Почему множество действительных. Счетные числовые множества: обобщение. Множество действительных чисел несчётно

Исторически первыми возникли натуральные числа $N$, как результат пересчета пердметов. Множество этих чисел бесконечно и образует натуральный ряд $N=\{1, 2, 3, ..., n, ...\}$. В этом множестве выполнимы операции сложения и умножения. Для выполнения операции вычитания потребовались новые числа, что привело к появлению множества целых чисел: $Z$. $Z=N_+\cup N_- \cup \{0\}$. Таким образом в множестве целых чисел всегда выполняются операции сложения, умножения, вычитания.

Рациональные числа

Необходимость выполнения деления привела к множеству рациональных чисел $Q$. $Q=\{\frac{m}{n}, m\in Z, n\in N\}$.

Определение. Два рациональных числа равны: $\frac{m_1}{n_1}=\frac{m_2}{n_2}$ - если $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Это означает, что всякое рациональное число можно представить единственным образом в виде несократмой дроби $\frac{m}{n}$. $НОД(m, n)=1$.

Свойства множества рациональных чисел

1. В результате арифметических операций над рациональными числами (сложение, умножение, вычитание, деление, кроме деления на ноль) получается рациональное число.

2. Множество рациональных чисел упорядочено, то есть для любой пары рациональных чисел $a$ и $b$ либо $ab$.

3. Множество рациональных чисел плотно, то есть для любой пары рациональных чисел $a$ и $b$ существует такое рациональное число $c$, что $a

Всякое положительное рациональное число всегда можно представить в виде десятичной дроби: либо конечной, либо бесконечной периодической. Например: $\frac{3}{5}=0,6$, $\frac{1}{3}=0,333...=0,(3)$.

$\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$.

$b_1b_2b_3...b_n...$ - называется периодом десятичной дроби, где не все $b_i=0$.

Заметим, что конечная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической с нулем в периоде. $\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$.

Однако, чаще встречается другое представление рациональных чисел в виде десятичной дроби: $\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$.

Отрицательные рациональные числа $-\frac{m}{n}$ записываютсяв виде десятичного разложения рационального числа вида $\frac{m}{n}$, взятого с противоположным знаком.

Число $0$ представляется в виде $0,000...$.

Таким образом, всякое рациональное число всегда представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби не содержащей $0$ в периоде, кроме самого числа $0$. Такое представление единственное.

Иррациональные числа

Множество рациональных чисел замкнуто относительно четырёх арифметических операций. Однако в множестве рациональных чисел не всегда имеет место решение простейшего уравнения вида $x^2-n=0$. Поэтому возникает необходимость введения новых чисел.

Покажем, что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен трём. Доказательство проведём методом от противного.

Предположим, что существует рациональное число $\frac{m}{n}$ такое, что его квадрат равен трём: $\left(\frac{m}{n}\right)^2=3\;\;\;(1)$.

$\frac{m^2}{n^2}=3$,

$m^2=3n^2.\;\;\;(2)$

Правая часть равенства (2) делится на 3. Значит и $m^2$ делится на 3, следовательно $m$ делится на 3, а это значит, что $m=3k$. Подставим в равенство (2), получим:

$3k^2=n^2.\;\;\;(3)$

Левая часть равенства $(3)$ делится на $3$, значит и правая часть делится на $3$. Следовательно $n^2$ делится на $3$, значит и $n$ делится на $3$, откуда $n=3p$. В результате получаем: $\frac{m}{n}=\frac{3k}{3p}$, то есть дробь $\frac{m}{n}$ оказалась сократимой, что противоречит предположению. Значит, среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен трём.

Но число, квадрат которого равен трём, существует. Оно представимо в виде бесконечной непериодической дроби. И мы получили новый вид чисел. Назовём их иррациональными.

Определение. Иррациональным числом называется любая бесконечная непериодическая дробь.

Множество всех бесконечных непериодических дробей называется множеством иррациональных чисел и обозначается $I$.

Действительные числа

Объединение множества рациональных чисел $Q$ и иррациональных чисел $I$ даёт множество действительных чисел $R$: $Q\cup I=R$.

Таким образом всякое действительное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби: периодической в случае рационального числа и непериодической в случае иррационального числа.

Сравнение действительных чисел

Для действительных чисел $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ сравнение осуществляется следующим образом:

1) Пусть $a$ и $b$ оба положительны: $a>0$, $b>0$, тогда:

$a=b$, если для любого $k$ $a_k=b_k$;

$a>b$, если $\exists s$ $\forall kb_s$.

2) Пусть $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0

3) Пусть $a$ и $b$ оба отрицательны: $a<0$, $b<0$, тогда:

$a=b$, если для $-a=-b$;

Множество действительных чисел - это совокупность дополнения рациональных чисел иррациональными. Обозначается это множество буквой R, а в качестве символа принято использовать запись (-∞, +∞) либо (-∞,∞).

Описать множество действительных чисел можно следующим образом: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей, конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби - рациональные числа, а бесконечные десятичные и непериодические дроби - иррациональные числа.
Любое действительное число можно указать на координатной прямой. Также уместно и обратное утверждение: любая точка на координатной прямой имеет действительную координату. На математическом языке это звучит так: между множеством точек координатной прямой и множеством R действительных чисел можно установить взаимно однозначное соотношение. Для самой координатной прямой зачастую используют термин «числовая прямая», так как координатная прямая является геометрической моделью множества действительных чисел.
Оказываться, что ваше знакомство с координатной прямой было давно, но пользовать ею вы начнете только сейчас. Почему? Ответ вы сможете найти в примере из видеоурока.

Известно, что для действительных чисел a и b выполняются уже хорошо известные вам законы сложения и умножения: коммуникативный закон сложения, коммутативный закон умножения, ассоциативный закон сложения, дистрибутивный закон умножения относительно сложения и другие. Проиллюстрируем некоторые из них:
a + b = b + a;
ab = ba;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a(bc) = (ab)c;
(a + b)c = ac + bc
Также выполняются следующие правила:
1. В результате произведения (частного) двух отрицательных чисел получается число положительное.
2. В результате произведения (частного) отрицательного и положительного числа получается число отрицательное.
Сравнить действительные числа друг с другом можно, опираясь на определение:
Действительное число a больше или меньше действительного числа b, в том случае, когда разность a - b является положительным или отрицательным числом.
Записывается это так: a > b, a < b.
Это значит, что а является положительным числом, а b - отрицательное.
То есть, в случае, когда a > 0 => a положительно;
a < 0 => a отрицательное;
a > b, то a - b положительно => a - b > 0;
a < b, то a - b отрицательное => a - b < 0.
Помимо знаков (<; >) строгих неравенств, используются и знаки нестрогих неравенств - (≤;≥).
Например, для любого числа b, выполняется неравенство b2 ≥ 0.
Примеры сравнения чисел и расположения их в порядке возрастания Вы можете в видеоуроке.
Благодаря геометрической модели множества действительных чисел - числовой прямой, операция сравнения выглядит особо наглядно.

Основное свойство алгебраической дроби

Мы продолжаем знакомство с алгебраическими дробями. Если на предыдущем уроке речь шла об основных понятиях, то на этом уроке вы узнаете об основном свойстве алгебраической дроби. Определение основного свойства дроби известно из курса математики 6 класса (сокращение дробей). В чем же оно состоит? Часто при решении задач, уравнений возникает необходимость преобразовать одну «неудобную» для вычислений дробь в другую, «удобную». Именно для выполнения таких преобразований и необходимо знать её основное свойство и правила изменения знаков, с которыми вы познакомитесь, просмотрев видеоурок.

Значение обыкновенной дроби останется неизменным при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число (кроме нуля). В этом и состоит основное свойство дроби.
Рассмотрим пример:
7/9 = 14/18
Имеем две дроби, тождественно равные друг другу. Числитель и знаменатель в данном случае умножили на 2, при этом значение дроби не изменилось.
Что происходит с дробью при делении числителя и знаменателя на одно и то же число, вы узнаете из видеоурока.
Алгебраическая дробь - это, в принципе, та же самая обыкновенная дробь, над ней можно выполнять те же действия, что и над обыкновенной.
Выражение, стоящее в числителе, и выражение, стоящее в знаменателе дроби, можно домножить или разделить на одно и то же буквенно-цифровое выражение (многочлен или одночлен), одно и то же число (кроме нуля: если выражение или число, стоящее в знаменателе дроби, умножить на ноль, он примет нулевое значение; а, как известно, на ноль делить нельзя). Такое преобразование алгебраической дроби называют её сокращением. В этом и состоит основное свойство алгебраической дроби. Как оно реализуется на практике - вы можете узнать из видеоурока.
Преобразование дробей в дроби с одинаковыми знаменателями называют приведением дробей к общему знаменателю. Для выполнения данного действия необходимо выполнить определенную последовательность действий, состоящую в следующем:

Разложив все знаменатели на множители, определяем НОК для числовых коэффициентов.
. Записываем произведение, с учетом НОК коэффициентов и всех буквенных множителей. Если множители одинаковые, берём множитель один раз. Из всех степеней, у которых одинаковые основания, берем множитель с максимальным показателем степени.
. Находим значения, являющиеся дополнительными множителями для числителя каждой из дробей.
. Для каждой дроби определяем новый числитель - как произведение старого числителя на дополнительный множитель.
. Записываем дроби с новым числителем, который определили, и общим знаменателем.

Пример 1: Привести следующие дроби a/4b2 b a2/6b3 к общему знаменателю.
Решение:
Для начала определим общий знаменатель. (Он равен 12b2).
Затем, следуя алгоритму, определим дополнительный множитель для каждой из дробей. (Для первой - 3b, для второй - 2).
Выполнив умножение, получим результат.
(a*3b)/(4b2*3b) = 3ab/12b3 и (a2*2)/(6b2*2) = 2a2/12b2 .
Пример 2: Привести дроби c/(c - d) и c/(c + d) к общему знаменателю.
Решение:
(c+d)(c-d)=c2-d2
c*(c + d)/(c - d)(c + d) = (c2 + cd)/(c2 - d2)
c*(c - d)/(c + d)(c - d) = (c2 - cd)/(c2 - d2)

Более подробное решение аналогичных примеров вы найдете в видеоуроке.
Основное свойство алгебраической дроби имеет следствие в виде правила изменения знаков:
a - b/c - d = b - a/d - c
В этом случае числитель и знаменатель дроби умножили на -1. Аналогичные действия можно производить не со всей дробью, а только с числителем или только со знаменателем. Как изменится результат, если, например, только числитель или только знаменатель умножить на -1, вы узнаете, просмотрев видеоурок.
Теперь, изучив основное свойство алгебраической дроби и вытекающее из него правило, нам по силам решать более сложные задачи, а именно: вычитание и сложение дробей. Но это уже тема следующего урока.

Если множество рациональных чисел дополнить множеством иррациональных чисел, то вместе они составят множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой R; используют также символическую запись (-оо, +оо) или (-оо, оо).

Множество действительных чисел можно описать так: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей; конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби — иррациональные числа.

Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Математики обычно, говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное со ответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин числовая прямая.

Вдумайтесь в этот термин: не кажется ли он вам противоестественным? Ведь число — объект алгебры, а прямая — объект геометрии. Нет ли тут «смешения жанров»? Нет, все логично, все продумано. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство различных областей математики, дает возможность
отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной (числовой) прямой».

Обратите внимание: координатной прямой вы пользовались начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших знаниях был вполне оправданный пробел: не для любой точки координатной прямой вы сумели бы найти координату — просто учитель оберегал вас от такой неприятности.

Рассмотрим пример. Дана координатная прямая, на ее единичном отрезке построен квадрат (рис. 100), диагональ квадрата ОВ отложена на координатной прямой от точки О вправо, получилась точка D. Чему равна координата точки D? Она равна длине диагонали квадрата, т. е. . Это число, как
мы теперь знаем, не целое и не дробь. Значит, ни в 5-м, ни в 6-м, ни в 7-м классе координату точки D вы бы найти не смогли.

Потому мы до сих пор и говорили «координатная прямая», а не «числовая прямая».

Заметим, что был еще один оправданный пробел в ваших знаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы всегда подразумевали, что переменные могут принимать любые допустимые значения, но только рациональные, ведь других-то не было. На самом деле переменные могут принимать
любые допустимые действительные значения. Например, в тождестве
(а + Ь){а-b) = а 2 -b 2 в роли а и b могут выступать любые числа, не обязательно
рациональные. Этим мы уже пользовались в конце предыдущего параграфа. Этим же мы пользовались и в § 18 — в частности, в примерах 6, 7, 8 из указанного параграфа.

Для действительных чисел а, b, с выполняются привычные законы:
а + b = b + а;
аЬ = bа;

a + (b + c) = (a + b) + c

a(bc) =(ab)c
(а + b) с = ас + bc и т. д.
Выполняются и привычные правила: произведение (частное) двух положительных чисел — положительное число;
произведение (частное) двух отрицательных чисел — положительное число;
произведение (частное) положительного и отрицательного числа — отрицательное число.

Действительные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение.

Определение . Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа b, если их разность а - b — положительное (отрицательное) число. Пишут а > b (а < b).

Из этого определения следует, что всякое положительное число а больше нуля (поскольку разность а - 0 = а — положительное число), а всякое отрицательное число b меньше нуля (поскольку разность b - 0 = b — отрицательное число).

Итак, а > 0 означает, что а — положительное число;
а < 0 означает, что а — отрицательное число;
а>b означает, что а -b — положительное число, т. е. а - b > 0;
a т.е. а - b < 0.
Наряду со знаками строгих неравенств (<, >) используют знаки нестрогих неравенств:
а 0 означает, что а больше нуля или равно нулю, т. е. а — неотрицательное число (положительное или 0), или что а не меньше нуля;
а 0 означает, что а меньше нуля или равно нулю, т. е. а — неположительное число (отрицательное или 0), или что а не больше нуля;
а b означает, что а больше или равно b, т. е. а - b — неотрицательное число, или что а не меньше b; а - b 0;
а b означает, что а меньше или равно b, т. е. а - b — неположительное число, или что а не больше Ь; а - b 0.
Например, для любого числа а верно неравенство а 2 0;
для любых чисел а и b верно неравенство (а - b) 2 0.
Впрочем, для сравнения действительных чисел необязательно каждый раз составлять их разность и выяснять, положительна она или отрицательна. Можно сделать соответствующий вывод, сравнивая записи чисел в виде десятичных дробей.

Геометрическая модель множества действительных чисел, т. е. числовая прямая, делает операцию сравнения чисел особенно наглядной: из двух чисел а, b больше то, которое располагается на числовой прямой правее.

Таким образом, к сравнению действительных чисел нужно подходить достаточно гибко, что мы и используем в следующем примере.

Пример 1. Сравнить числа:

Пример 2. Расположить в порядке возрастания числа