Основные формулы комбинаторики размещение сочетание перестановка. Комбинаторика: основные правила и формулы. Перестановки и теория вероятностей

Комбинаторика - раздел математики. Основные понятия и формулы комбинаторики как науки применяются во всех сферах жизни.

Неудивительно, что она включена в программу 11 класса, а также во вступительные испытания во многих ВУЗах РФ. Ее основы лежат в прикладном искусстве многих сфер деятельности человека.

Ее история насчитывает более 6 веков. Первые комбинаторные задачи появились в трудах философов и математиков Средневековья.

Представители того научного мира пытались найти методы решения таких задач, их базовые правила и понятия, утвердить уникальные формулы и уравнения для тех, кто ещё не встречался с ними. Такая информация в наше время называется информацией «для чайников».

Попытаемся разобраться в аспектах этой области науки: каковы элементы, свойства, правила, методы и основное ее применение в нашей жизни? Конечно, всю область в одной статье невозможно охватить. Поэтому ниже будет представлено всё самое основное.

Что такое комбинаторика в математике

Суть этого термина дают книги прошлых лет: это раздел математики, занимающийся операциями со множеством элементов.

В интернете есть учебники по информатике и математике для детей, школьников, сборники материалов и задач для начинающих, где в доступном виде объяснена «занимательная» комбинаторика. Нужно твердо выяснить, как решать подобные задачи.

В младших классах задачи на эту тему решают на дополнительных кружках, а в школах с углубленным изучением математики — на основных уроках. К тому же, задачи по комбинаторике включены в олимпиады всех уровней.

Основные понятия

Их несколько:

1. Элемент – любой объект или явление, входящий в искомое множество.
2. Сочетание – подмножества, находящиеся в произвольном порядке в исходном множестве.
3. Перестановка – элементы во множестве находятся в строго определенном порядке.
4. Размещение – упорядоченные подмножества в исходном множестве.

Правило произведения

Является одним из основных правил при решении таких задач и звучит так:

При выборе элемента А из n способов и выборе элемента В из m способов верно утверждение, что выбрать пару А и В одновременно можно n * m способами.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Задача №1.

В коробке лежит 2 мяча и 6 скакалок. Сколько существует способов достать 1 мяч и 1 скакалку?

Ответ прост: 2 * 6 = 12.

Задача №2.

Есть 1 кубик, 2 шарика, 3 цветка и 4 конфеты. Сколькими способами можно вытянуть кубик, шарик, цветок и конфету?

Решение аналогично: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Причем левую часть можно записать гораздо проще: 4!

! в данном случае является не знаком препинания, а факториалом. С помощью него можно вычислить более сложные варианты и решать трудные задачи (существуют разные формулы, но об этом позже).

Задача №3.

Сколько двузначных чисел можно составить из 2 цифр?

Ответ: 2! = 2.

Задача №4.

Сколько десятизначных чисел можно составить из 10 цифр?

Правило суммы

Тоже является базовым правилом комбинаторики.

Если А можно выбрать n раз, а В - m раз, то А или В можно выбрать (n + m ) раз.

Задача №5.

В коробке лежат 5 красных, 3 желтых, 7 зеленых, 9 черных карандашей. Сколько есть способов вытащить 1 любой карандаш?

Ответ: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Сочетания с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают комбинации в произвольном порядке из множества n по m элементов.

Число сочетаний равно количеству таких комбинаций.

Задача №6.

В коробке находится 4 разных фрукта. Сколькими способами можно достать одновременно 2 разных фрукта?

Решение простое:

Где 4! – комбинация из 4 элементов.

С повторениями чуть сложней, комбинации считаются по такой формуле:

Задача №7.

Возьмем тот же самый случай, но при условии, что один фрукт возвращается в коробку.

В этом случае:

Размещения с повторениями и без повторений

Под этим определением понимают набор m элементов из множества n элементов.

Задача №8.

Из 3 цифр надо выбрать 2, чтобы получались разные двузначные числа. Сколько вариантов?

Ответ прост:

А как же быть с повторениями? Здесь каждый элемент может размещаться несколько раз! В таком случае общая формула будет выглядеть следующим образом:

Задача №9.

Из 12 букв латинского алфавита и 10 цифр натурального ряда надо найти все варианты составления автомобильного кода региона.

Перестановки с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают все возможные комбинации из n элементного множества.

Задача №10.

Сколько возможных пятизначных чисел можно составить из 5цифр? А шестизначных из 6 цифр? Семизначных из 7 цифр?

Решения, согласно вышеприведенной формуле, следующие:

А как же быть с повторениями? Если в таком множестве есть одинаковые по своей значимости элементы, то перестановок будет меньше!

Задача №11.

В коробке есть 3 одинаковых карандаша и одна ручка. Сколько перестановок можно сделать?

Ответ прост: 4! / (3! * 1!) = 4.

Комбинаторные задачи с решениями

Примеры всех возможных типов задач с решениями были даны выше. Здесь попробуем разобраться с более сложными случаями, встречающимися в нашей жизни.

Типы задач	Что требуется найти	Методы решения
Магический квадрат	Фигура, в которой сумма чисел в рядах и столбцах должна быть одинакова (его разновидность – латинский квадрат).	Рекуррентные соотношения. Решается подобная же задача, но с гораздо меньшим множеством элементов по известным правилам и формулам.
Задача размещения	Стандартная производственная задача (например, в лоскутной технике) — найти возможные способы разложения количества продуктов в ячейки в определенном порядке.	Включения и исключения. Как правило, применяется при доказательстве различных выражений.
Задачи про торговцев	Суть — найти все возможные пути прохождения людей из пункта А в пункт В.	Траектории. Для этого вида задач характерно геометрическое построение возможных способов решения.

Заключение

Стоит изучать эту науку, поскольку в век быстрой модернизации технологий потребуются специалисты, способные предоставить различные решения тех или иных практических задач.

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая - из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =...n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Большинство формул комбинаторики используют понятие факториала. Термин «факториал» произошел от латинского слова factor («производящий») и обозначает созвучное действие - произведение.

Определение 5.1. Произведение п первых последовательных натуральных чисел называется п-факториал.

Обозначение: п.

Единственная формула для вычисления факториалов, которая будет использоваться, выражает определение факториалов:

Например: 4! = 1 2 3 4 = 24.

Особо оговариваются частные случаи значения факториала: 0! = 1 и 1! = 1.

Многие творчески настроенные студенты пытаются использовать собственные формулы для вычисления факториала, что приводит к ошибкам. Стоит напомнить, что факториал разности не равен разности факториалов и, соответственно, сначала следует выполнять действие в скобках, а потом от результата брать факториалы.

Например: (3 - 2)! = 1! = 1. Ошибочно выполнять действия в ином порядке: 3! - 2! = 1 - 2*3-1-2 = 6- 2 = 4. Как видим 4 Ф 1 и, соответственно, (3 - 2)! Ф 3! - 2!.

Сокращать факториалы в дробном выражении можно, но тоже осторожно.

Если надо поделить факториал большого числа на факториал другого большого числа, то выгодно расписать произведение натуральных чисел в укороченном виде. Для этого надо понимать, что факториал является просто другой короткой формой записи особого произведения. А одну форму записи можно заменить на другую, где бы она ни встречалась. Например:

По основному, всеми любимому свойству дроби одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сокращать, в каком бы виде они ни выражались, в том числе и через факториалы. Зная, что внутри любого произведения п первых последовательных натуральных чисел будет содержаться более короткий ряд сомножителей, на который предстоит поделить, сократив одинаковые множители, можно сразу записывать только оставшийся «хвостик» произведения, причем уже без знаков факториала.

Уже не ошибки, но трудности возникают иногда, когда приходится оперировать буквенными выражениями с факториалами. В связи с этим стоит осмыслить следующий факт. Каждый сомножитель в записи значения факториалов отличается от предыдущего на единицу. Поэтому число, стоящее в таком произведении перед множителем п, имеет вид (п - 1), а перед ним стоит число вида (п - 2). Значит, при необходимости п можно записать, например, в таком виде: п = 1 2 3 ... (п - 2) (п - 1) п = (п - 2)! (п - 1) п.

Дальнейший текст надо прочесть и разобраться в приведенных обоснованиях, но запоминать их необязательно. Для людей, не занимающихся математикой, а только нуждающихся в использовании ее результатов для обработки информации в своей области знаний, будет предложен способ систематизации основных понятий и формул комбинаторики, а также поиска нужной математической модели для решения комбинаторной задачи. Однако без понимания сути комбинирования разных видов труднее будет пользоваться схемой поиска решения комбинаторных задач.

Не приводя строгих доказательств, посмотрим, как можно подметить закономерности при подсчете количества комбинаций разных видов. Комбинировать элементы исходного множества можно двумя принципиально отличными способами: используя в каждой комбинации только различные элементы или допуская повторение одних и тех же элементов в комбинации. В первом случае, выбрав из множества в подмножество элемент, повторно его уже использовать нельзя, так как он уже удален из исходного множества. При втором способе выбора допускается, что один и тот же элемент может быть использован несколько раз. Сначала напомним первый способ составления комбинаций, не допускающий повторения одних и тех же элементов в одной комбинации.

Пример 5.5

В семье четыре ребенка: Аия, Боря, Ваня, Галя. Они постоянно спорят между собой за лучшее место в машине, в кино, за столом. Родители, устав от разборок, постановили, что каждый следующий раз дети садятся по-разному. Через сколько раз придется повторить рассадку?

Решение

Пока детей было двое, то возможны были только две комбинации: А - Б, Б - А.

Когда подрос Ваня, его можно было разместить на трех местах но отношению к каждой из этих комбинаций: по бокам и между старшими детьми.

Для комбинации А - Б возможны три варианта: В - А - Б, А - Б - В, А-В - Б, и для комбинации Б - Л есть еще три варианта: В - Б - Л, Б - Л - В, Б - В - Л.

Всего два раза по три новые комбинации, что соответствует действию умножения 2 3.

Когда детей стало четыре, то по отношению к каждой из предыдущих (2 *3) = = 6 комбинаций четвертого ребенка можно было опять-таки разместить по бокам или на одном из двух мест между старшими тремя детьми, т.е. на одном из четырех мест. Например, для комбинации В - А - Б получится четыре новые комбинации:

Таким образом, вместо каждой из предыдущих (2 3) комбинаций получится четыре новые комбинации. Всего надо взять (2 - 3) раз по 4, что соответствует действию умножения: (2 3) 4, или можно записать 1 *2-3*4 = 4!.

Ответ : 24 раза.

Если же в описанной в примере семье появится пятый ребенок, то его можно уже будет посадить на одно из пяти мест: два но бокам и на три пропуска между старшими детьми, т.е. получится (1 *2*3* 4) *5 = 5! комбинаций и т.д.

В приведенном примере шла речь о том, как по-разному можно расположить п элементов, и получили ответ - п комбинаций. Такие комбинации называются перестановками.

Определение 5.2. Множества, отличающиеся от исходного множества порядком расположения его элементов, называются перестановками.

Обозначение: Р п.

Утверждение 5.1. Число перестановок определяется по формуле Р п = п.

Теперь, после обоснования подсчета числа перестановок, естественно принять, что 0! = 1 и 1! = 1, поскольку одноэлементное и пустое множество можно представить (упорядочивай, не упорядочивай) только в одном виде.

Определение 5.3. Упорядоченные m-элементные подмножества данного множества из п элементов называются размещениями из п элементов по т.

Обозначение: А™, где п > т.

Чтобы обосновать выведение формулы для подсчета числа размещений, рассмотрим следующий пример.

Пример 5.6

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6, если цифры в записи числа не могут повторяться?

Решение

В данной задаче речь идет о подсчете количества упорядоченных трехэлементных подмножеств множества из шести элементов, т.е. о числе размещений.

На первое место в числе можно поставить любую из шести доступных цифр, при этом пустыми останутся два разряда в записи числа. Претендентами на вторые места в каждом из шести случаев будут уже не 6, а 5 оставшихся цифр. В каждом из шести случаев это будут, конечно, разные цифры, но нам не важно, какие именно цифры. В комбинаторике достаточно учитывать количество доступных для выбора элементов. В результате, приставив к каждой из первых шести цифр по одной из оставшихся пяти цифр, получим уже 6 раз по 5 наборов цифр, т.е. (6 5) наборов. В каждом из этих (6-5) наборов осталось одно неиспользованное место, на которое можно поставить по одной из оставшихся четырех цифр. Получится (6 5) раз но 4 варианта, т.е. (6-5-4) комбинаций.

Ответ : 120 чисел.

Легко заметить, что при такой процедуре в ответе получается произведение чисел, уменьшающихся на единицу. В общем случае при выборе из п элементов это произведение выглядит так: п (п - 1) (п - 2) ... . Таких сомножителей должно быть т , по числу мест в каждой комбинации. Последний сомножитель в общем виде представить сложнее, но достаточно внимательно проанализировать полученное произведение. В каждом сомножителе вычитаемое на единицу больше, чем в предыдущем множителе. Поскольку начинается произведение фактически с вычитания нуля, а всего в произведении т разностей, то последнее уменьшаемое равно (т - 1). Так, обработав информацию при помощи нахождения сходств и различий в полученных выражениях, можно получить общий ответ о числе комбинаций при данной выборке: п (п - 1) ... [п - (т - 1)].

Утверждение 5.2. Число размещений определяется по формулам

Обоснование. В первой формуле расписаны «почти 77!», но без первых сомножителей из (77-777)!. Во второй формуле из факториала убраны первые сомножители из (77-777)! при помощи деления.

Замечание. Л" = Р п, если 77 = 777.

Если не повторять каждый раз все рассуждения, а пользоваться готовой формулой (5.1), то решение примера 5.6 выглядит так: число элементов в исходном множестве п = 6, /7? = 3, упорядоченность записи элементов в подмножестве - важна. Тогда

Рассмотрим другую, но очень похожую задачу: сколько различных произведений из трех различных множителей можно составить, взяв в качестве множителей числа 1, 2, 3, 4, 5, 7?

Отличие в процедуре составления данных комбинаций состоит в том, что не надо учитывать порядок расположения элементов в подмножествах, так как от перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Подобные комбинации называются сочетаниями.

Определение 5.4. Неупорядоченное т/7-элементное подмножество данного множества из п элементов называется сочетанием из п элементов

ПО 777.

Обозначение: С" 7 , где п > т.

Утверждение 5.3. Число сочетаний определяется по формуле

Обоснование. Неупорядоченных подмножеств из т элементов будет меньше, чем упорядоченных т -элементных подмножеств того же множества, во столько раз, сколько существует перестановок внутри каждого набора из т зафиксированных элементов. Уменьшение в несколько раз соответствует действию деления, поэтому

Довольно долго и достаточно подробно мы рассматривали три вида комбинаций первого, бесповторного способа их составления. Чтобы использовать эту информацию, необходимо представить ее в компактном виде. Для этого еще раз используем такой способ обработки информации, как нахождение сходств и различий в трех определениях и табличный способ представления информации. Такой анализ информации позволит выделить три параметра, определяющих подсчет количества комбинаций без повторов: число элементов в исходном множестве п, число элементов в подмножестве т , наличие упорядоченности в подмножествах. Отличия в составлении комбинаций наблюдается по двум вопросам:

• наличие совпадения числа элементов в множестве и числа элементов в подмножестве;
• отличие подмножеств друг от друга по порядку записи элементов.

Теперь можно организовать выбор математической модели - формулы - для подсчета числа комбинаций в виде таблицы (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Выбор формул для подсчета комбинаций без повторений

В этой таблице явно не хватает сочетания ответов «да - нет»: количество элементов в исходном множестве и в составляемом подмножестве совпадает и не надо учитывать порядок записи элементов в подмножестве. На прямой вопрос о количестве способов выбора пяти юношей из пяти имеющихся юношей в группе без учета порядка все отвечают правильно: 1, но очень часто встречаются ошибки при поверхностном формальном использовании таблицы.

Есть еще одна проблема, связанная с использованием таблицы: трудность определения необходимости упорядоченности подмножеств. Первоначально не осознавая важности этого вопроса и не уделяя ему должного внимания, в дальнейшем многие студенты делают ошибки, причины которых связаны именно с определением наличия упорядоченности в составляемых комбинациях. На материале комбинаторики проявляется мотив изучения этого свойства множеств, его роль. В силу его важности необходима актуализация знаний об упорядоченных множествах именно на этом этапе.

Нумерованная упорядоченность вызывает меньше трудностей в ее определении. Например, очередь из бабушек, у которых на ладошке записан номер их в очереди, чтобы, отойдя подышать воздухом, отдохнуть на скамеечке, они не перепутали свою очередь, выстроившись перед заветной целью в установленном порядке. Иерархическая упорядоченность вызывает большие затруднения. Если в тексте определены разные должности или функции для выбираемых элементов, то таким образом устанавливается требование упорядоченности для составляемых в сюжете комбинаций.

Помогают смягчить трудности в определении иерархической упорядоченности ролевые игры. Они опять-таки реализуют прием представления себя участником описываемых событий. Например, здесь стоит вспомнить организацию классных часов, а именно, школьного самоуправления, которым придется заниматься будущим учителям.

Представляем, как ведущий классного часа предлагает выбрать старосту класса, ответственного за дежурство по школе, за стенгазету, за организацию турпоходов, за культурную программу, подготовку всевозможных предметных недель и записывает на доске много всяких должностей, чтобы заинтересовать учащихся выбором наиболее адекватной должности, подавив позицию «лишь бы не меня». После опубликования должностей ведущий начинает собирать предложения, учитывает самоотводы и переходы на более предпочтительные должности. В результате на доске может оказаться несколько столбцов - списков фамилий, некоторые из которых будут отличаться не самими фамилиями, а лишь порядком их записи в соответствующем столбце. Далее начинается голосование, которое может собрать разное количество голосов под списками актива класса, отличающимися друг от друга только по порядку записи одних и тех же фамилий, но на разные должности. Разное количество голосов убеждает, что это были разные выборки, разные комбинации, пусть и из одинаковых фамилий, но по-разному упорядоченных. В связи с этим лучше ставить вопрос об упорядоченности подмножеств в алгоритме решения комбинаторных задач в следующей форме: «Могут ли отличаться подмножества друг от друга не только по содержанию, но и по порядку записи элементов?»

Определение требования упорядоченности подмножеств смущает студентов или, наоборот, преждевременно радует еще и тогда, когда в тексте фигурирует слово «порядок». Например, учитель берет коробку, в которой лежат пятнадцать карточек с буквами. Он достает из коробки по четыре карточки и раскладывает их ряд в алфавитном порядке. Требуется ли в данном сюжете упорядоченность выбираемых подмножеств? Обычно обязательно среди ответов присутствует радостное «Да!». Написано же, что есть алфавитный порядок в выбираемых четверках. Здесь выручает приведенная формулировка вопроса об упорядоченности. Среди выбранных четверок не будет наборов из одинаковых букв, но расположенных в разном порядке. Значит, подмножества не будут отличаться друг от друга по порядку записи элементов в них. Наборов будет столько же, сколько было бы, если бы их не выкладывали в ряд, а раскладывали бы по мешочкам, внутри которых между элементами порядка не будет. Такое количественное осмысление вопроса об упорядоченности элементов в комбинациях очень важно для комбинаторики.

При овладении умением определять упорядоченность составляемых комбинаций эффективна бывает организация обсуждения следующего вопроса: «Упорядоченных или неупорядоченных подмножеств получится больше, если выбирать парочки из студентов, сидящих на занятии?» Прежде всего и всегда присутствуют неправильные ответы. Только понимание того, что на каждую неупорядоченную парочку придутся две упорядоченные пары, отличающиеся друг от друга только порядком записи фамилий, приводит к оптимистичному убеждению: «Упорядоченных больше».

Пример 5.7

Из десяти студентов нужно выбрать троих для работы в приемной комиссии с абитуриентами. Сколько комбинаций надо рассмотреть, чтобы сделать полный перебор вариантов?

Решение

Этап 1. Краткая словесная (вербальная) обработка: например, «выбрать три студента из десяти студентов».

Этап 2. Полная запись условия на языке математических символов.

Для реализации этого этапа работы над комбинаторной задачей необходимо знание символики комбинаторики и умение определять наличие такого свойства множеств, как их упорядоченность. Поэтому предлагается следующая заготовка для символьной обработки текста с целью решения комбинаторных задач.

Дано: п =...; т =...;

порядок: да /нет.

Для примера 5.8 эта заготовка заполнится следующим образом:

Дано: п = 10; т = 3;

порядок: нет.

На основе этой заготовки и табл. 5.2 выбор необходимой для решения задачи математической модели выполняется легко.

Поскольку в данном условии число элементов в множестве и подмножестве нс равны (/? Ф т ), то на два вопроса таблицы ответы: «нет - нет». В соответствующей строке таблицы находится формула для подсчета числа сочетаний из п элементов по т. Таким образом, запись решения задачи в целом будет выглядеть так:

«Выбрать три студента из десяти студентов».

Дано: п - 10; т = 3;

порядок: нет.

Ответ: 120 комбинаций надо рассмотреть, чтобы сделать полный перебор вариантов.

Для более продвинутых пользователей табл. 5.2 можно расширить, добавив еще один параметр - повторное использование элементов в подмножестве (табл. 5.3).

Таблица 53

Выбор формул для подсчета всех возможных комбинаций

Комбинации		Подмножества могут отличаться но порядку элементов?	Возможно повторное использование элементов в подмножествах?
Перестановки				Р п = п
Размещения				а;:,=
Сочетания				ш (п-т)т!
Размещения с повторениями				А„ = и""
Сочетания с повторениями				W _ (//2-1-/7-1)! " ~т!-(л- 1)!
Перестановки с повторениями			k Jповторов 1- го элемента, k 2 повторов 2- го элемента, k n повторов /7-го элемента.	Pn(k t,&2,= п V- k 2 ! *„!

Принцип выбора математической модели по табл. 5.3 аналогичен показанному в примере 5.7. Некоторые затруднения могут возникнуть с конкретизацией формулы для подсчета числа перестановок с повторениями. Поэтому рассмотрим подробнее пример ее использования.

Пример 5.8

Дети любят играть в игры со словами, в частности составлять слова из букв загаданного слова. Выигрывает тот, кто составит больше слов с наибольшим количеством букв. Для простоты предположим, что загадано слово «гагара». Чтобы не упустить выгодные длинные варианты, посчитаем, сколько шестибуквенных комбинаций из букв слова «гагара» в принципе можно составить.

Решение

Этап 1: «Выбрать шесть букв из шести букв».

Дано: п = 6; т = 6;

порядок: да;

повтор: да, к а = 3, к г = 2, k ? = 1

Поскольку на три вопроса таблицы ответ «да», то выбираем математическую модель с использованием подсчета числа перестановок с повторениями. Элемент «а» повторяется в исходном множестве три раза, а значит, и в шестиэлементных комбинациях повторно будет использоваться три раза. Аналогично элемент «р» имеет количество повторов, равное двум. Далее - самое простое. Поскольку математическая модель выбрана, остается правильно подставить значения неизвестных в формулу и выполнить необходимые вычисления:

Ответ : 60.

Вид формулы для подсчета числа перестановок с повторениями легко обосновать. Если бы все шесть букв были разные, то количество перестановок равнялось бы 6!. Но если в подмножествах могут фигурировать, например, три одинаковые буквы, то неважно, какая из этих одинаковых букв на каком месте, отведенном для этих букв, находится. А это значит, что количество перестановок с повторениями будет меньше количества бес- повторных перестановок во столько раз, сколько перестановок одинаковых элементов можно сделать, т.е. в /^-факториал раз. Поэтому в формуле числа перестановок с повторениями появился знаменатель в отличие от формулы бесповторных перестановок.

Формулы комбинаторики.

Комбинаторика - это раздел математики, основной задачей которой является подсчёт числа вариантов, возникающих в какой-либо ситуации. При решении задач с использованием классического определœения вероятности нам понужнобятся некоторые формулы комбинаторики.

Размещения .

Определœение 1. Размещением без повторений из n элементов по k принято называть всякое упорядоченное подмножество данного множества M={a 1 ,a 2 ,¼,a n }, содержащее k элементов.

Отметим, что из определœения сразу следует, что, во-первых, всœе элементы в размещении без повторений различны (в противном случае найдется два одинаковых элемента), во-вторых, k£ n , в-третьих, два различных размещения без повторений различаются либо составом входящих в них элементов, либо порядком их расположения. То есть порядок следования существенен.

Теорема 1. Число различных размещений без повторений из n элементов по k (k£ n) равно

Доказательство.

Пусть M ={a 1 ,a 2 ,¼,a n }. Требуется определить число различных строк вида (x 1 ,x 2 ,¼,x k ), где всœе элементы x 1 ,x 2 ,¼,x k ÎM и различны. Первый элемент x 1 можно выбрать n способами. В случае если x 1 уже выбран, то для выбора x 2 осталось n-1 элементов. Аналогично, x 3 можно выбрать n -2 способами и т.д. Последний элемент x k можно выбрать n-k+1 способами. Перемножая эти числа, получим формулу (4).Теорема доказана.

Пример 1. В классе 12 учебных предметов и в понедельник 5 разных уроков. Сколькими способами должна быть составлено расписание занятий на понедельник?

Число всœевозможных вариантов расписания есть, очевидно, число различных размещений из 12 элементов по 5, то есть

Важным частным случаем, является случай, когда n=k , то есть когда в строке (x 1 ,x 2 ,¼,x n) участвуют всœе элементы множества M . Строки без повторений, составленные из n элементов множества M называют перестановками из n элементов. Напомним, что в математике через n! обозначают произведение всœех натуральных чисел от 1 до n, то есть ¼и по определœению считают, что 0!=1.

Следствие 1 . Пользуясь формулой (4), находим, что число различных перестановок P n из n элементов равно P n = n !.

Определœение 2. Размещением с повторениями из n элементов по k принято называть любая упорядоченная строка из k элементов множества M={a 1 ,a 2 ,¼,a n }, некоторые из которых могут повторяться.

К примеру, слово “мама” есть размещение с повторениями из 2-х элементов M ={м, а} по 4.

Теорема 2. Число различных размещений с повторениями из n элементов по k

Доказательство.

Первый элемент в строку из k элементов должна быть выбран n способами, поскольку |M|=n. Точно также 2-й, 3-й, …,k-й элементы бывают выбраны n способами. Перемножая эти числа, получим

k раз

Теорема доказана.

Пример 2. Сколько можно составить различных двузначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

В этой задаче M ={1, 2, 3, 4, 5}, n=5, k=2.По этой причине ответом является число

Пример 3. Сколькими способами k пассажиров могут распределиться по n вагонам, в случае если для каждого пассажира существенным является только номер вагона, а не занимаемое им в вагоне место?

Перенумеруем всœех пассажиров. Пусть x 1 - номер вагона, выбранного первым пассажиром, x 2 - номер вагона второго пассажира, …, x k - номер вагона k -го пассажира. Строка (x 1 ,x 2 ,¼,x k ) полностью характеризует распределœение пассажиров по вагонам. Каждое из чисел x 1 ,x 2 ,¼,x k может принимать любое целое значение от 1 до n. По этой причине в данном примере

M ={1, 2,…,n} и различных распределœений по вагонам будет столько же, сколько строк длиной k можно составить из элементов множества M , то есть

Отметим ещё раз, что в размещениях с повторениями и без повторений важен порядок следования элементов. В случае если порядок следования элементов не существенен, то в данном случае говорят о сочетаниях.

Сочетания (без повторения ).

Определœение 3. Пусть M={a 1 ,a 2 ,¼,a n }. Любое подмножество X мно-жества M , содержащее k элементов, принято называть сочетанием k элементов из n.

Отметим сразу, что в данном определœении порядок следования элементов множества X несущественен и, что k£n , поскольку k=½X½, n=½M½ и XÍM .

Теорема 3. Число различных сочетаний k элементов из n равно

. (6)

Доказательство.

Каждое сочетание k элементов из n порождает k! различных размещений без повторений из n по k с помощью различных перестановок (см. следствие 1). Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, всœе сочетаний из k элементов из n после различных k! перестановок порождают всœе размещений без повторений из n по k . По этой причине . Следовательно,