Раскрытие модуля онлайн калькулятор. Калькулятор онлайн.Решение уравнений и неравенств с модулями
Инструкция
Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);
Легко заметить, что сложение и вычитание комплексных чисел подчиняется тому же правилу, что сложение и .
Произведение двух комплексных чисел равно:
z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.
Поскольку i^2 = -1, то конечный результат равен:
(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).
Операции возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел определяются так же, как и для действительных. Однако в комплексной области для любого числа существует ровно n таких чисел b, что b^n = a, то есть n корней n-ой степени.
В частности, это значит, что любое алгебраическое уравнение n-ой степени с одной переменной имеет ровно n комплексных корней, некоторые из которых могут быть и .
Видео по теме
Источники:
- Лекция "Комплексные числа" в 2019
Корнем называют значок, обозначающий математическую операцию нахождения такого числа, возведение которого в указанную перед знаком корня степень должно дать число, указанное под этим самым знаком. Часто для решения задач, в которых присутствуют корни, недостаточно только рассчитать значение. Приходится осуществлять и дополнительные операции, одной из которых является внесение числа, переменной или выражения под знак корня.
Инструкция
Определите показатель степени корня. Показателем называют целое число, указывающее степень, в которую надо возвести результат вычисления корня, чтобы получить подкоренное выражение (то число, из которого извлекается этот корень). Показатель степени корня в виде верхнего индекса перед значком корня. Если этот не указан, это квадратный корень, степень которого равна двойке. Например, показатель корня √3 двум, показатель ³√3 равен трем, показатель корня ⁴√3 равен четырем и т.д.
Возведите число, которое требуется внести под знак корня, в степень, равную показателю этого корня, определенную вами на предыдущем шаге. Например, если нужно внести число 5 под знак корня ⁴√3, то показателем степени корня является четверка и вам надо результат возведения 5 в четвертую степень 5⁴=625. Сделать это можно любым удобным вам способом - в уме, с помощью калькулятора или соответствующих -сервисов, размещенных .
Внесите полученное на предыдущем шаге значение под знак корня в качестве множителя подкоренного выражения. Для использованного в предыдущем шаге примера с внесением под корень ⁴√3 5 (5*⁴√3), это действие можно так: 5*⁴√3=⁴√(625*3).
Упростите полученное подкоренное выражение, если это возможно. Для примера из предыдущих шагов это , что нужно просто перемножить числа, стоящие под знаком корня: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. На этом операция внесения числа под корень будет завершена.
Если в задаче присутствуют неизвестные переменные, то описанные выше шаги можно проделать в общем виде. Например, если требуется внести под корень четвертой степени неизвестную переменную x, а подкоренное выражение равно 5/x³, то вся последовательность действий может быть записана так: x*⁴√(5/x³)=⁴√(x⁴*5/x³)=⁴√(x*5).
Источники:
- как называется знак корня
Действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел - это x^2+1=0. При его решении получается, что x=±sqrt(-1), а согласно законам элементарной алгебры, извлечь корень четной степени из отрицательного числа нельзя.
Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает.
Российский математик Ю.И. Манин
Уравнения с модулем
Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются уравнения, содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких уравнений необходимо знать определение и основные свойства модуля. Естественно, что учащиеся должны иметь навыки решения уравнений такого типа.
Основные понятия и свойства
Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:
К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:
Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.
Кроме того , если , где , то и
Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений с модулями , формулируются посредством следующих теорем:
Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство
Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .
Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .
Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Уравнения , содержащие переменные под знаком модуля».
Решение уравнений с модулем
Наиболее распространенным в школьной математике методом решения уравнений с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. В этой связи учащиеся должны знать и другие , более эффективные методы и приемы решения таких уравнений. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.
Пример 1. Решить уравнение . (1)
Решение. Уравнение (1) будем решать «классическим» методом –методом раскрытия модулей. Для этого разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.
1. Если , то , , , и уравнение (1) принимает вид . Отсюда вытекает . Однако здесь , поэтому найденное значение не является корнем уравнения (1).
2. Если , то из уравнения (1) получаем или .
Так как , то корень уравнения (1).
3. Если , то уравнение (1) принимает вид или . Отметим , что .
Ответ: , .
При решении последующих уравнений с модулем будем активно использовать свойства модулей с целью повышения эффективности решения подобных уравнений.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Так как и , то из уравнения следует . В этой связи , , , и уравнение принимает вид . Отсюда получаем . Однако , поэтому исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .
Отсюда получаем .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде . (2)
Полученное уравнение относится к уравнениям типа .
Принимая во внимание теорему 2, можно утверждать, что уравнение (2) равносильно неравенству . Отсюда получаем .
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение имеет вид . Поэтому , согласно теореме 3 , здесь имеем неравенство или .
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Положим , что . Так как , то заданное уравнение принимает вид квадратного уравнения , (3)
где . Поскольку уравнение (3) имеет единственный положительный корень и , то . Отсюда получаем два корня исходного уравнения: и .
Пример 7. Решить уравнение . (4)
Решение. Так как уравнение равносильно совокупности двух уравнений: и , то при решении уравнения (4) необходимо рассмотреть два случая.
1. Если , то или .
Отсюда получаем , и .
2. Если , то или .
Так как , то .
Ответ: , , , .
Пример 8. Решить уравнение . (5)
Решение. Так как и , то . Отсюда и из уравнения (5) следует, что и , т.е. здесь имеем систему уравнений
Однако данная система уравнений является несовместной.
Ответ: корней нет.
Пример 9. Решить уравнение . (6)
Решение. Если обозначить , то и из уравнения (6) получаем
Или . (7)
Поскольку уравнение (7) имеет вид , то это уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем . Так как , то или .
Ответ: .
Пример 10. Решить уравнение . (8)
Решение. Согласно теореме 1 можно записать
(9)
Принимая во внимание уравнение (8), делаем вывод о том, что оба неравенства (9) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений
Однако по теореме 3 приведенная выше система уравнений равносильна системе неравенств
(10)
Решая систему неравенств (10) получаем . Так как система неравенств (10) равносильна уравнению (8), то исходное уравнение имеет единственный корень .
Ответ: .
Пример 11. Решить уравнение . (11)
Решение. Пусть и , тогда из уравнения (11) вытекает равенство .
Отсюда следует, что и . Таким образом, здесь имеем систему неравенств
Решением данной системы неравенств являются и .
Ответ: , .
Пример 12. Решить уравнение . (12)
Решение. Уравнение (12) будем решать методом последовательного раскрытия модулей. Для этого рассмотрим несколько случаев.
1. Если , то .
1.1. Если , то и , .
1.2. Если , то . Однако , поэтому в данном случае уравнение (12) корней не имеет.
2. Если , то .
2.1. Если , то и , .
2.2. Если , то и .
Ответ: , , , , .
Пример 13. Решить уравнение . (13)
Решение. Поскольку левая часть уравнения (13) неотрицательна, то и . В этой связи , и уравнение (13)
принимает вид или .
Известно , что уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , решая которые получаем , . Так как , то уравнение (13) имеет один корень .
Ответ: .
Пример 14. Решить систему уравнений (14)
Решение. Так как и , то и . Следовательно, из системы уравнений (14) получаем четыре системы уравнений:
Корни приведенных выше систем уравнений являются корнями системы уравнений (14).
Ответ: ,, , , , , , .
Пример 15. Решить систему уравнений (15)
Решение. Так как , то . В этой связи из системы уравнений (15) получаем две системы уравнений
Корнями первой системы уравнений являются и , а из второй системы уравнений получаем и .
Ответ: , , , .
Пример 16. Решить систему уравнений (16)
Решение. Из первого уравнения системы (16) следует, что .
Так как , то . Рассмотрим второе уравнение системы. Поскольку , то , и уравнение принимает вид , , или .
Если подставить значение в первое уравнение системы (16) , то , или .
Ответ: , .
Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с решением уравнений , содержащих переменные под знаком модуля , можно посоветовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 200 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает.
Российский математик Ю.И. Манин
Уравнения с модулем
Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются уравнения, содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких уравнений необходимо знать определение и основные свойства модуля. Естественно, что учащиеся должны иметь навыки решения уравнений такого типа.
Основные понятия и свойства
Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:
К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:
Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.
Кроме того , если , где , то и
Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений с модулями , формулируются посредством следующих теорем:
Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство
Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .
Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .
Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Уравнения , содержащие переменные под знаком модуля».
Решение уравнений с модулем
Наиболее распространенным в школьной математике методом решения уравнений с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. В этой связи учащиеся должны знать и другие , более эффективные методы и приемы решения таких уравнений. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.
Пример 1. Решить уравнение . (1)
Решение. Уравнение (1) будем решать «классическим» методом –методом раскрытия модулей. Для этого разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.
1. Если , то , , , и уравнение (1) принимает вид . Отсюда вытекает . Однако здесь , поэтому найденное значение не является корнем уравнения (1).
2. Если , то из уравнения (1) получаем или .
Так как , то корень уравнения (1).
3. Если , то уравнение (1) принимает вид или . Отметим , что .
Ответ: , .
При решении последующих уравнений с модулем будем активно использовать свойства модулей с целью повышения эффективности решения подобных уравнений.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Так как и , то из уравнения следует . В этой связи , , , и уравнение принимает вид . Отсюда получаем . Однако , поэтому исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .
Отсюда получаем .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде . (2)
Полученное уравнение относится к уравнениям типа .
Принимая во внимание теорему 2, можно утверждать, что уравнение (2) равносильно неравенству . Отсюда получаем .
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение имеет вид . Поэтому , согласно теореме 3 , здесь имеем неравенство или .
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Положим , что . Так как , то заданное уравнение принимает вид квадратного уравнения , (3)
где . Поскольку уравнение (3) имеет единственный положительный корень и , то . Отсюда получаем два корня исходного уравнения: и .
Пример 7. Решить уравнение . (4)
Решение. Так как уравнение равносильно совокупности двух уравнений: и , то при решении уравнения (4) необходимо рассмотреть два случая.
1. Если , то или .
Отсюда получаем , и .
2. Если , то или .
Так как , то .
Ответ: , , , .
Пример 8. Решить уравнение . (5)
Решение. Так как и , то . Отсюда и из уравнения (5) следует, что и , т.е. здесь имеем систему уравнений
Однако данная система уравнений является несовместной.
Ответ: корней нет.
Пример 9. Решить уравнение . (6)
Решение. Если обозначить , то и из уравнения (6) получаем
Или . (7)
Поскольку уравнение (7) имеет вид , то это уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем . Так как , то или .
Ответ: .
Пример 10. Решить уравнение . (8)
Решение. Согласно теореме 1 можно записать
(9)
Принимая во внимание уравнение (8), делаем вывод о том, что оба неравенства (9) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений
Однако по теореме 3 приведенная выше система уравнений равносильна системе неравенств
(10)
Решая систему неравенств (10) получаем . Так как система неравенств (10) равносильна уравнению (8), то исходное уравнение имеет единственный корень .
Ответ: .
Пример 11. Решить уравнение . (11)
Решение. Пусть и , тогда из уравнения (11) вытекает равенство .
Отсюда следует, что и . Таким образом, здесь имеем систему неравенств
Решением данной системы неравенств являются и .
Ответ: , .
Пример 12. Решить уравнение . (12)
Решение. Уравнение (12) будем решать методом последовательного раскрытия модулей. Для этого рассмотрим несколько случаев.
1. Если , то .
1.1. Если , то и , .
1.2. Если , то . Однако , поэтому в данном случае уравнение (12) корней не имеет.
2. Если , то .
2.1. Если , то и , .
2.2. Если , то и .
Ответ: , , , , .
Пример 13. Решить уравнение . (13)
Решение. Поскольку левая часть уравнения (13) неотрицательна, то и . В этой связи , и уравнение (13)
принимает вид или .
Известно , что уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , решая которые получаем , . Так как , то уравнение (13) имеет один корень .
Ответ: .
Пример 14. Решить систему уравнений (14)
Решение. Так как и , то и . Следовательно, из системы уравнений (14) получаем четыре системы уравнений:
Корни приведенных выше систем уравнений являются корнями системы уравнений (14).
Ответ: ,, , , , , , .
Пример 15. Решить систему уравнений (15)
Решение. Так как , то . В этой связи из системы уравнений (15) получаем две системы уравнений
Корнями первой системы уравнений являются и , а из второй системы уравнений получаем и .
Ответ: , , , .
Пример 16. Решить систему уравнений (16)
Решение. Из первого уравнения системы (16) следует, что .
Так как , то . Рассмотрим второе уравнение системы. Поскольку , то , и уравнение принимает вид , , или .
Если подставить значение в первое уравнение системы (16) , то , или .
Ответ: , .
Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с решением уравнений , содержащих переменные под знаком модуля , можно посоветовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 200 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – .
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Модуль – это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Если отталкиваться от установленных свойств модуля, то в процессе составляются различные уравнения или же неравенства от исходного выражения, которые затем необходимо решить. Разберемся же с тем, как решать модули.
Процесс решения
Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Для этого нужно записать некоторую систему из неравенств соответственно всем модулям в исходном неравенстве. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту самую числовую прямую, на которой в дальнейшем отложить все полученные значения.
Практически все сейчас можно сделать в интернете. Не является исключением из правил и модуль. Решить онлайн его можно на одном из многочисленных современных ресурсов. Все те значения переменной, которые находятся в нулевом модуле, будут особым ограничением, которое будет использовано в процессе решения модульного уравнения. В исходном уравнении требуется раскрыть все имеющиеся модульные скобки, при этом, изменяя знак выражения, таким образом, чтобы значения искомой переменной совпадали с теми значениями, которые видно на числовой прямой. Полученное уравнение необходимо решить. То значение переменной, которое будет получено в ходе решения уравнения, нужно проверять на ограничение, которое задано самим модулем. Если значение переменной полностью удовлетворяет условие, то оно является правильным. Все корни, которые будут получены в ходе решения уравнения, но не будут подходить по ограничениям, должны быть отброшены.