Оценки интеграла теорема о среднем значении. Определенный интеграл и его свойства
Метод трапеций
Основная статья: Метод трапеций
Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.
Площадь трапеции на каждом отрезке:
Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:
где
Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины :
где
Погрешность формулы трапеций:
где
Метод Симпсона.
Подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степениP(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) – полином).
Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = x i+1 – x i ), то есть три узла x 0 , x 1 , x 2 , через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:
Пусть z = x - x 0
,
тогда
Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:
.
Для равномерной сетки
и четного числа шагов n
формула Симпсона принимает вид:
Здесь , а в предположении непрерывности четвертой производной подынтегральной функции.
[править]Увеличение точности
Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.
Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.
При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.
Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.
Применение правила Рунге
править]Оценка точности вычисления определённого интеграла
Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
, для формул прямоугольников и трапеций , а для формулы Симпсона .
Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов , где n 0 - начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие , где ε - заданная точность.
Особенности поведения погрешности.
Казалось бы, зачем анализировать разные методы интегрирования, если мы можем достичь высокой точности, просто уменьшая величину шага интегрирования. Однако рассмотрим график поведения апостериорной погрешности R результатов численного расчета в зависимост и от числа n разбиений интервала (то есть при шаг . На участке (1) погрешность уменьшается в связи с уменьшением шага h. Но на участке (2) начинает доминировать вычислительная погрешность, накапливающаяся в результате многочисленных арифметических действий. Таким образом, для каждого метода существует своя R min , которая зависит от многих факторов, но прежде всего от априорного значения погрешности метода R .
Уточняющая формула Ромберга.
Метод Ромберга заключается в последовательном уточнении значения интеграла при кратном увеличении числа разбиений. В качестве базовой может быть взята формула трапеций с равномерным шагом h
.
Обозначим интеграл с числом разбиений n
= 1 как .
Уменьшив шаг в два раза, получим .
Если последовательно уменьшать шаг в 2 n раз, получим рекуррентное соотношение для расчета .
Теорема о среднем . Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что. Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда. Числозаключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка, такая что. Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: еслинепрерывна на отрезке , то существует точкатакая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).
7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
Рассмотрим функцию f (x), интегрируемую по Риману на отрезке . Раз она интегрируема на , то она также интегрируема на ∀x ∈ . Тогда при каждом x ∈ имеет смысл выражение , и при каждом x оно равно некоторому числу.
Таким образом, каждому x ∈ поставлено в соответствие некоторое число ,
т.е. на задана функция:
(3.1)
Определение:
Функция F (x), заданная в (3.1), а также само выражение называется
интегралом с переменным верхним пределом. Она определена на всем отрезке
интегрируемости функции f (x).
Условие: f (t) непрерывна на , а функция F (x) задана формулой (3.1).
Утверждение: Функция F(x) дифференцируема на , причем F (x) = f (x).
(В точке a она дифференцируема справа, а в точке b – слева.)
Доказательство:
Поскольку для функции одной переменной F (x) дифференцируемость равносильна существованию производной во всех точках (в точке a справа, а в точке b – слева), то мы найдем производную F (x). Рассмотрим разность
Таким образом,
при этом точка ξ лежит на отрезке (или если ∆x < 0).
Теперь вспомним, что производная функции F(x) в заданной точке x ∈ равна пределу разностного отношения: . Из равенства имеем:
,
Устремляя теперь ∆x → 0, в левой части данного равенства получим F’(x), a в правой
Вспомним определение непрерывности функции f (t) в точке x:
Пусть x1 в этом определении равен ξ. Поскольку ξ ∈ (ξ ∈ ), а
∆x → 0, то |x − ξ| → 0, и по определению непрерывности, f (ξ) → f (x). Отсюда имеем:
F’(x) = f (x).
Следствие:
Условие: f (x) непрерывна на .
Утверждение: Любая первообразная функции f (x) имеет вид
где C ∈ R – некоторая константа.
Доказательство. По теореме 3.1 функция является первообразной для f(x). Предположим, что G(x) – другая первообразная f (x). Тогда G’(x) = f(x) и для функции F(x) − G(x) имеем: (F (x) + G(x))’ = F’(x)−G’(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Значит, производная функции F (x)−G(x)
равна нулю, следовательно, эта функция есть постоянная: F(x) − G(x) = const.
8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
Теорема:
Условие: f(t) непрерывна на , а F(x) ее любая первообразная.
Утверждение:
Доказательство: Рассмотрим некоторую первообразную F (x) функции f (x). По Следствию из Теоремы «О дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом» (см. предыдущий вопрос) она имеет вид . Отсюда
=> c = F (a ) , и
Перенесем F(a) в последнем равенстве в левую часть, переобозначим переменную интегрирования снова через x и получим формулу Ньютона – Лейбница:
Прикладное значение теоремы о среднем заключается в возможности получения качественной оценки значения определенного интеграла без его вычисления. Формулируем : если функция непрерывна на интервале , то внутри этого интервала найдется такая точка , что .
Эта формула вполне пригодна для прикидочной оценки интеграла от сложной или громоздкой функции. Единственным моментом, который делает формулу приближенной , является необходимость самостоятельного выбора точки . Если принять наиболее простой путь - середину интервала интегрирования (как предлагается в ряде учебников), то ошибка может быть весьма значительной. Для получения более точного результата рекомендуем провести расчет в следующей последовательности:
Построить график функции на интервале ;
Провести верхнюю границу прямоугольника таким образом, чтобы отсекаемые части графика функции были примерно равны по площади (именно так показано на вышеприведенном рисунке - два криволинейных треугольника практически одинаковы);
Определить из рисунка ;
Воспользоваться теоремой о среднем.
В качестве примера вычислим простой интеграл :
Точное значение ;
Для середины интервала получим и приближенное значение , т.е. явно неточный результат;
Построив график с проведением верхней стороны прямоугольника в соответствии с рекомендациями, получим , откуда и приближенное значение . Вполне удовлетворительный результат, погрешность составляет 0,75%.
Формула трапеций
Точность расчетов с помощью теоремы о среднем существенно зависит, как было показано, от визуального назначения по графику точки . Действительно, выбрав, в том же примере, точки или , можно получить другие значения интеграла, причем погрешность может и увеличиться. Субъективные факторы, масштаб графика и качество рисования сильно влияют на результат. Это неприемлемо в ответственных расчетах, поэтому теорема о среднем применяется только для быстрой качественной оценки интеграла.
В этом разделе рассмотрим один из самых популярных способов приближенного интегрирования - формулу трапеций . Основная идея построения этой формулы исходит из того, что кривую можно приближенно заменить ломаной линией, как показано на рисунке.
Примем, для определенности (и в соответствии с рисунком), что интервал интегрирования разбит на равные (это необязательно, но очень удобно) части. Длина каждой из этих частей вычисляется по формуле и называется шагом . Абсциссы точек разбиения, если задано , определятся по формуле , где . По известным абсциссам легко вычислить ординаты . Таким образом,
Это и есть формула трапеций для случая . Отметим, что первое слагаемое в скобках является полусуммой начальной и конечной ординат, к которой прибавляются все промежуточные ординаты. Для произвольного числа разбиений интервала интегрирования общая формула трапеций имеет вид:квадратурных формул : прямоугольников, Симпсона, Гаусса и т.д. Они строятся на той же идее представления криволинейной трапеции элементарными площадями различной формы, поэтому, после освоения формулы трапеций, разобраться в аналогичных формулах не составит особого труда. Многие формулы не так просты, как формула трапеций, но позволяют получить результат высокой точности при малом числе разбиений .
С помощью формулы трапеций (или аналогичных) можно вычислять, с нужной на практике точностью, как "неберущиеся" интегралы, так и интегралы от сложных или громоздких функций.