Точки X и X" называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX". Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X", симметричная X относительно a.

Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметриченая ей относительно прямой a.

Докажем, что осевая симметрия является движением успульзуя метод координат: примем прямую a за ось x декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (x;y) будет преобразована в точку с координатами (x, -y).

Возьмем любые две точки A(x1, y1) и B(x2, y2) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A"(x1,- y1) и B"(x2, -y2). Вычисляя растояния A"B" и AB, получим

Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением.

Поворот

Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X", что, во-первых, OX"=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX" откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол -углом поворота .

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X" и Y". Покажем, что X"Y"=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X"OY" равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY" равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY"):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно. Кроме того, OX"=OX, и OY"=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X"Y"=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X"Y" будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX", OY". Поэтому и в этом случае X"Y"=XY. Итак, поворот является движением.

Классный час в 9 классе, стратегия « Продвинутая лекция »

Осевая и центральная симметрия, параллельный перенос,
поворот - как движения плоскости

Буякова Елена Валерьевна

Цель : показать различные способы задания уравнения прямой и общее уравнение прямой.

Задачи :

1) ознакомиться с такими понятиями, как направляющий вектор и вектор нормали прямой;

2) показать четыре различных способа задания уравнения прямой;

3) показать взаимозаменяемость различных способов задания прямой.

Ход урока .

1. Тема урока. Разбиение класса на пары.

2. Инструктаж по чтению текста (приложение 1) и выполнению работы

Чтение и заполнение ведутся индивидуально. Текст разбит на две части.

Первый номер пары проверяет соответствие выписаных слов читаемому тексту.

Второй номер пары запоминает основные факты, с тем, что объяснить первому номеру.

Вторую часть текста пары читают, поменявшись ролями.

3. Вопрос к первой части: Что вы помните о осевой и центральной симметрии ?

4. Вопрос ко второй части текста: Какие ассоциации у вас возникают с темой «параллельный перенос, поворот »?

На доску выписываются слова - ассоциации, найденные каждой парой (без повторов), в тетрадях учащиеся пополняют свои списки данных слов. После чего читается соответствующий текст.

5. Обсуждение в парах.

6. Рефлексия - 10 минутное эссе на тему «Движения плоскости: виды и их отличия»

Приложение 1

Центральная и осевая симметрия

Определение. Симметрия (означает «соразмерность») — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Симметрия относительно точки — это центральная симметрия (рис. 23 ниже), а симметрия относительно прямой — это осевая симметрия (рис. 24 ниже).

Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры).

Если соединить прямой симметричные точки (точки геометрической фигуры) через точку симметрии, то симметричные точки будут лежать на концах прямой, а точка симметрии будет ее серединой. Если закрепить точку симметрии и вращать прямую, то симметричные точки опишут кривые, каждая точка которых тоже будет симметрична точке другой кривой линии.

Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.

Примером может служить лист тетради, который согнут пополам, если по линии сгиба провести прямую линию (ось симметрии). Каждая точка одной половины листа будет иметь симметричную точку на второй половине листа, если они расположены на одинаковом расстоянии от линии сгиба на перпендикуляре к оси.

Линия осевой симметрии, как на рисунке 24, вертикальна, и горизонтальные края листа перпендикулярны ей. Т. е. ось симметрии служит перпендикуляром к серединам горизонтальных ограничивающих лист прямых. Симметричные точки (R и F, C и D) расположены на одинаковом расстоянии от осевой прямой — перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки. Следовательно, все точки перпендикуляра (оси симметрии), проведенного через середину отрезка, равноудалены от его концов; или любая точка перпендикуляра (оси симметрии) к середине отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Параллельный перенос

Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответсвие такие точки X" и Y", что XX"=YY" или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса . Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X" и Y" соответственно. Тогда выполняется равенство XX"=YY". Но из этого равенства по признаку равных векторов следут, что XY=X"Y", откуда получаем, что во-первых XY=X"Y", то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что XY X"Y", то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Это свойство параллельного переноса - его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направления является параллельным переносом.

Поворот

Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X", что, во-первых, OX"=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX" откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол -углом поворота .

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X" и Y". Покажем, что X"Y"=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X"OY" равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY" равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY"):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно . Кроме того, OX"=OX, и OY"=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X"Y"=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X"Y" будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX", OY". Поэтому и в этом случае X"Y"=XY. Итак, поворот является движением.

§ 1 Понятие поворот и центральная симметрия

Поворот (вращение) - это движение, при котором хотя бы одна точка плоскости остается неподвижной.

Давайте рассмотрим поворот стрелки часов. Стрелка на циферблате показывает на точку А. Через какое-то время она передвигается на точку А1, при этом место прикрепления стрелки к циферблату точка О остается неподвижным. Таким образом, стрелка часов совершает поворот.

В данном случае показан поворот точки А вокруг точки О. При повороте точка А переходит в точку А1.

Точка О (неподвижная точка) - центр поворота.

Точка А - подвижная точка.

Угол АОА1 - угол поворота, расстояние ОА равно расстоянию ОА1.

Поворот может быть как по часовой так и против часовой стрелки.

§ 2 Правила построения центрально-симметричных точек

Построим поворот точки В на 900 относительно точки О. Для этого, отмечаем на плоскости точки О и В на некотором расстоянии друг от друга.

Проводим луч ОВ. От луча ОВ с помощью транспортира строим угол 900. На полученном луче отмечаем точку В1 так, что ОВ = ОВ1.

Таким образом, мы построили поворот точки В в точку В1 , точка О - центр поворота, угол ВОВ1 - угол поворота.

Поработаем еще. Отметим на плоскости точку О. Проведем через точку О прямую ОС. На прямой обозначим отрезок ОС1 равный ОС, но по другую сторону от точки О. Получим развернутый угол СОС1. Это значит что точка С1 получена при помощи поворота точки С на угол 1800 с центром поворота О.

В данному случае точки С и С1 называются симметричными относительно точки О. Точка О - центр симметрии. Следовательно, поворот фигуры на 1800 с центром в точке называют центральной симметрией. А точки, которые лежат на одной прямой с центром симметрии по разные стороны и на равном расстоянии от него называют центрально-симметричными.

§ 3 Правила построения центрально-симметричных фигур

Центрально-симметричными могут быть и фигуры. Две фигуры F и F" называются центрально-симметричными относительно центра О, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.

F F1

§ 4 Практическое задание

Перейдем к практическому заданию. Попробуем выполнить построение центрально-симметричных отрезков. Построим отрезок АВ. Отметим центр симметрии точку О, не принадлежащую отрезку АВ. Выполним поворот точки А в точку А1, точки В в точку В1 на 1800 относительно центра О. Соединим точки А1 и В1. Отрезки АВ и А1В1 - центрально-симметричные отрезки.

Точку, при повороте вокруг которой на 1800 фигура совпадает со своим первоначальным изображением, называют центром симметрии фигуры. А саму фигуру центрально-симметричной.

Некоторые четырёхугольники — параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат — являются центрально-симметричными фигурами. Центром симметрии для них является точка пересечения диагоналей. Центром симметрии окружности является центр этой окружности. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от других центрально-симметричных фигур у прямой центров симметрии бесконечно много - любая точка прямой.

Итак, на этом уроке мы познакомились с понятиями «поворот» и «центральная симметрия», научились строить центрально-симметричные фигуры и выполнять поворот точки относительно центра, узнали о центрально-симметричных фигурах.

Список использованной литературы:

1. Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И.Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
2. Математика. 6класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. Мнемозина, 2013 г.

Использованные изображения:

§ 1. Поворот и центральная симметрия - Учебник по Математикe 6 класс (Зубарева, Мордкович)

Краткое описание:

В этом параграфе мы переходим к изучению новой темы в геометрии: поворот и центральная симметрия. Что поможет нам разобраться в том, что такое поворот в геометрическом понимании, как поворачивать точки, отрезки или целые фигуры, а также какие точки отрезки или фигуры можно считать симметричными.
Поворотом точки можно считать движение точки во круг другой точки на плоскости, при этом другая точка остается неподвижной. Поворот можно осуществить на любое расстояние, такое расстояние измеряется в градусах, измерить его можно с помощью транспортира. Кроме точек могут перемещаться целые фигуры и рисунки. Так, мы можем наблюдать много примеров использования поворотов в реальной жизни – симметричные растения, цветы, фрукты, разрезанные пополам, строительные элементы, например, винтовые лестницы, обувь – правые и левые ботинки. Так, звезды вращаются вокруг полюса, изменяя свое положение только относительно одной точки. Для геометрического построения поворота удобно использовать циркуль и транспортир. Симметрию можно определить как одинаково отдаленное расположение точек относительно одного центра. В повседневной жизни мы часто встречаемся с симметричными предметами. Но стоит заметить, что в природе не существует идеальной симметрии, даже лицо человека не может быть идеально симметричным. Но предметы, которые мы используем для повседневной деятельности, готовки, приготовления уроков, игры, чаще всего симметричны. Интересно? Предлагаем подробнее ознакомиться с материалом параграфа в учебнике!

Со-сто-я-щий из зве-ньев оди-на-ко-вой дли-ны и ис-поль-зу-ю-щий пол-зу-ны, пе-ре-дви-га-ю-щи-е-ся по крас-но-му непо-движ-но-му стерж-ню, ре-а-ли-зу-ет на плос-ко-сти осе-вую сим-мет-рию. Дей-стви-тель-но, по-ло-же-ние од-но-го из зе-лё-ных шар-ни-ров за-да-ёт по-ло-же-ние и дли-ну про-ти-во-по-лож-ной сто-ро-ны сво-е-го тре-уголь-ни-ка, а тре-уголь-ни-ки, на-хо-дя-щи-е-ся по раз-ные сто-ро-ны от стерж-ня, все-гда рав-ны. Зна-чит, при лю-бом по-ло-же-нии ме-ха-низ-ма два зе-лё-ных шар-ни-ра сим-мет-рич-ны от-но-си-тель-но крас-но-го стерж-ня.

Возь-мём фигу-ру - кри-во-ли-ней-ный тре-уголь-ник - и по-смот-рим, во что она пе-рей-дёт под дей-стви-ем на-ше-го ме-ха-низ-ма. По-лу-чит-ся сим-мет-рич-ная фигу-ра . Она, в том чис-ле, рав-на из-на-чаль-ной, но по-дру-го-му ори-ен-ти-ро-ва-на. Т.е., ес-ли счи-тать плос-кость бес-ко-неч-ным ли-стом бу-ма-ги с на-ри-со-ван-ной на нём фигу-рой, то чтобы сов-ме-стить фигу-ру и её об-раз, необ-хо-ди-мо сло-жить лист по оси сим-мет-рии, при этом у од-ной его по-ло-вин-ки по-ме-ня-ет-ся верх с ни-зом.

При-ме-ним те-перь к уже по-лу-чив-ше-му-ся тре-уголь-ни-ку наш ме-ха-низм, ре-а-ли-зу-ю-щий сим-мет-рию, с осью, па-рал-лель-ной оси пер-во-го ме-ха-низ-ма. По-лу-чив-ший-ся тре-уголь-ник име-ет ту же ори-ен-та-цию, что и са-мый пер-вый, и по-лу-ча-ет-ся из него па-рал-лель-ным пе-ре-но-сом, т.е. сдви-гом. Двой-ной па-рал-ле-ло-грамм с дву-мя крас-ны-ми за-креп-лён-ны-ми шар-ни-ра-ми ре-а-ли-зу-ет это пре-об-ра-зо-ва-ние на плос-ко-сти. Итак, ре-зуль-та-том двух осе-вых сим-мет-рий с па-рал-лель-ны-ми ося-ми яв-ля-ет-ся про-сто сдвиг. Вер-но и об-рат-ное - лю-бой па-рал-лель-ный пе-ре-нос мож-но раз-ло-жить в две осе-вые сим-мет-рии с па-рал-лель-ны-ми ося-ми. Как нетруд-но за-ме-тить, та-кое раз-ло-же-ние не един-ствен-но.

Та-кой ре-зуль-тат по-сле-до-ва-тель-ных отоб-ра-же-ний на-зы-ва-ет-ся в ма-те-ма-ти-ке ком-по-зи-ци-ей, а в тер-ми-но-ло-гии функ-ций - слож-ной функ-ци-ей. Так же, как и в ана-ли-ти-че-ской за-пи-си, ре-зуль-тат ком-по-зи-ции мож-но по-лу-чить, ли-бо по-сле-до-ва-тель-но вы-пол-няя со-став-ля-ю-щие её дей-ствия, ли-бо как-то пре-об-ра-зо-вав и при-ме-нив уже в «упро-щён-ном» ви-де. При этом пре-об-ра-зо-ван-ный объ-ект внешне мо-жет быть со-вер-шен-но не по-хож на из-на-чаль-ные, из ко-то-рых он по-лу-чал-ся.

А что же бу-дет, ес-ли оси сим-мет-рий не па-рал-лель-ны ?

Ком-по-зи-ци-ей двух осе-вых сим-мет-рий с непа-рал-лель-ны-ми ося-ми яв-ля-ет-ся по-во-рот с цен-тром в точ-ке пе-ре-се-че-ния осей. При этом угол, на ко-то-рый по-во-ра-чи-ва-ет-ся фигу-ра, ра-вен удво-ен-но-му уг-лу меж-ду ося-ми. Как и в слу-чае со сдви-гом, вер-но и об-рат-ное - лю-бой по-во-рот на плос-ко-сти рас-кла-ды-ва-ет-ся на две осе-вые сим-мет-рии.

Шар-нир-ный ме-ха-низм, ос-но-ван-ный на ром-бе, ре-а-ли-зу-ет пре-об-ра-зо-ва-ние по-во-ро-та плос-ко-сти.

А те-перь к плос-ко-сти (на при-ме-ре на-шей фигу-ры) при-ме-ним по-сле-до-ва-тель-но па-рал-лель-ный пе-ре-нос, а за-тем по-во-рот. Мож-но ли ка-ким-то од-ним пре-об-ра-зо-ва-ни-ем сов-ме-стить ис-ход-ную и ко-неч-ную фигу-ры?

Раз-ло-жим ис-поль-зо-ван-ный по-во-рот на две сим-мет-рии . Из этой кар-тин-ки вид-но, что этап по-лу-че-ния се-ро-го тре-уголь-ни-ка и по-том при-ме-не-ния к нему од-ной сим-мет-рии мож-но за-ме-нить про-сто на од-ну сим-мет-рию. А та-кая кар-тин-ка - ком-по-зи-ция двух осе-вых сим-мет-рий с непа-рал-лель-ны-ми ося-ми - нам уже зна-ко-ма, это есть про-сто по-во-рот.

На-ри-су-ем тре-уголь-ник на сто-ле. По-ло-жив ли-сток бу-ма-ги по-верх, об-ве-дём фигу-ру. Под-ни-мем ли-сто-чек и от-пу-стим , чтобы он слу-чай-ным об-ра-зом опу-стил-ся на стол, но при этом не пе-ре-вер-нул-ся. Тем са-мым по-лу-че-но, как го-во-рят ма-те-ма-ти-ки, «в об-щем ви-де» дви-же-ние плос-ко-сти - пре-об-ра-зо-ва-ние, со-хра-ня-ю-щее рас-сто-я-ния и не ме-ня-ю-щее ори-ен-та-цию. Ко-неч-но, мог-ло так слу-чить-ся, что фигу-ры от-ли-ча-ют-ся па-рал-лель-ным пе-ре-но-сом, но ве-ро-ят-ность, что ли-сто-чек ля-жет так ак-ку-рат-но, очень ма-ла. Во всех дру-гих слу-ча-ях это - про-сто по-во-рот с неко-то-рым цен-тром на неко-то-рый угол!