Простейшие логические операции в информатике. Логика и язык Что означает в логике этот знак

Мысли выразимы в слове (символе, знаке). Мышление, являясь идеальным, проявляется в языке, речи, деятельности. Нет языка вне мышления, нет мышления без языка. Под языком понимают не только естественный, но искусственный язык графических, звуковых, тактильных символов, знаков, сигналов, иероглифов. Мысль как свойство особым образом организованной материи, невозможно отделить от породившей ее материи. Мы передаем на расстояние не мысли сами по себе, а сигналы о мыслях (в виде слов, звуковых, электромагнитных колебаний), эти сигналы, воспринятые другими людьми, могут превращаться в соответствующие исходным мысли (если сигналы в процессе передачи не были искажены).

Мышление неотрывно от языка. Мышление и язык исторически и генетически формировались в связи друг с другом, сохраняя относительную самостоятельность, качественное отличие. Мышление идеально, любая знаково-сигнальная система материальна. Мышление и язык обладают помимо общих, разными свойствами. Мысль выразима в языке, в знаковой системе, но не всякий знак, символ, не всякое языковое выражение осмысленно.

Форма мысли имеет языковое выражение. Язык - материальное образование, система, позволяющая выражать, хранить, передавать, преобразовывать мысли. Мышление (мысль) -идеальная система. Элементы языка : буквы (знаки) сочетания букв, слова, словосочетания предложения. Элементы мышления : формы мысли (понятия, суждения, умозаключения). Язык логики : слова, термины, знаки (символы). В логике «термин» - синоним «понятия».

Методологическое требование логики - основополагающие понятия строго определяются, чтобы их значения были одинаковыми, общезначимыми в рамках теории. Поскольку логика некоторые понятия (категории) заимствует из философии, то она их не определяет (противоречие, тождество, различие ). Остальные слова языка логики определяются.

Символика традиционной формальной логики:

Система знаков (символов) в логике для обозначения термов, предикатов, высказываний, логических функций, отношений между высказываниями. В разных логических системах могут использоваться различные системы обозначений. Символы в литературе по логике:

S - субъект суждения : предмет мысли (логическое подлежащее), на что направлен ум; любое понятие, отражающее реальный, мнимый, материальный, идеальный предмет.

P - предикат суждения - любой признак предмета мысли (логическое сказуемое).

М - средний термин умозаключения, общее дли исходных суждений понятие.

«Есть» - «не есть» (суть - не суть) - логическая связка между субъектом и предикатом суждения, выражаемая иногда простым тире между «S» и «Р».

R - символ любого отношения.

А (а) - общеутвердительное суждение: все S есть Р (все студенты - учащиеся).

Е (е) - общеотрицательное суждение: ни одно S не есть Р (ни один студент группы не спортсмен; все студенты группы не спортсмены).

I (i) - частноутвердительное: некоторые S есть Р (некоторые студенты отличники).

О (о) - частноотрицательное суждение: S не есть Р (некоторые студенты не отличники)

«Не» - отрицательная частица, может быть выражена и чертой над знаком: В, С.

а, b, с	начальные буквы латинского алфавита используются для обозначения индивидуальных константных выражений, термов;
A, В, С	прописные начальные буквы лат. алфавита обозначают конкретные высказывания;
х, у, z	буквы в конце латинского алфавита обозначают индивидные переменные;
X,Y,Z	прописные буквы в конце лат. алф. обозначают переменные высказывания или пропозициональные переменные; или маленькие буквы середины лат. алф.: р, q, r…
~ ; ù	знаки для обозначения отрицания: «не», «неверно, что»;
Ù ; &	конъюнкция- логическая связка и высказывание содержащее связку в качестве главного знака: соединительный логический союз«и» (и волки сыты, и овцы целы).
Ú	неисключающая дизъюнкция- логическая связка и высказывание, содержащее такую связку в качестве главного знака: символ разделительного союза «или»;
ÚÚ	знак для обозначения строгой, исключающей, дизъюнкции: «либо, либо»;
®; É	импликация- логическая связка и высказывание, содержащее такую связку в качестве главного знака; символ условного союза «если.., то...»;
º ; «	символ логического союза тождества, эквивалентности высказываний: «если и только если…, то…», «тогда и только тогда …, когда …».
	знак, обозначающий выводимость одного высказывания из другого, из множества высказываний: «выводимо» (если высказывание А выводимо из пустого множества посылок, что записывается как « A», то знак « » читается: «доказуемо»);
T t F f	истина (от англ. true - истина); - ложь (от англ. false - ложь);
"	квантор общности: «все», «для всякого», «всем»;
$	квантор существования: «существует», «имеется по крайней мере один», «некоторые», «существуют такие», «многие».
L, N,	знаки для обозначения модального оператора необходимости: «необходимо, что»;
М, à	знаки для обозначения модального оператора возможности: «возможно, что».

Символика логическая

система знаков (символов), используемая в логике для обозначения термов, предикатов, выска-зываний, логических функций, отношений между высказываниями. В разных логических системах могут использоваться различные системы обозначений, поэтому ниже мы приводим лишь наиболее употребительные символы из числа используемых в литературе по логике:

Начальные буквы латинского алфавита, обычно используются для обозначения индивидуальных константных выражений, термов;

Прописные начальные буквы латинского алфавита, обычно используются для обозначения конкретных высказываний;

Буквы, стоящие в конце латинского алфавита, обычно используются для обозначения индивидных переменных;

Прописные буквы, стоящие в конце латинского алфавита, обычно используются для обозначения переменных высказываний или пропозициональных переменных; для той же цели часто используют маленькие буквы середины латинского алфавита: р, q, r, ...;

символика логическая; u

Знаки, служащие для обозначения отрицания; читаются: "не", "неверно что";

Знаки для обозначения конъюнкции - логической связки и высказывания, содержащего такую связку в качестве главного знака; читаются: "и";

Знак для обозначения неисключающей дизъюнкции - логической связки и высказывания, содержащего такую связку в качестве главного знака; читается: "или";

Знак для обозначения строгой, или исключающей, дизъюнкции; читается: "либо, либо";

Знаки для обозначения импликации - логической связки и высказывания, содержащего такую связку в качестве главного знака; читаются: "если, то";

Знаки для обозначения эквивалентности высказываний; читаются: "если и только если";

Знак, обозначающий выводимость одного высказывания из другого, из множества высказываний; читается: "выводимо" (если высказывание А выводимо из пустого множества посылок, что записывается как " A", то знак " " читается: "доказуемо");

Истина (от англ. true - истина); - ложь (от англ. false - ложь);

Квантор общности; читается "для всякого", "всем";

Квантор существования; читается: "существует", "имеется по крайней мере один";

Знаки для обозначения модального оператора необходимости; читаются: "необходимо, что";

Знаки для обозначения модального оператора возможности; читаются: "возможно, что".

Наряду с перечисленными в многозначных, временных, деонтических и других системах логики используются свои специфические символы, однако каждый раз разъясняется, что именно тот или иной символ обозначает и как он читается (см.: Знак логический).

Словарь по логике. - М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС . А.А.Ивин, А.Л.Никифоров . 1997 .

Смотреть что такое "символика логическая" в других словарях:

- (Логические постоянные) термины, относящиеся к логической форме рассуждения (доказательства, вывода) и являющиеся средством передачи человеческих мыслей и выводов, заключений в любой области. К Л. к. относятся такие слова, как не, и, или, есть … Словарь терминов логики

ГОСТ Р ИСО 22742-2006: Автоматическая идентификация. Кодирование штриховое. Символы линейного штрихового кода и двумерные символы на упаковке продукции - Терминология ГОСТ Р ИСО 22742 2006: Автоматическая идентификация. Кодирование штриховое. Символы линейного штрихового кода и двумерные символы на упаковке продукции оригинал документа: 3.8 Data Matrix: Двумерная матричная символика с коррекцией… …

- (Wittgenstein) Людвиг (1889 1951) австро англ. философ, Проф. философии в Кембриджском ун те в 1939 1947. Филос. взгляды В. сформировались как под воздействием определенных явлений в австр. культуре нач. 20 в., так и в результате творческого… … Философская энциклопедия

- (греч. logike̅́) наука о приемлемых способах рассуждения. Слово «Л.» в его современном употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч. lógos, от которого оно происходит. В духе традиции с понятием Л … Большая советская энциклопедия

- (от греч. semeiot знак) общая теория знаковых систем, изучающая свойства знаковых комплексов самой различной природы. К таким системам относятся естественные языки, письменные и устные, разнообразные искусственные языки, начиная с формализованных … Философская энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Корова (значения). ? Домашняя корова … Википедия

Исчисление понятий - «ИСЧИСЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ» («Запись в понятиях») сочинение немецкого математика и логика Готтлоба Фреге, положившее начало современной форме математической (символической) логики. Полное название этого сочинения включало указание на то, что в… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

ВИТГЕНШТЕЙН (WITTGENSTEIN) Людвиг - (1889 1951) австр. философ. Проф. философии в Кембриджском ун те в 1939 47 . Философские взгляды В. сформировались как под воздействием определенных явлений в австр. культуре начала XX в., так и в результате творческого освоения новых достижений… … Современная западная философия. Энциклопедический словарь

код - 01.01.14 код [ code]: Совокупность правил, с помощью которых устанавливается соответствие элементов одного набора элементам другого набора. [ИСО/МЭК 2382 4, 04.02.01] Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

- (Comte) основатель позитивизма, род. 19 го января 1798 г. в Монпелье, где отец его был сборщиком податей. В лицее особенно успевал в математике. Поступив в политехническую школу, он удивлял профессоров и товарищей своим умственным развитием. В… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Логические символы связывают события в соответствии с их причинными взаимосвязями. Логический знак может иметь один или несколько входов, но только один выход или выходное событие.

Выходное событие логического знака «И» наступает в том случае, если все входные события появляются одновременно. Выходное событие логического знака «ИЛИ» происходит, если имеет место любое из входных событий.

Причинные связи, выраженные логическими знаками «И» и «ИЛИ», являются детерминированными, так как появление выходного события полностью определяется входными событиями. Имеются причинные связи, которые являются не детерминированными, а вероятностными.

Шестиугольник, являющийся логическим знаком запрета, используется для представления вероятностных причинных связей. Событие, помещённое под логическим знаком запрета, называется входным событием, в то время как событие, расположенное сбоку от логического знака, называется условным событием. Условное событие принимает форму события при условии появления входного события. Выходное событие происходит, если и входное и условное события имеют место, т.е. входное событие вызывает выходное событие с вероятностью (обычно постоянной) появления условного события.

Логический знак «приоритетное И» эквивалентен логическому знаку «И» с дополнительным требованием того, чтобы события на входе происходили в определённом порядке. Событие на выходе появляется, если события на входе происходят в определенной последовательности (слева направо). Появление событий на входе в другом порядке не вызывает события на выходе.

Логический элемент «исключающее ИЛИ» описывает ситуацию, в которой событие на выходе появляется, если одно из двух (но не оба) событий происходит на входе.

В общем случае можно ввести новые логические знаки для представления специальных типов причинных связей. Следует отметить, что большинство специальных логических знаков можно заменить комбинацией логических знаков «И» либо «ИЛИ».

Таблица 2

Логические символы

№ п/п	Символ логического знака	Название логического знака	Причинная взаимосвязь
		Знак «И»	Выходное событие происходит, если все входные события случаются одновременно
		Знак «ИЛИ»	Выходное событие происходит, если случается любое из входных событий
		Знак «Запрет»	Наличие входа вызывает появление выхода тогда, когда происходит условное событие.
		Знак «Приоритетное И»	Выходное событие имеет место, если все входные события происходят в нужном порядке слева направо
		Знак «Исключающее ИЛИ»	Выходное событие происходит, если случается одно (но не оба) из входных событий

В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.

Математические символы:

Например, применяя символ «> » к числам a, b, получим запись «a > b », которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b ». Если – обозначения прямых, то запись есть утверждение, что параллельна . Запись «x M » означает, что x является элементом множества M .

Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к высказываниям и предикатам .

Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2 2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2 2 = 4».

Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x , а предложение: «a + b = c» – предикат от трех переменных a, b, c .

Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.

Будем обозначать предикаты как функции: Q (x ) = «x > 0», F (x,b,c ) = «x + b = c ».

Логические символы: .

1. Отрицание применяется к одному высказыванию или предикату, соответствует частице «не» и обозначается .

Например, формула есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

2. Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается: А & B (или A B ).

Так формула (–3 > 0) & (2 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 2 = 4», которое, очевидно, ложно.

3. Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается A B .

Предложение: «число x принадлежит множеству или множеству » изображается формулой: .

4. Импликация соответствует союзу «если …, то …» и обозначается: A B .

Так, запись «a > –1 a > 0» есть сокращение для предложения «если a > –1, то a > 0».

5. Эквиваленция A B соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B ».

Символы называются кванторами общности и существования , соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор читается: «существует», «найдется» и др.

Квантор общности применяется к предикату F (x, … ), содержащему одну переменную (например, x ) или несколько переменных, при этом получается формула

1. xF (x,… ), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F (x, … )» или «все x обладают свойством F (x, … )».

Например: x (x > 0) есть сокращение для фразы: «любое x больше 0», которая является ложным высказыванием.

Предложение: a (a > 0 a > –1) является истинным высказыванием.

2. Квантор существования , примененный к предикату F (x,… ) соответствует предложению «существует x , такой, что F (x,… )» («найдется x , для которого F (x,… )») и обозначается: xF (x,… ).

Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается формулой x (x R & x 2 = 2). Здесь квантор существования применен к предикату: F (x )= (x R & x 2 = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R ).

Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F (x, y ) содержит две переменные, то в предикате xF (x, y ) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x ). К предикату xF (x, y ) можно применить квантор общности или существования по переменной y , тогда полученная формула xF (x, y ) или xF (x, y ) является высказыванием.

⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество).

U+21D2 ⇒

⇒ {\displaystyle \Rightarrow }
→ {\displaystyle \to } \to
⊃ {\displaystyle \supset }
⟹ {\displaystyle \implies } \implies

U+2254 (U+003A U+003D)

U+003A U+229C

:=
:

:= {\displaystyle:=} :=
≡ {\displaystyle \equiv }
⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow }

U+0028 U+0029 () () {\displaystyle (~)} () U+22A2 ⊢ ⊢ {\displaystyle \vdash } \vdash U+22A8 ⊨ ⊨ {\displaystyle \vDash } \vDash , знак для оператора И-НЕ.

U+22A7 ⊧ Импликация (логическое следование): является моделью для … . Например, A ⊧ B означает, что из A следует B. В любой модели, где A ⊧ B, если А верно, то и B верно.

U+22A8 ⊨ Истина: является истиной.

U+22AC ⊬ Невыводимо: отрицание ⊢, символ невыводимо , например, T ⊬ P означает, что «P не является теоремой в T »

U+22AD ⊭ Неверно: не является истиной

U+22BC ⊼ НЕ-И: другой оператор НЕ-И, может быть записан также как ∧

U+22BD ⊽ ИЛИ-НЕ: оператор Исключающее ИЛИ, может быть записан также как V

U+22C4 ⋄ Ромб: модальный оператор для «возможно, что», «не обязательно нет» или, редко, «непротиворечиво» (в большинстве модальных логик оператор определяется как «¬◻¬»)

U+22C6 ⋆ Звёздочка: обычно используется как специальный оператор

U+22A5 ⊥ Кнопка вверх или U+2193 ↓ Стрелка вниз: стрелка Пирса , символ исключающего ИЛИ . Иногда «⊥» используется для противоречия или абсурда.

U+2310 ⌐ Отменённый НЕ

Следующие операторы редко поддерживаются стандартными фонтами. Если вы хотите использовать их на своей странице, вам следует всегда встраивать нужные фонты, чтобы браузер мог отражать символы без необходимости устанавливать фонты на компьютер.

Польша и Германия

В Польше квантор всеобщности иногда записывается как ∧ {\displaystyle \wedge } , а квантор существования как ∨ {\displaystyle \vee } . То же самое наблюдается в немецкой литературе.