Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Вычисление приближенно с помощью дифференциала

С одной стороны, вычисление дифференциала значительно проще, чем вычисление приращения, с другой стороны, dy≈∆y и допускаемая при этом погрешность может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения ∆x. Эти обстоятельства позволяют во многих случаях заменять ∆y величиной dy. Из приближенного равенства dy≈∆y, учитывая, что ∆y = f(x) – f(x 0), а dy=f’(x 0)(x-x 0), получим f(x) ≈ f(x 0) + f’(x 0)(x – x 0), где x-x 0 = ∆x.
Пример . Вычислить .
Решение . Взяв функцию , имеем: . Полагая x 0 =16 (выбираем сами, чтобы корень извлекался), ∆x = 0,02, получим .

Пример . Вычислить значение функции f(x) = e x в точке x=0.1.
Решение . В качестве x 0 возьмем число 0, то есть x 0 =0, тогда ∆x=x-x 0 =0.1 и e 0.1 ≈e 0 + e 0 0.1 = 1+0.1 = 1.1. По таблице e 0.1 ≈1.1052. Ошибка получилась незначительная.
Отметим еще одно важное свойство дифференциала. Формула для нахождения дифференциала dy=f’(x)dx верна как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – функция от новой переменной t . Это свойство дифференциала называется свойством инвариантности его формы. Например, для функции y=tg(x) дифференциал запишется в виде независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией. В случае, если x – функция и конкретно задана, например x=t 2 , то вычисление dy можно продолжить, для чего найдем dx=2tdt и подставим в ранее полученное выражение для dy:
.
Если вместо формулы (2) воспользовались бы неинвариантной формулой (1), то в случае, когда x – функция, мы не могли бы подобным образом продолжить вычисление dy, так как ∆x, вообще говоря, не совпадает с dx .

Рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала .

Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости часто будем говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.

Кроме того, в разделе присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешностей вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах.

Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с нахождения производной в точке и с нахождения дифференциала в точке . Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать возможности MS Excel, но в данном случае он менее удобен.

Урок состоит из двух частей:

– Приближенные вычисления с помощью дифференциала значения функции одной переменной в точке.

– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала значения функции двух переменных в точке.

Рассматриваемое задание тесно связано с понятием дифференциала, но, поскольку урока о смысле производной и дифференциала у нас пока нет, ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной

В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через y или через f (x ). Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:

Пример 1

Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:

Начинаем разбираться, здесь всё просто!

На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: .

Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .

Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:

– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве x 0 подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело . Естественно, это значение x 0 должно быть как можно ближе к 67.

В данном случае x 0 = 64. Действительно, .

Примечание: Когда с подбором x 0 всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор x 0 = 64.

Если x 0 = 64, то приращение аргумента: .

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Сначала вычислим значение функции в точке x 0 = 64. Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал в точке находится по формуле:

– эту формулу тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке x 0:

.

Таким образом:

Всё готово! Согласно формуле :

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению 4,06154810045, вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

Пример 2

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за x 0 , а какое – за Δx . Следует отметить, что Δx в данном примере будет отрицательным.

У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из одного из институтов году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физфаке, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.

Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =).

Пример 3

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке x = 1,97. Вычислить более точное значение функции в точке x = 1,97 с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Фактически, это задание запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала»

Решение: Используем знакомую формулу:

В данном случае уже дана готовая функция: . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать f (x ).

Значение x = 1,97 необходимо представить в виде x 0 = Δx . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается x 0 = 2. И, следовательно: .

Вычислим значение функции в точке x 0 = 2:

Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.

Находим первую производную:

И её значение в точке x 0 = 2:

Таким образом, дифференциал в точке:

В результате, по формуле :

Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Приближенное значение приращения функции

При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Dy » dy и, следовательно,

Пример 2. Найти приближенное значение приращения функции y= при изменении аргумента x от значения x 0 =3 до x 1 =3,01.

Решение . Воспользуемся формулой (2.3). Для этого вычислим

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, тогда

Dу » .

Приближенное значение функции в точке

В соответствии с определением приращения функции y = f(x) в точке x 0 при приращении аргумента Dx (Dx®0) Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) и формулой (3.3) можно записать

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Частными случаями формулы (3.4) являются выражения:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4б)

sinDx » Dx (3.4в)

tgDx » Dx (3.4г)

Здесь, как и ранее предполагается, что Dx®0.

Пример 3. Найти приближенное значение функции f(x) = (3x -5) 5 в точке x 1 =2,02.

Решение . Для вычислений воспользуемся формулой (3.4). Представим x 1 в виде x 1 = x 0 + Dx. Тогда x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Пример 4. Вычислить (1,01) 5 , , ln(1,02), ln .

Решение

1. Воспользуемся формулой (3.4а). Для этого представим (1,01) 5 в виде (1+0,01) 5 .

Тогда, полагая Dх = 0,01, n = 5, получим

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Представив в виде (1 - 0,006) 1/6 , согласно (3.4а), получим

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. Учитывая, что ln(1,02) = ln(1 + 0,02) и полагая Dx=0,02, по формуле (3.4б) получим

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Аналогично

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Найти приближенные значения приращения функций

155. y = 2x 3 + 5 при изменении аргумента x от значения x 0 = 2 до x 1 = 2,001

156. у = 3x 2 + 5x + 1 при x 0 = 3 и Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 при x 0 = 2 и Dx = 0,01

158. y = ln x при x 0 = 10 и Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x при x 0 = 3 и Dx = 0,01

Найти приближенные значения функций

160. у = 2x 2 - x + 1 в точке x 1 = 2,01

161. y = x 2 + 3x + 1 в точке x 1 = 3,02

162. y = в точке x 1 = 1,1

163. y= в точке x 1 = 3,032

164. y = в точке x 1 = 3,97

165. y = sin 2x в точке x 1 = 0,015

Вычислить приближенно

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178. ln(1,003×e) 179. ln(1,05) 5 180. ln

181. ln0,98 182. ln 183. ln(e 2 ×0,97)

Исследование функций и построение графиков

Признаки монотонности функции

Теорема 1 (необходимое условие возрастания (убывания) функции) . Если дифференцируемая функция y = f(x), xÎ(a; b) возрастает (убывает) на интервале (a; b), то для любого x 0 Î(a; b).

Теорема 2 (достаточное условие возрастания (убывания) функции) . Если функция y = f(x), xÎ(a; b) имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала (a; b), то эта функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Экстремумы функции

Определение 1. Точка x 0 называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если для всех x из некоторой d-окрестности точки x 0 выполняется неравенство f(x) < f(x 0) (f(x) > f(x 0)) при x ¹ x 0 .

Теорема 3 (Ферма) (необходимое условие существования экстремума) . Если точка x 0 является точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке существует производная , то

Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума) . Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой d-окрестности точки x 0 . Тогда:

1) если производная при переходе через точку x 0 меняет знак с (+) на (-), то x 0 является точкой максимума;

2) если производная при переходе через точку x 0 меняет знак с (-) на (+), то x 0 является точкой минимума;

3) если производная при переходе через точку x 0 не меняет знак, то в точке x 0 функция не имеет экстремума.

Определение 2. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками первого рода.

с помощью первой производной

1. Найти область определения D(f) функции у = f(x).

3. Найти критические точки первого рода.

4. Расставить критические точки в области определения D(f) функции y = f(x) и определить знак производной в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции.

5. Выделить точки максимума и минимума функции и вычислить в этих точках значения функции.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию у = x 3 - 3x 2 .

Решение . В соответствии с алгоритмом нахождения экстремума функции с помощью первой производной имеем:

1. D(f): xÎ(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - критические точки первого рода.

Производная при переходе чрез точку x = 0

меняет знак с (+) на (-), следовательно это точка

Максимума. При переходе через точку х = 2 меняет знак с (-) на (+), следовательно это точка минимума.

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Координаты максимума (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Координаты минимума (2; -4).

Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума) . Если функция у = f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 , причем , то в точке x 0 функция f(x) имеет максимум, если и минимум, если .

Алгоритм нахождения экстремума функции

с помощью второй производной

1. Найти область определения D(f) функции y = f(x).

2. Вычислить первую производную

Понятие дифференциала

Пусть функция y = f (x ) дифференцируема при некотором значении переменной x . Следовательно, в точке x существует конечная производная

Тогда по определению предела функции разность

является бесконечно малой величиной при . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим

(2)

(величина не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ).

Если , то в правой части равенства (2) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при

оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и . Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение стремится к нулю при

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают

Следовательно,

(5)

Итак, дифференциал функции y = f (x ) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

Наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f (x ) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x ; y ), при изменении x на величину .

Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала

В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

(С – постоянная величина) (8)

(9)

(10)

(12)

Формулы (8) – (12) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть - сложная функция :

Дифференциал

этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде

Но есть дифференциал функции , поэтому

(13)

Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле (7), хотя аргумент является не независимой переменной, а функцией . Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называютинвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

Подчеркнём, что в формуле (13) нельзя заменить на , так как

для любой функции , кроме линейной.

Пример 2. Записать дифференциал функции

двумя способами, выражая его: через дифференциал промежуточной переменной и через дифференциал переменной x . Проверить совпадение полученных выражений.

Решение. Положим

а дифференциал запишется в виде

Подставляя в это равенство

Получаем

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Установленное в первом параграфе приближенное равенство

позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно. Так как

Пример 3. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.

Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x . Формула (15) в данном случае примет вид

Следовательно,

что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.

Пример 4. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно

Решение. Число
является одним из значений функции

Так как производная этой функции

то формула (15) примет вид

получаем

(табличное значение

).

Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

Умножая на 4/3, находим

Принимая табличное значение корня

за точное число, оценим по формулам (16) и (17) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения: