : частично-поисковый.

Оборудование : 1)интерактивная доска;

2)карточки с заданиями для самостоятельной работы

И задачами;

3)карточки с индивидуальными заданиями;

Оформление класса:

1й слайд : Число, тема, эпиграф.

«Множество есть многое мыслимое как единое целое»

Георг Кантор.

Ход урока.

I . Организация.

Сообщить тему урока, эпиграф, план урока.

Разминка.
Конкурс теоретиков (самостоятельно 3 человека по карточкам на доске).
Самостоятельная работа с взаимопроверкой.
Решение задачи (коллективно).
Домашнее задание.
Итог урока.

Класс разбивается на две группы (по вариантам)

Условия игры: 1) Четкие и точные ответы;

2)Скорость;

3)Дисциплина.

Реплика учителя: «И пусть в этой борьбе победит умнейший!»

II . Разминка.

1.Что означает слово «множество»?

Множество – это набор или совокупность предметов одинаковой природы.

2.Какие названия применяются для обозначения множеств?

Стадо, табун, коллектив, семья, оркестр, библиотека.

3.Как различаются множества по числу элементов?

Множества бывают конечные, бесконечные и пустое множество.

4.Какими способами можно задать множество?

Множество можно задать перечислением или с помощью характеристического свойства.

5.Какое свойство называется характеристическим свойством?

Характеристическим свойством называется такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты.

6.2йслайд :

В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторыми свойствами.

Опишите его и найдите лишний элемент.

А= х I х - пустыня

Лишний элемент- кувшинка .

7. 3й слайд :

Что называется подмножеством множества А?

-Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.

8. 4й слайд :

9.Что называется пересечением множеств А и В?

Пересечением множеств А и В называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые содержатся в А и В одновременно.

10.Что называется объединением множеств А и В?

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В.

11. 5й слайд : Найти пересечение геометрических фигур

12. 6й слайд :

III . Конкурс теоретиков

Вызываются 3 человека, которые работают по карточкам.

Карточка№1

Винни-Пух и Пятачок пришли в гости к Кролику. Кролик угостил их вареньем. Винни-Пух и Пятачок вместе съели 32 ложки варенья, а Винни-Пух и Кролик – 23 ложки варенья.

Сколько ложек варенья съели все три героя?

Карточка№2

А= х│хєN ; 2≤х≤7

В= х│хєN ; 4≤х≤9

Задайте множества перечислением. Найдите АU В; А В; А\ В; В\А. Изобразите решение на числовой прямой.

Карточка №3

Запишите все подмножества множества a ;b ;с;d .

На сцене висели 5 лампочек. Сколько существует способов освещения сцены?

IV . Конкурс «Кто быстрее». Самостоятельная работа

Самостоятельная работа по карточкам.

Файлы с заданиями в двух вариантах находятся на каждой парте.

Через 7 минут ребята обмениваются тетрадями и сверяют ответы с решениями на интерактивной доске.

7 слайд:

Оценка «5» - нет ошибок

«4» - одна ошибка

«3» - не ставится

8й слайд :

Решение:

Обозначим стоимость коровы –n (А), овцы – n (В), козы – n (С),свиньи –n (D )

n (А U В U С U D )=1325рублей

n (В U C U D )= 425 рублей

n(A U D U B)= 1225 рублей

n (С U D )=275 рублей

1.n (A )=n (А U В U С U D )- n (В U C U D )=1325-425=900рублей - стоимость коровы

2.n (C )= n (А U В U С U D )- n (A U D U B )=1325-1225=100 рублей - стоимость козы

3.n (B )= n (В U C U D )- n (С U D )=425- 275=150 рублей - стоимость овцы

4.n (D )= n (С U D )-n (C )=275-100=175 рублей- стоимость свиньи

Ответ: корова стоит 900р., коза- 100р., овца-150р., свинья-17

Дополнительная задача:

9й слайд:

VII .Итоги игры

В заключении проводятся итоги.

Домашнее задание заранее написано на доске:

Составить задачи на 1)пересечение и объединение геометрических фигур, 2)распиливание; 3)задание множеств и подмножеств с помощью характеристического свойства.

И все-таки победила дружба.

Спасибо за урок, дети!

Муниципальное общеобразовательное учреждение-

Открытый урок по теме: « Множества. Подмножества. Операции над множествами»

5 класс

Учителя математики

Сычук В.Д.

МОУ — Лицей №2

Г.Саратов — 2008

Урок: Множества. Подмножества. Операции над множествами.

Цель урока : 1)повторить основные понятия множества, подмножества,

операции над множествами;

2)развитие логического мышления через решение

нестандартных задач, систематизацию и обобщение,

развитие математической речи

3)воспитание внимательности, интереса к предмету,

Расширение кругозора.

Тип урока : повторительно-обобщающий.

Метод обучения : дидактическая игра – соревнование.

Способ организации деятельности : частично-поисковый.

Оборудование : 1)интерактивная доска;

2)карточки с заданиями для самостоятельной работы

И задачами;

3)карточки с индивидуальными заданиями;

Оформление класса:

1й слайд : Число, тема, эпиграф.

«Множество есть многое мыслимое как единое целое»

Георг Кантор.

Ход урока.

I . Организация.

Сообщить тему урока, эпиграф, план урока.

Разминка.
Конкурс теоретиков (самостоятельно 3 человека по карточкам на доске).
Самостоятельная работа с взаимопроверкой.
Решение задачи (коллективно).
Домашнее задание.
Итог урока.

Класс разбивается на две группы (по вариантам)

Условия игры: 1) Четкие и точные ответы;

2)Скорость;

3)Дисциплина.

Реплика учителя: «И пусть в этой борьбе победит умнейший!»

II . Разминка.

1.Что означает слово «множество»?

Множество – это набор или совокупность предметов одинаковой природы.

2.Какие названия применяются для обозначения множеств?

Стадо, табун, коллектив, семья, оркестр, библиотека.

3.Как различаются множества по числу элементов?

Множества бывают конечные, бесконечные и пустое множество.

4.Какими способами можно задать множество?

Множество можно задать перечислением или с помощью характеристического свойства.

5.Какое свойство называется характеристическим свойством?

6.2йслайд :

В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторыми свойствами.

Опишите его и найдите лишний элемент.

А = х I х — пустыня

Лишний элемент- кувшинка .

7. 3й слайд :

Что называется подмножеством множества А?

8. 4й слайд :

9.Что называется пересечением множеств А и В?

10.Что называется объединением множеств А и В?

11. 5й слайд : Найти пересечение геометрических фигур

1 2. 6й слайд :

III . Конкурс теоретиков

Вызываются 3 человека и работают по карточкам.

Карточка№1

Сколько ложек варенья съели все три героя?

К арточка№2

А = х│хєN ; 2≤х≤7

В= х│хєN ; 4≤х≤9

Задайте множества перечислением. Найдите АU В; А В; А В; ВА. Изобразите решение на числовой прямой.

Карточка №3

Запишите все подмножества множества a ;b ;с;d .

На сцене висели 5 лампочек. Сколько существует способов освещения сцены?

IV . Конкурс «Кто быстрее». Самостоятельная работа

Самостоятельная работа по карточкам.

Файлы с заданиями в двух вариантах находятся на каждой парте.

Через 7 минут ребята обмениваются тетрадями и сверяют ответы с решениями на интерактивной доске.

7 слайд:

Оценка «5» — нет ошибок

«4» — одна ошибка

«3» — не ставится

8й слайд :

Решение:

Обозначим стоимость коровы –n (А), овцы – n (В), козы – n (С)свиньи –n (D )

n (А U В U С U D )=1325рублей

n (В U C U D )= 425 рублей

n(A U D U B)= 1225 рублей

n (С U D )=275 рублей

1.n (A )=n (А U В U С U D )- n (В U C U D )=1325-425=900рублей — стоимость коровы

2.n (C )= n (А U В U С U D )- n (A U D U B )=1325-1225=100 рублей — стоимость козы

3.n (B )= n (В U C U D )- n (С U D )=425- 275=150 рублей — стоимость овцы

4.n (D )= n (С U D )-n (C )=275-100=175 рублей — стоимость свиньи

Ответ: корова стоит 900р., коза- 100р., овца-150р., свинья-17

Дополнительная задача:

9й слайд:

VII .Итоги игры

В заключении подводятся итоги.

Домашнее задание заранее написано на доске:

И все-таки победила дружба.

Спасибо за урок, дети!

Технологическая карта открытого урока

Предмет : Дискретная математика

Группа: ЭВМ-116

Составитель: Седова Оксана Борисовна, преподаватель ГБПОУ МО "Авиационный техникум им. В.А. Казакова".

Тема: Операции над множествами

Тип урока : комбинированный урок

Цели урока - – развития познавательной активности, творческого и логического мышления студентов посредством анализа и обобщения полученной информации, приобретения знаний и умений в ходе изучаемой темы дисциплины:

Образовательная:

В результате изучения темы студент должен:

Производить операции над множествами;

иллюстрировать результаты операций над множествами с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна);

применять полученные знания для решения практических задач

основные понятия из теории множеств;

виды операций, осуществляемых над множествами;

приоритеты выполнения операций над множествами

Воспитательная:

Создание условий для проявления у студентов ответственности, инициативности при подготовке к занятию и в ходе его проведения;

Содействие развитию у студентов позитивного опыта общения, ответственного отношения к соблюдению этических и правовых норм в ходе самостоятельной деятельности.

Развивающая:

Создание условий для развития познавательной активности студентов, творческого и логического мышления, анализа и обобщения полученной информации, умений;

Осуществление самоконтроля в учебной деятельности.

Валеологическая:

Использование кабинета вычислительной техники, подготовленного к учебному процессу в соответствии с требованиями САНПиН;

Использование оздоровительных моментов на уроках: гимнастика для глаз, для улучшения кровообращения;

Создание благоприятного психологического климата на уроке с учетом индивидуальных особенности обучающихся.

Средства обучения:

комплекс мультимедиа (ПК, проектор);

презентация к уроку;

раздаточные материалы – карточки с заданиями;

комплект оценочных средств по изученной теме.

Этап урока	Цель	Время, мин	Деятельность преподавателя	Деятельность учащихся	Форма работы	Основной метод обучения
1 .Организационный	Мотивация учащихся к принятию новых знаний				фронтальная
информирование			Формулирование темы урока, мотивация учащихся	знакомство с темой урока
планирование			Приведение алгоритма урока	знакомство с алгоритмом урока
	активизация опорных знаний				фронтальная	устный опрос в форме беседы, демонстра-ция основных положений
2.1.повторение теоретического материала			понятие «множества» условные обозначения множеств, элементов множеств, знаки принадлежности множеству (∈ , ∉ ) способы задания множества понятие «подмножества» условные обозначения подмножества (,) определение равенства множеств определение мощности множества	ответы на вопросы, поставленные преподавателем
2.2. решение задач по изученному материалу			формулирование задач с использованием ТСО	обсуждение расходящихся ответов		демонстра-ция ответов решений
Изучение нового материала						проблемное изложение, обсуждение
вопрос перед изложением материала	приобретение новых знаний		не кажутся ли вам операции объединения и пересечения знакомыми? Какие операции они напоминают?	обдумывание вопроса в ходе знакомства с материалом	фронтальная
знакомство с видами операций над множествами, способами записи	мотивация учащихся к принятию новых знаний		изложение нового материала изобразите каждую из операций с помощью кругов Эйлера исходя из определения, попробуйте изобразить с помощью диаграммы Венна операцию «дополнение». Какую логическую операцию напоминает эта операция?	сопоставление операций объединения и пересечения с логическими операциями конъюнкции и дизъюнкции попытки изобразить каждую из этих операций с помощью кругов Эйлера сопоставление операции дополнения с логической операцией отрицания	фронтальная
	закрепление приобретен-ных знаний
коллегиальное решение задач по изученному материалу			1. формулирование задач с использованием ТСО 2. обсуждение расходящихся ответов	решение задач по изученному материалу; обсуждение расходящихся ответов	фронтальная	обсуждение
самостоятельная работа			раздача карточек с задачами для самостоятельной работы ответы на вопросы по заданиям, вызвавшим затруднения	самостоятельное решение задач вопросы преподавателю по заданиям, вызвавшим затруднения	индивидуаль-ная	самостоя-тельная работа
Итоги урока	рефлексия обучающихся		повторение основных положений урока ответы на возникшие вопросы, затруднения	повторение основных положений урока; вопросы преподавателю	фронтальная	рефлексия
Домашнее задание	закрепление знаний			осмысление домашнего задания вопросы преподавателю	фронтальная

Сценарий урока

Организационный этап

Здравствуйте. Тема нашего урока «Операции над множествами». Что такое «множество» мы уже знаем. Множество – это ….. Продолжите фразу, пожалуйста.

Студенты дают различные определения понятия «множество»

Учитель демонстрирует определение на слайде 2:

Множество – это совокупность объектов, объединённых каким-либо признаком, свойством.

Скажите пожалуйста, а что вы понимаете под термином «операция»?

Студенты формулируют понятие «операция».

Учитель фиксирует наиболее приемлемые определения, демонстрирует на слайде:

Опера́ция (лат. operatio, действие) - действие, совокупность действий для достижения какой-либо цели.

Операция (математика) - арифметическое или логическое действие

Т.е. операции над множествами – это совокупность каких-либо действий. Для чего? Продолжите фразу, пожалуйста.

Студенты предлагают концовку фразы.

Преподаватель формулирует определение окончательно, демонстрирует слайд 2:

Операции над множествами – это совокупность каких-либо действий для получения нового множества

Таким образом, сегодня нам предстоит выяснить, какие операции можно выполнять над множествами и что мы получим в результате выполнения этих операций.

Повторение изученного материала

Прежде, чем перейти к изучению нового материала, восстановим основные положения предыдущего урока. Определение множества мы уже дали. А как обозначаются множества? Элементы множеств? Принадлежность элементов множеству? Приведите примеры.

Студенты записывают на доске варианты условных обозначений множеств, элементов множеств, знаки принадлежности элемента множества. Приводят конкретные примеры.

Преподаватель демонстрирует на слайде 3 примеры условных обозначений множеств, принадлежности элементов множеству.

Какие существуют способы задания множества? Приведите примеры.

Студенты называют и записывают способы задания множеств. Приводят примеры.

Преподаватель демонстрирует на слайде 4 способы задания множеств.

А какое множество можно назвать подмножеством другого множества? Приведите примеры. Какие знаки используются для указания принадлежности подмножества множеству?

Студенты формулируют определение подмножества. Приводят примеры. Записывают соответствующие формулы.

Преподаватель демонстрирует слайд 5 с соответствующими записями .

Дайте определение равенства множеств. Приведите примеры.

Студенты дают определение равенства множества, приводят примеры равенства множеств.

Преподаватель демонстрирует слайд 6 с записями равномощных множеств.

А теперь окончательно закрепим изученный ранее материал, прорешав ряд задач

Преподаватель демонстрирует слайд 7 с условиями задач.

Студенты решают задачи. Дают объяснения.

Преподаватель демонстрирует правильные ответы, приведенные на слайде 8.

Изучение нового материала

Итак, напомню тему нашего урока: «Операции над множествами». Какие же существуют операции над множествами, и к чему они приводят. Я буду излагать материал, а вы в это время подумайте, не знаком ли он вам. Или похож на что-то хорошо вам знакомое.

Преподаватель излагает новый материал – называет операции пересечения и объединения над множествами, формулирует определения, приводит знаки операций, формулы, законы и тождества, которым подчиняются эти операции. Изложение материала сопровождается слайдами 9,10. Параллельно предлагает студентам изобразить каждую операцию графически с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна).

Студенты осмысливают материал, приходят к пониманию схожести операций объединения и пересечения над множествами с логическими операциями дизъюнкции и конъюнкции соответственно. Предлагают варианты графического изображения каждой операции. Параллельно фиксируют основные тезисы, формулы, рисунки в тетради.

Итак, показался ли вам материал знакомым? Из какой области знаний ваши ассоциации.

Преподаватель подводит итог текущему этапу:

Действительно, основой для двузначной логики является теория множеств, как и для большинства других областей знаний.

Мы не рассмотрели еще несколько операций над множествами. Это дополнение, разность, симметрическая разность.

Преподаватель продолжает изложение материала, сопровождая слайдом 11.

Изобразите эту операцию с помощью диаграммы Венна. Какую логическую операцию напоминает дополнение?

Студенты предлагают свое решение, приходя к выводу что дополнение схоже с инверсией.

Преподаватель переходит к рассмотрению операций «разность» и «симметрическая разность» (слайды 12,13), предлагая студентам также изобразить эти операции графически.

Студенты предлагают свои решения, фиксируют материал в тетрадях.

Преподаватель подводит итог этапу:

Пересечение, объединение и дополнение являются базовыми операциями, через которые могут быть выражены остальные – разность и симметрическая разность.

Закрепление изученного материала

А теперь давайте закрепим новый материал.

Преподаватель выводит на экран слайды с формулировками задач.

Студенты коллегиально решают эти задачи.

Преподаватель выводит на экран слайды с ответами.

Студенты фиксируют решения и ответы задач в тетрадях.

Попробуйте решить задачи, предложенные на карточках, самостоятельно. Если возникнут какие-либо трудности, спрашивайте - обсудим.

Студенты самостоятельно решают предложенные преподавателем задачи.

Преподаватель помогает в решении задач, вызвавших затруднение.

Итоги урока

Давайте подведем итоги нашего урока.

Преподаватель задает вопросы. Студенты формулируют ответы:

Назовите операции, которые можно производить над множествами.

Операции над множествами – это пересечение, объединение, дополнение, разность, симметрическая разность.

Какие из этих операций являются базовыми? Почему?

Базовыми операциями над множествами являются пересечение, объединение, дополнение. Через них можно выразить остальные операции.

Назовите законы, которым подчиняются операции объединения и пересечения

Законы, которым подчиняются операции объединения и пересечения –это переместительный, сочетательный, дистрибутивный законы.

Назовите свойства операций пересечения, объединения, дополнения

Закон де Моргана, идемпотентности, тождества, исключения третьего и т.п.

Домашнее задание: составить сводную таблицу по заданному образцу

Операция над множеством	Формальная запись	Логическая операция	Формальная запись	Диаграмма
объединение		дизъюнкция

Приложение 1:

Приложение 2. Система основных понятий по теме «Защита информации»

Цифровая информация – информация, хранение, передача и обработка которой осуществляется средствами ИКТ.

Защищаемая информация - информация, являющаяся предметом собственности и подлежащая защите в соответствии с требованиями правовых документов или требованиями, устанавливаемыми собственником информации.

Собственником информации может быть - государство, юридическое лицо, группа физических лиц, отдельное физическое лицо.

Защита информации - деятельность по предотвращению у течки защищаемой информации, несанкционированных и непреднамеренных воздействий на защищаемую информацию.

Цифровая подпись – это индивидуальный секретный шифр, ключ которого известен только владельцу. Наличие цифровой подписи свидетельствует о том, что ее владелец подтвердил подлинность содержимого переданного сообщения.

Цифровой сертификат – это сообщение, подписанное полномочным органом сертификации, который подтверждает, цифровая подпись действительно принадлежит владельцу.

1. Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторять 4 - 5 раз.

Повторять 4 - 5 раз.

3. Вытяну ть праву ю руку вперед. Следить глазами, не поворачивая головы, за медленными движениями у казательного пальца вытяну той руки влево и вправо, вверх и вниз. Повторять 4 - 5 раз.

4. Посмотреть на у казательный палец вытяну той ру ки на счет 1 - 4, потом перенести взор вдаль на счет 1 - 6. Повторять 4 - 5 раз.

5. В среднем темпе проделать 3 - 4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1 - 6. Повторять 1 - 2 раза.

Учебные занятия, сочетающие в себе психическую, статическую, динамическую нагрузки на отдельные органы и системы и на весь организм в целом, требуют проведения на уроках физкультурных мину ток (далее - ФМ) для снятия локального у томления и ФМ общего воздействия.

ФМ для улучшения мозгового кровообращения:

2. И.п. - сидя, ру ки на поясе. 1 - поворот головы направо, 2 - и.п., 3 - поворот головы налево, 4 - и.п. Повторить 6 - 8 раз. Темп медленный.

3. И.п. - стоя или сидя, руки на поясе. 1 - махом леву ю руку занести через правое плечо, голову поверну ть налево. 2 - и.п., 3 - 4 - то же правой рукой. Повторить 4 - 6 раз. Темп медленный.

ФМ для снятия утомления с плечевого пояса и рук:

1. И.п. - стоя или сидя, руки на поясе. 1 - правую ру ку вперед, леву ю вверх. 2 - переменить положения ру к. Повторить 3 - 4 раза, затем расслабленно опустить вниз и потрясти кистями, голову наклонить вперед. Темп средний.

2. И.п. - стоя или сидя, кисти тыльной стороной на поясе. 1 - 2 - свести локти вперед, голову наклонить вперед, 3 - 4 - локти назад, прогну ться. Повторить 6 - 8 раз, затем руки вниз и потрясти расслабленно. Темп медленный.

3. И.п. - сидя, ру ки вверх. 1 - сжать кисти в ку лак, 2 - разжать кисти. Повторить 6 - 8 раз, затем руки расслабленно опустить вниз и потрясти кистями. Темп средний.

ФМ для снятия утомления с туловища:

1. И.п. - стойка ноги врозь, ру ки за голову. 1 - резко поверну ть таз направо. 2 - резко повернуть таз налево. Во время поворотов плечевой пояс оставить неподвижным. Повторить 6 - 8 раз. Темп средний.

2. И.п. - стойка ноги врозь, ру ки за голову. 1 - 5 - круговые движения тазом в одну сторону, 4 - 6 - то же в другую сторону, 7 - 8 - ру ки вниз и расслабленно потрясти кистями. Повторить 4 - 6 раз. Темп средний.

3. И.п. - стойка ноги врозь. 1 - 2 - наклон вперед, правая ру ка скользит вдоль ноги вниз, левая, сгибаясь, вдоль тела вверх, 3 - 4 - и.п., 5 - 8 - то же в другую сторону. Повторить 6 - 8 раз. Темп средний.

ФМ общего воздействия комплектуются из упражнений для разных групп мышц с учетом их

напряжения в процессе деятельности

Приложение 4. Задание «Шифр Виженера»

С помощью табличного процессора Excel автоматизировать процесс кодирования слов с использованием ключевого слова bank (предполагается, что слова будут состоять только из строчных латинских букв и их длина не будет превышать 10 символов).

Для решения задачи использовать текстовые функции СИМВОЛ и КОДСИМВ.

Каждая буква текста должна храниться в отдельной ячейке. Величина сдвига должна определяться автоматически (код буквы ключевого слова минус код буквы “a” плюс единица). Попробовать с помощью вашей таблицы зашифровать слова: algebra, geometry, english.

Решение для слова geometry

В строке 2 размещается повторяющееся ключевое слово. В строке 3 – сдвиги, соответствующие буквам ключа. Например, в ячейке B3 находится следующая формула:

КОДСИМВ(B2)-КОДСИМВ("a")+1

Функция КОДСИМВ(символ) в качестве результата получает код аргумента. Аргументом может быть либо символьная константа, либо адрес ячейки, в которой хранится символ. В последнем случае выдается код содержимого ячейки. Поскольку буквы английского алфавита в коде расположены по алфавиту и имеют подряд идущие номера (внутренние коды), то порядковый номер буквы в алфавите равен коду данной буквы минус код буквы «a » плюс единица. Так вычисляется сдвиг, соответствующий букве ключевого слова.

В строке 4 располагается шифруемое слово. В ячейках строки 5 помещаются формулы шифрования. Форму ла в ячейке B5 такая:

СИМВОЛ(КОДСИМВ("a")+ОСТАТ(КОДСИМВ(B4)-КОДСИМВ("a")+B3;26))

Функция СИМВОЛ(код символа) возвращает символ по значению его ASCII-кода.

Функция ОСТАТ(делимое; делитель) возвращает остаток от целочисленного деления.

Английский алфавит содержит 26 букв. Остатки деления на 26 – числа в диапазоне от 0 до 25.

Это позволяет оставаться в пределах кодов английского алфавита (строчных букв): от кода буквы « a » до кода буквы « z » .

Методическая разработка урока.doc

Алексей Юлия Вадимовна , учитель информатики и математики

г.Константиновск Ростовской области

ГБОУ СПО РО «Константиновский педагогический колледж»

Дисциплина: дискретная математика

М. С. Спирина, П. А. Спирин «Дискретная математика»/ Москва: изд.центр «Академия», 2010 г.

Методическая разработка урока

2 курс Специальность: «Профессиональное обучение»

использование информационных технологий: при проведении урока использована презентация, тестирующие программы.

Цели урока: обобщить и систематизировать знания студентов по теме «», используя мультимедиа технологии.

Задачи урока:

Образовательные:

закрепить теоретические знания: понятие множества, элемент множества, виды множеств, отношения между множествами, операции над множествами;

сформировать умения применять полученные теоретические знания определения множества и его элементов, умения охарактеризовать множество, выполнять действия над множествами (объединение и пересечение), изображать множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна, применять данные знания для решения прикладных задач;

формировать информационно-коммуникативную компетенцию;

Развивающие:

развивать познавательный интерес, интеллектуальные и творческие способности учащихся;

формировать информационную культуру, овладение навыками контроля и самоконтроля;

осуществлять исследовательскую деятельность.

Воспитательные:

обучать самостоятельной деятельности по овладению знаниями;

формировать осознанные мотивы учения, самосовершенствования, самовоспитания;

воспитывать целеустремленность и настойчивость в достижении цели;

воспитывать взаимопомощь.

ЗУН + опыт деятельности. Мультимедиа технологии позволяют работать в индивидуальном темпе, осуществить дифференцированный подход, способствуют закреплению полученных знаний, а также выступают как источник дополнительной информации по предмету. Использование на уроке опорных конспектов – фрагментов рабочих тетрадей для студентов позволяют совершенствовать навыки контроля и самоконтроля, как способ самоорганизации труда и самообразования.

В ходе урока, учащиеся:

систематизируют свои знания по данной теме;

закрепят теоретические знания: понятие множества, элемент множества, виды множеств, отношения между множествами, операции над множествами;

закрепят умения применять полученные теоретические знания;

осуществят исследовательскую деятельность.

Оборудование урока. ПК учителя, мультимедиа проектор, персональные компьютеры учащихся.

Программное обеспечение : MS PowerPoint (2007). Презентация «Множества. Операции над множествами », опорные конспекты для студентов.

Презентация иллюстрирует основную информационную составляющую урока по теме «Множества. Операции над множествами », содержит задания для самостоятельной работы, занимательные задачи

Этапы урока

Повторение и закрепление теоретических знаний

В начале занятия проводится актуализация знаний, умений и навыков: учащиеся повторяют основные понятия теории множеств. Ответы учащихся сопровождаются показом слайдов презентации с четкими формулировками, определениями. (Слайды 1,2,4,5,6)

Историческая справка

В качестве дополнительного материала можно предложить студентам подготовить материал об основателе теории множеств Георге Канторе (слайд 6 ), и Леона́рде Э́йлере - швейцарском, немецком и российском математике, внёсшем значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук (слайд 28). (как домашнее задание к уроку).

Практикум решения упражнений

Данный урок является заключительным на этапе изучения темы «Теория множеств». По ходу урока студентам предлагается выполнение различных заданий по теме, которые выполняются в подготовленных фрагментах рабочих тетрадей (приложение 2), частично с проверкой и обсуждением. На этапе применения теоретических знаний для решения задач демонстрируются слайды с условиями для устного и письменного решения упражнений, идет обсуждение алгоритмов решения, в целях контроля и формирования навыков самоконтроля демонстрируются слайды с ответами и пояснениями.

Если первые упражнения требуют от учащихся знаний определения множества и его элементов, умения охарактеризовать множество, выполнять действия над множествами (объединение и пересечение), изображать множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна, то последующие требуют применения данные знаний для решения прикладных задач. Вторая часть урока посвящена решению прикладных задач, демонстрации наиболее рационального способа решения с использованием теории множеств (Слайды 29 - 39)

Контроль знаний и умений

Самый важный этап урока. Студенты на протяжении урока работают в рабочих тетрадях, выполняя предложенные задания. Частично в ходе урока производится проверка выполнения части упражнений и обсуждения способа решения, выявление пробелов и коррекция знаний. На заключительных этапах урока студентам предоставляется возможность реализовать в рамках самостоятельной работы, полученные на предыдущих этапах знания и умения, накопленный опыт. Отдельную часть заданий студентам предлагается выполнить самостоятельно, в конце урока дать оценку своей работе.

Рефлексия деятельности на уроке.

Оценка своего участия в работе на уроке по 10 бальной

шкале: 0/__________________/10 по критериям самооценки.

САМООЦЕНКА

10- хорошо знаю весь фактический материал, и участвовал в организации группы;

9 - хорошо знаю свой вопрос, и участвовал в работе на уроке;

8 - хорошо знаю весь фактический материал;

7 - хорошо знаю свой вопрос;

6 - знаю свой вопрос;

5 – знаю свой вопрос, но был пассивен;

4 – плохо знаю свой вопрос, но был активен в обсуждении других вопросов;

3 – плохо знаю свой вопрос, и был пассивен;

1,2 – не знаю свой вопрос, и был пассивен.

Оценка валеологической составляющей урока по Бланку рефлексивной оценки

Бланк рефлексивной оценки

Уважаемый студент! Для того, чтобы обучение приносило Вам больше пользы, радости, здоровья, мы просим вас выразить свое мнение об этом занятии при помощи ответов на вопросы данной анкеты. Внимательно прочитайте утверждения и предложенные варианты ответов, выберите наиболее подходящий и поставьте напротив его ² палочку ² (\). Заранее благодарим за искренние и точные ответы.

Вопросы анкеты
После занятия я чувствую себя
а) заряженным новой энергией
б) работоспособным, бодрым
в) самочувствие не изменилось
г) утомленным
д) подавленным
е) несколько возбужденным, взвинченным
ж) апатичным, сонливым.
В конце занятия я испытал состояние
а) восхищения
б) благодарности
в) удовлетворения
г) впустую потраченного времени

е) раздражения

После занятия мне захотелось
а) творить добро, совершать благородные поступки
б) изобретать что-то новое, сочинять
в) совершенствовать свои качества
г) самостоятельно пополнять свои знания
д) чтобы материал данной темы никогда не ² попал² мне на к.р., зачете, экзамене
е) никогда о нем не вспоминать

Обсуждение со студентами, какой урок они считают более эффективным – обычный или электронный, на каком они достигли лучших результатов: больше узнали, больше решили.

Заключение. Презентация – наиболее удачная форма подачи мультимедиа материала. Использование презентации на данном уроке позволяет провести обобщение изученного материала, демонстрировать способы решения задач с применением теории множеств, диаграмм Эйлера, показать поэтапное решение прикладных задач, преимущества использования графического способа решения. Все, это вызывает интерес, активизирует память, обеспечивает более эффективное усвоение материала, дает возможность организовать интересную самостоятельную работу, развивает образное мышление и способствует закреплению учебного материала.

Урок проходит в быстром темпе, экономия во времени позволяет выполнить большой объем разнообразной работы: рассмотреть виды множеств, отношения между множествами (не иметь общих элементов, быть подмножеством, быть равными, иметь общие элементы), организовать работу учащихся на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

Данный электронный материал можно использовать и на уроках, и на внеурочных занятиях. Презентация используется учащимися для самостоятельного повторения, закрепления или углубления своих знаний по теме «Теория множеств». Это особенно удобно для учащихся, пропустивших занятия по уважительной причине и желающим ликвидировать пробелы в знаниях.

Использованные источники и литература:

Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2011.

Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. - М.: Наука, 1965.

Q «Дискретная математика» (данный материал может быть полезен также учителям математики при изучении темы в школьном курсе математики). Мультимедиа технологии позволяют работать в индивидуальном темпе, осуществить дифференцированный подход, способствуют закреплению полученных знаний, а также выступают как источник дополнительной информации по предмету. Использование на уроке опорных конспектов – фрагментов рабочих тетрадей для студентов позволяют совершенствовать навыки контроля и самоконтроля, как способ самоорганизации труда и самообразования.

При проведении урока использована презентация, выполненная в программе PowerPoint. Презентация «Множества. Операции над множествами » содержит 40 слайдов, при разработке использованы на отдельных слайдах эффекты анимации, при ознакомлении их назначение вполне понятно. В заключении учебного занятия может быть проведено тестирование. К материалам прилагается тест, разработанный с помощью программной оболочки Айрен.