Определитель системы линейных уравнений состоит. Разложение определителя по строке или столбцу. Приведение определителя к треугольному виду
Ответ:.Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Определители
получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
;
.
Формулы Крамера для нахождения неизвестных:
.
Найти значения и возможно только при условии, если
Этот вывод следует из следующей теоремы.
Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2):
9.операции над множествами. диаграммы Вьена.
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.
Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):
Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
11.отображения (функция), область определения, образы множеств при отображении, множество значений функции и её график.
Ответ: Отображением множества E в множество F, или функцией, определенной на E со значениями в F, называется правило, или закон f, который каждому элементу ставит в соответствие определенный элемент .
Элемент называют независимым элементом, или аргументом функции f, элемент называют значением функции f, илиобразом; при этом элемент называется прообразом элемента .
Отображение (функцию) обычно обозначают буквой f или символом , указывая тем самым, что f отображает множество E в F. Употребляется также обозначение , указывающее, что элементу x соответствует элемент f(x). Иногда функцию удобно задавать посредством равенства, в котором содержится закон соответствия. Например, можно говорить, что "функция f определена равенством ". Если "y" - общее наименование элементов множества F, т. е. F = {y}, то отображение записывают в виде равенстваy = f(x) и говорят, что это отображение задано явно.
2. Образ и прообраз множества при заданном отображении
Пусть задано отображение и множество .
Множество элементов из F, каждый из которых является образом хотя бы одного элемента из D при отображении f, называется образоммножества D и обозначается f(D).
Очевидно, .
Пусть теперь задано множество .
Множество элементов таких, что , называется прообразом множества Y при отображении f и обозначается f -1 (Y).
Если , то . Если при каждом множество f -1 (y) состоит не более чем из одного элемента , то f называетсявзаимно однозначным отображением E в F. Впрочем, можно определить взаимно однозначное отображение f множества E на F.
Отображение называется:
Инъективным (или инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества E в F), если , или если уравнение f(x) = y имеет не более одного решения;
Сюръективным (или сюръекцией, или отображением множества E на F), если f(E) = F и если уравнение f(x) = y имеет по крайней мере одно решение;
Биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества E на F), если оно инъективно и сюръективно, или если уравнение f(x) = y имеет одно и только одно решение.
3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное отображения
1) Пусть и . Поскольку , то отображение g каждому элементу относит определенный элемент .
Таким образом, каждому посредством правила поставлен в соответствие элемент
Тем самым определено новое отображение (или новая функция), которое назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, или сложным отображением.
2) Пусть - биективное отображение и F = {y}. В силу биективности f каждому соответствует единичный образ x, который обозначим через f -1 (y), и такой, что f(x) = y. Таким образом, определено отображение , которое называется обратным отображению f, или обратной функцией функции f.
Очевидно, отображение f обратно отображению f -1 . Поэтому отображения f и f -1 называют взаимно обратными. Для них справедливы соотношения
причем хотя бы одно из этих отображений, например , биективно. Тогда существует обратное отображение , а значит, .
Определенное таким образом отображение называется заданным параметрически с помощью отображений ; причем переменная из называется параметром.
4) Пусть на множестве определено отображение , где множество содержит нулевой элемент. Предположим, что существуют множества такие, что при каждом фиксированном уравнение имеет единственное решение . Тогда на множестве E можно определить отображение , ставящее каждому в соответствие то значение , которое при указанном x является решением уравнения .
Относительно так определенного отображения
говорят, что оно задано неявно посредством уравнения .
5) Отображение называется продолжением отображения , а g - сужением отображения f, если и .
Сужение отображения на множество иногда обозначают символом .
6) Графиком отображения называется множество
Ясно, что .
12. монотонные функции. Обратная функция, теорема существования. Функции y=arcsinx y=arcos x х свойства и графики.
Ответ: Моното́нная фу́нкция - это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю то функция называется стро́го моното́нной.
Пусть имеется функция f(x) определенная на отрезке , значения которой принадлежат некоторому отрезку
то говорят, что на отрезке
Обратите внимание на отличие этого определения от определения заполненности отрезка
Обычно, говоря об обратной функции, заменяют х на у а y на x(x «y) и пишут y=f (-1) (x). Очевидно, что исходная функция f(x) и обратная функция f (-1) (x) удовлетворяют соотношению
f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.
Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта.
Теорема. Пусть функция f(x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена обратная функция f (-1) (x), которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).
Доказательство.
Докажем теорему для случая, когда f(x) строго монотонно возрастает.
1. Существование обратной функции.
Так как по условию теоремы f(x) непрерывна, то, согласно предыдущей теореме, отрезок заполнен сплошь. Это означает, что.
Докажем, что х единственно. Действительно, если взять х’>x, то будет f(x’)>f(x)=y и поэтому f(x’)>y. Если взять х’’ 2. Монотонность обратной функции. Сделаем обычную замены x «y и будем писать y= f (-1) (x). Это значит, что x=f(y). Пусть x 1 >x 2 . Тогда: y 1 = f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1) y 2 = f (-1) (x 2); x 2 =f(y 2) Какое же соотношение между y 1 и y 2 ? Проверим возможные варианты. а) y 1 б) y 1 =y 2 ? Но тогда f(y 1)=f(y 2) и x 1 =x 2 , а у нас было x 1 >x 2 . в) Остается единственный вариант y 1 >y 2 , т.е. Но тогда f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), а это и означает, что f (-1) (…) строго монотонно возрастает. 3. Непрерывность обратной функции. Т.к. значения обратной функции заполняют сплошь отрезок , то по предыдущей теоремеf (-1) (…) непрерывна. < <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);"> <="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">
<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> 13.композиция функций. Элементарные функции. Функции y=arctg x , y = arcctg x, их свойства и графики.
Ответ: В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) - это применение одной функции к результату другой. Композиция функций G и F обычно обозначается G∘F, что обозначает применение функции G к результату функции F. Пусть F:X→Y и G:F(X)⊂Y→Z две функции. Тогда их композицией называется функция G∘F:X→Z, определённая равенством: (G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X. Элементарные функции - функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций : Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции. <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> Определителем
второго порядка
и вычисляется по
правилу Числа
называютсяэлементами
определителя
(первый индекс указывает номер строки,
а второй Аналогично вводится
понятие определителя третьего порядка. Определителем
третьего порядка
называется число, которое обозначается
символом и вычисляется по
правилу Диагональ,
образованная элементами
Чтобы запомнить
какие произведения в правой части
равенства (1) берутся со знаком « Можно ввести
понятие определителя 4-го, 5-го и т. д.
порядков. Минором
Алгебраическим
дополнением
некоторого элемента определителя
называется минор этого элемента,
умноженный на . Свойства
определителей.
Величина определителя
не изменится, если его строки поменять
местами со столбцами. Рассмотренная
операция называется транспонированием.
Свойство 1 устанавливает
равноправность строк и столбцов
определителя. Задача 1.
Вычислить определители: Задача 2.
Вычислить определители, разложив их по
элементам первого столбца: 1)
Задача 3.
Найти
из уравнений: 1)
I) Система
двух линейных неоднородных уравнений
с двумя неизвестными
Обозначим основной
определитель системы; ,
а) Если определитель
системы
, б) Если определитель
системы
1)
2) если хотя бы один
из определителей
II) Система
двух линейных однородных уравнений с
тремя переменными
(2) Линейное уравнение
называется однородным
,
если свободный член этого уравнения
равен нулю. а) Если
б) Если условие
III) Система
трёх линейных неоднородных уравнений
с тремя неизвестными:
Составим и вычислим
основной определитель
и вспомогательные определители,. а) Если
, б) Если
1)
2) хотя бы один из
определителей
IV) Система
трёх линейных однородных уравнений с
тремя неизвестными:
Эта система всегда
совместна, так как имеет нулевое решение. а) Если определитель
системы
б) Если же
Задача 4.
Решить систему уравнений Решение.
Вычислим определитель системы Так как
,
, Задача 5.
Решить систему уравнений Решение.
Вычислим определитель системы: Следовательно,
система однородных уравнений имеет
бесконечно много решение, отличных от
нулевого. Решаем систему первых двух
уравнений (третье уравнение является
их следствием): Перенесём переменную
в правую часть равенства: Отсюда по формулам
(1) получаем Задачи для
самостоятельного решения
Задача 6.
Решить с помощью определителей системы
уравнений: 1)
2)
3)
4) 5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
1.1.
Системы двух линейных уравнений и
определители второго порядка
Рассмотрим
систему двух линейных уравнений с двумя
неизвестными: Коэффициенты
при неизвестных
и
имеют два индекса: первый указывает
номер уравнения, второй – номер
переменной. Правило
Крамера:
Решение системы находят
путем деления вспомогательных
определителей на главный определитель
системы
,
Замечание
1.
Использование правила Крамера
возможно, если определитель системы
не равен нулю. Замечание
2.
Формулы Крамера обобщаются и на
системы большего порядка. Пример
1.
Решить систему:
Решение.
;
;
Проверка:
Вывод:
Система решена верно:
Рассмотрим
систему трех линейных уравнений с тремя
неизвестными: Определитель,
составленный из коэффициентов при
неизвестных, называется определителем
системы или главным определителем:
. Если
где
определители
Пример
2.
Решить систему
Сформируем
главный и вспомогательные определители: Осталось
рассмотреть правила вычисления
определителей третьего порядка. Их три:
правило дописывания столбцов, правило
Саррюса, правило разложения. а)
Правило дописывания первых двух столбцов
к основному определителю:
Вычисление
проводятся следующим образом: со своим
знаком идут произведения элементов
главной диагонали и по параллелям к
ней, с обратным знаком берут произведения
элементов побочной диагонали и по
параллелям к ней.
б)
Правило Саррюса:
Со
своим знаком берут произведения элементов
главной диагонали и по параллелям к
ней, причем недостающий третий элемент
берут из противоположного угла. С
обратным знаком берут произведения
элементов побочной диагонали и по
параллелям к ней, третий элемент берут
из противоположного угла.
в)
Правило разложения по элементам строки
или столбца:
Если
Алгебраическое
дополнение
– это определитель более
низкого порядка, получаемый путем
вычеркивания соответствующей строки
и столбца и учитывающий знак
Например,
,
Вычислим
по этому правилу вспомогательные
определители
и
,
раскрывая их по элементам первой строки. Вычислив
все определители, по правилу Крамера
найдем переменные: Проверка:
Вывод:
система решена верно:
. Основные
свойства определителей
Необходимо
помнить, что определитель – это число
,
найденное по некоторым правилам. Его
вычисление может быть упрощено, если
пользоваться основными свойствами,
справедливыми для определителей любого
порядка. Свойство
1.
Значение определителя не изменится
от замены всех его строк соответствующими
по номеру столбцами и наоборот. Операция
замены строк столбцами называется
транспонированием. Из этого свойства
вытекает, что всякое утверждение,
справедливое для строк определителя,
будет справедливым и для его столбцов. Свойство
2.
Если в определителе поменять
местами две строки (столбца), то знак
определителя поменяется на противоположный. Свойство
3.
Если все элементы какой-нибудь
строки определителя равны 0, то определитель
равен 0. Свойство
4.
Если элементы строки определителя
умножить (разделить) на какое-нибудь
число
,
то и значение определителя увеличится
(уменьшится) в
раз. Если
элементы какой-нибудь строки, имеют
общий множитель, то его можно вынести
за знак определителя. Свойство
5.
Если определитель имеет две
одинаковые или пропорциональные строки,
то такой определитель равен 0. Свойство
6.
Если элементы какой-нибудь строки
определителя представляют собой сумму
двух слагаемых, то определитель равен
сумме двух определителей. Свойство
7.
Значение определителя не изменится,
если к элементам какой-нибудь строки
добавить элементы другой строки,
умноженной на одно и то же число. В
этом определителе вначале ко второй
строке прибавили третью, умноженную на
2, затем из третьего столбца вычли второй,
после чего вторую строку прибавили к
первой и третьей, в результате получили
много нулей и упростили подсчет. Элементарными
преобразованиями
определителя
называются упрощения его благодаря
использованию указанных свойств. Пример
1.
Вычислить определитель Непосредственный
подсчет по одному из рассмотренных выше
правил приводит к громоздким вычислениям.
Поэтому целесообразно воспользоваться
свойствами: а)
из І строки вычтем вторую, умноженную
на 2; б)
из ІІ строки вычтем третью, умноженную
на 3. В
результате получаем: Разложим
этот определитель по элементам первого
столбца, содержащего лишь один ненулевой
элемент. . Системы
и определители высших порядков
Систему
линейных уравнений с
неизвестными можно записать в таком
виде: Для
этого случая также можно составить
главный и вспомогательные определители,
а неизвестные определять по правилу
Крамера. Проблема состоит в том, что
определители более высокого порядка
могут быть вычислены только путем
понижения порядка и сведения их к
определителям третьего порядка. Это
может быть осуществлено способом прямого
разложения по элементам строк или
столбцов, а также с помощью предварительных
элементарных преобразований и дальнейшего
разложения. Пример
4.
Вычислить определитель четвертого
порядка Решение
найдем двумя способами: а)
путем прямого разложения по элементам
первой строки: б)
путем предварительных преобразований
и дальнейшего разложения а)
из І строки вычтем ІІІ б)
ІІ строку прибавим к ІV Пример
5.
Вычислить определитель пятого
порядка, получая нули в третьей строке
с помощью четвертого столбца из
первой строки вычтем вторую, из третьей
вычтем вторую, из четвертой вычтем
вторую, умноженную на 2. из
второго столбца вычтем третий:
из
второй строки вычтем третью:
Пример
6.
Решить систему: Решение.
Составим определитель системы и, применив
свойства определителей, вычислим его: (из
первой строки вычтем третью, а затем в
полученном определителе третьего
порядка из третьего столбца вычитаем
первый, умноженный на 2). Определитель
Вычислим
остальные определители: Четвертый
столбец умножили на 2 и вычли из остальных Четвертый
столбец вычли из первого, а затем, умножив
на 2, вычли из второго и третьего столбцов. . Здесь
выполнили те же преобразования, что и
для
При
нахождении
первый столбец умножили на 2 и вычли из
остальных. По
правилу Крамера имеем: После
подстановки в уравнения найденных
значений убеждаемся в правильности
решения системы. 2.
МАТРИЦЫ и
ИХ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В
РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А
или В
.В общем виде матрицу размером m
×n
записывают так . Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы
. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a
ij
: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a
23
– элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной
, причём число ее строк или столбцов называется порядком
матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной
. В примерах это первая матрица и третья.Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой
(или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом
.Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой
и обозначается (0), или просто 0. Например, . Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной
матрицей. . Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной
матрицей. Например, или .Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной
матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Равенство матриц
. Две матрицы A
и B
называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a
ij
= b
ij
. Так если и , то A=B
, если a
11
= b
11
, a
12
= b
12
, a
21
= b
21
и a
22
= b
22
.Транспонирование
. Рассмотрим произвольную матрицу A
из m
строк и n
столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B
из n
строк и m
столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A
с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A
с тем же номером). Итак, если , то .Эту матрицу B
называют транспонированной
матрицей A
, а переход от A
к B транспонированием
.Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A
, обычно обозначают A
T
.Связь между матрицей A
и её транспонированной можно записать в виде .Например.
Найти матрицу транспонированную данной. Сложение матриц.
Пусть матрицы A
и B
состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры
. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A
и B
нужно к элементам матрицы A
прибавить элементы матрицы B
, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A
и B
называется матрица C
, которая определяется по правилу, например, Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C
) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c
13
, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a
ij
)
размера m
×n
на матрицу B = (b
ij
)
размера n
×p
, то получим матрицу C
размера m
×p
, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c
ij
получается в результате произведения элементов i
-ой строки матрицы A
на соответствующие элементы j
-го столбца матрицы B
и их сложения.Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно, . . Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.Определителем третьего порядка
, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом: . Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a
11
, a
12
, a
13
и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.Примеры.
Вычислить определитель третьего порядка. Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно. Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A
| = –|A
| или |A
| = 0. Доказательство
проводится проверкой, как и свойство 1. (Самостоятельно) . Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:.Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки. . Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c
22
= c
33
= 1. Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C
равны нулю. Например, , где A
ij
- алгебраические дополнения элементов a
ij
данной матрицы A
.Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно: Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .Примеры.
|A
| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A
. Проверка: . Аналогично A∙A
-1
= E
. . Вычислим |A
| = 4. Тогда . . где a
ij
и b
i
(i
=1,…,m
; b
=1,…,n
) – некоторые известные числа, а x
1
,…,x
n
– неизвестные. В обозначении коэффициентов a
ij
первый индекс i
обозначает номер уравнения, а второй j
– номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы
.Числа, стоящие в правых частях уравнений, b
1
,…,b
m
называются свободными членами.
Совокупность n
чисел c
1
,…,c
n
называется решением
данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c
1
,…,c
n
вместо соответствующих неизвестных x
1
,…,x
n
.Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации: Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной
. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной
.Рассмотрим способы нахождения решений системы.МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными: Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Найдем произведение т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в видеили короче A
∙X=B
.Здесь матрицы A
и B
известны, а матрица X
неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением
.Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A
| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A
-1
, обратную матрице A
: . Поскольку A
-1
A = E
и E
∙X = X
, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A
-1
B
.Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных
. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A
не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A
-1
B
.Примеры.
Решить системы уравнений. Найдем матрицу обратную матрице A
. , Таким образом, x
= 3, y
= – 1. Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы
.Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов Тогда можно доказать следующий результат.Теорема (правило Крамера).
Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём Сложим эти уравнения: Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца Аналогично можно показать, что и .Наконец несложно заметить, что Таким образом, получаем равенство: .Следовательно, .Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.Примеры.
Решить систему уравнений . y = arcsin x
y = arccos x
функция обратная функции y = sin x, - / 2 x / 2
функция обратная функции y = cos x, 0 x
y = arctg x
y = arcctg x
функция обратная функции y = tg x, - / 2 < x < / 2
функция обратная функции y = ctg x, 0 < x <
y > 0 при x R
ЭКСТРЕМУМЫ:
нет
нет
ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
возрастает при x R
убывает при x R
номер
столбца, на пересечении которых стоит
этот элемент); диагональ, образованная
элементами
,
,
называетсяглавной
,
элементами
,
побочной
.
,
,
,
называетсяглавной
,
элементами
,
,
побочной
.
»,
а какие со знаком «
», полезно использовать следующее
«правило треугольников»:
некоторого элемента определителя
называется определитель, образованный
из данного вычёркиванием строки и
столбца, на пересечении которых находится
этот элемент.
,
где
номер
строки,
номер
столбца, на пересечении которых находится
этот элемент:1) 2)3)4).
2)
2)1.2. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера
вспомогательные
определители.
.
(1)
,
то возможны случаи:
(уравнения пропорциональны), тогда
система содержит только одно уравнение,
например,
и имеет бесконечно много решений
(неопределённая система). Для её решения
необходимо выразить одну переменную
через другую, значение которой выбирается
произвольно;
отличен от нуля, то система не имеет
решений (несовместная система).
,
то система (2) сводится к одному уравнению
(например, первому), из которого одно
неизвестное выражается через два других,
значения которых выбираются произвольно.
не выполнено, то для решения системы
(2) перенесем одну переменную вправо и
решим систему двух линейных неоднородных
уравнений с использованием формул
Крамера (1).
,
то система имеет единственное решение,
которое находится по формулам Крамера:
,
(3)
,
то возможны случаи:
,
тогда система будет иметь бесконечно
много решений, она будет сводиться либо
к системе состоящей из одного, либо из
двух уравнений (одну неизвестную
перенесём направо и решим систему двух
уравнений с двумя неизвестными);
отличен от нуля, система не имеет решения.
,
то она имеет единственное нулевое
решение.
,
то система сводится либо к двум уравнениям
(третье является их следствием), либо к
одному уравнению (остальные два являются
его следствием) и имеет бесконечно много
решений (см. п.II).
,
то система имеет единственное решение.
Воспользуемся формулами Крамера (3). Для
этого вычислим вспомогательные
определители:
,
,
,
.
.
;
.1.2. Системы трех линейных уравнений и определители третьего порядка
то система имеет единственное решение,
которое определяется по формулам
Крамера:
– называются вспомогательными и
получаются из определителя
путем замены его первого, второго или
третьего столбца столбцом свободных
членов системы.
.
,
тогда
.
,
где– номер строки,– номер столбца.
,
и т.д.
,
следовательно, формулы Крамера применимы.
.
.
Главная > Документ
Решение системы линейных уравнений
— это такое множество чисел {x 1 , x 2 , …, x n
}, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
где a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n
— коэффициенты системы;
b i , i = 1, …, m
— свободные члены;
x j , j = 1, …, n
— неизвестные.
Вышеприведенная система может быть записана в матричном виде: A · X = B
,
где (A
|B
) — основная матрица системы;
A
— расширенная матрица системы;
X
— столбец неизвестных;
B
— столбец свободных членов.
Если матрица B
не является нуль-матрицей ∅, то данная система линейных уравнений называется неоднородной.
Если матрица B
= ∅, то данная система линейных уравнений называется однородной. Однородная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0
.
Совместная система линейных уравнений
— это имеющая решение система линейных уравнений.
Несовместная система линейных уравнений
— это не имеющая решение система линейных уравнений.
Определённая система линейных уравнений
— это имеющая единственное решение система линейных уравнений.
Неопределённая система линейных уравнений
— это имеющая бесконечное множество решений система линейных уравнений.
Если число неизвестных равно числу уравнений, то матрица – квадратная. Определитель матрицы называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Δ.
Метод Крамера
для решения систем n
линейных уравнений с n
неизвестными.
Правило Крамера.
Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
где Δ i — определители, получаемые из главного определителя системы Δ заменой i
-го столбца на столбец свободных членов. .
Теорема Кронекера−Капелли
.
Для того чтобы данная система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang(Α|B)
.
Если rang(Α) ≠ rang(Α|B)
, то система заведомо не имеет решений.
Eсли rang(Α) = rang(Α|B)
, то возможны два случая:
1) rang(Α) = n
(числу неизвестных) − решение единственно и может быть получено по формулам Крамера;
2) rang(Α) < n
− решений бесконечно много.
Составим расширенную матрицу (A
|B
) данной системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей.
Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы (A
|B
) с помощью элементарных преобразований над ее строками к диагональному виду (к верхнему треугольному виду). Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:
1) перемена местами двух строк;
2) умножение строки на число, отличное от 0;
3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;
4) выбрасывание нулевой строки.
Расширенной матрице, приведенной к диагональному виду, соответствует линейная система, эквивалентная данной, решение которой не вызывает затруднений. .
Однородная система имеет вид:
ей соответствует матричное уравнение A · X = 0
.
1) Однородная система всегда совместна, так как r(A) = r(A|B)
, всегда существует нулевое решение (0, 0, …, 0).
2) Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) < n
, что равносильно Δ = 0.
3) Если r < n
, то заведомо Δ = 0, тогда возникают свободные неизвестные c 1 , c 2 , …, c n-r
, система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
4) Общее решение X
при r < n
может быть записано в матричном виде следующим образом:
X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r
,
где решения X 1 , X 2 , …, X n-r
образуют фундаментальную систему решений.
5) Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы:
,
если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
Разложение общего решения по фундаментальной системе решений
— это запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе.
Теорема
. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.
Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
Теорема
. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n
.
Доказательство
:
1) r
не может быть больше n
(ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк);
2) r < n
, т.к. если r = n
, то главный определитель системы Δ ≠ 0, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x 1 = x 2 = … = x n = 0
, что противоречит условию. Значит, r(A) < n
.
Следствие
. Для того чтобы однородная система n
линейных уравнений с n
неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ
Матрицей размером m
×n
называется совокупность m·n
чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m
строк и n
столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид: Найти произведение матриц.
.
Найти АВ
и ВА
. Найти АВ
и ВА
. , B·A
– не имеет смысла.Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B
≠
B∙A
. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC)
и (A+B)C=AC+BC
.Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A
на единичную матрицу E
того же порядка вновь получим матрицу A
, причём AE=EA=A
.Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.Например
, если , то
. (x
+3)(4x
-4-3x
)+4(3x
-4x
+4)=0. (x
+3)(x
-4)+4(-x
+4)=0. (x
-4)(x
-1)=0. x
1
= 4, x
2
= 1.Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Доказательство
проводится проверкой, т.е. сравнением обеих частей записанного равенства. Вычислим определители, стоящие слева и справа: При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е., например,
Доказательство
проводится аналогично доказательству свойства 1 сравнением обеих частей. Проведём его для определителя второго порядка. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. (Доказательство – проверкой). Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,
Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины. Например,
. Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя.
Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении определителей и в различных задачах.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ
Пусть имеем определитель третьего порядка: .Минором
, соответствующим данному элементу a
ij
определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i
-ой строки и j
-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a
ij
будем обозначать M
ij
.Например
, минором M
12
, соответствующим элементу a
12
, будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a
12
, берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что
Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.Введём ещё одно понятие.Алгебраическим дополнением
элемента a
ij
определителя называется его минор M
ij
, умноженный на (–1) i+j .Алгебраическое дополнение элемента a
ij
обозначается A
ij
.Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A
ij
= (–1) i+j M
ij
.
Например, Пример.
Дан определитель . Найти A
13
, A
21
, A
32
.
Отсюда т.к. определители второго порядка в формуле (2) есть миноры элементов a
21
, a
22
, a
23
. Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки.Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.Таким образом, справедлива следующая теорема.Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.Примеры.
Вычислить определитель, используя его свойства. Прежде чем раскладывать определитель по элементам какой–либо строки, сводя к определителям третьего порядка, преобразуем его, используя свойство 7, сделав в какой–либо строке или столбце все элементы, кроме одного, равными нулю. В данном случае удобно рассмотреть 4-й столбец или 4-ю строку:
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц
.Если A
– квадратная матрица, то обратной
для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A
-1
и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)Справедлива следующая теорема:Теорема.
Для того чтобы квадратная матрица A
имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.Доказательство
: Необходимость
. Пусть для матрицы A
существует обратная матрица A
-1
. Покажем, что |A
| ≠ 0.
Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей . Предположим, что |A
| = 0. Тогда . Но с другой стороны . Полученное противоречие и доказывает, что |A
| ≠ 0. Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица , где A
ij
алгебраическое дополнение элемента a
ij
. Найдём AB=C
. Заметим, что все диагональные элементы матрицы C
будут равны 1. Действительно, например,
Следовательно, AB=E
. Аналогично можно показать, что BA=E
. Поэтому B = A
-1
.Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системой m линейных уравнений с n неизвестными
называется система вида
Итак, х
1 =4,х
2 =3,х
3 =5. Выразим искомую матрицу X
из заданного уравнения. Найдем матрицу А
-1 . Проверка: Из уравнения получаем . Следовательно,ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Итак, х
=1, у
=2, z
=3. Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0. . Поэтому . МЕТОД ГАУССА
Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: