Раскрытие скобок — Гипермаркет знаний. Объяснение новой темы - "Раскрытие скобок" (6 класс)

«Раскрытие скобок» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)

Краткое описание:

В этом разделе Вы будете учиться раскрывать скобки в примерах. Для чего это нужно? Все для того же, что и раньше – чтобы Вам было легшее и проще считать, чтобы допускать меньше ошибок, а в идеале (мечта Вашего учителя математики) для того, чтобы вообще все решать без ошибок.
Вы уже знаете, что скобки в математической записи ставятся, если подряд идут два математических знака, если мы хотим показать объединение чисел, их перегруппировку. Раскрыть скобки означает избавиться от лишних знаков. Например: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. А помните распределительное свойство умножения относительно сложения? Ведь в том примере мы также избавлялись от скобок для упрощения вычислений. Названное свойство умножения также можно применять для четырех, трех, пяти и более слагаемых. Для примера: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Вы заметили, что при раскрытии скобок числа, находящиеся в них не меняют знака, если стоящее перед скобками число положительное? Ведь пятнадцать – положительное число. А если решить такой пример: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+(-120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. У нас перед скобками стояло отрицательное число минус пятнадцать, когда мы раскрыли скобки все числа стали менять свой знак на другой — противоположный – с плюса на минус.
Исходя из вышеуказанных примеров, можно озвучить два основных правила раскрытия скобок:
1. Если у Вас перед скобками стоит положительное число, то после раскрытия скобок все знаки чисел, стоявших в скобках, не изменяются, а остаются точно такими же как и были.
2. Если у Вас перед скобками стоит отрицательное число, то после раскрытия скобок знак минуса больше не пишется, а знаки всех абсолютно чисел, стоявших в скобках, резко меняются на противоположные.
Для примера: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Немного усложним наши примеры: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Вы заметили, что раскрывая вторые скобки, мы умножали на 2, но знаки оставались теми же как и были. А вот такой пример: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, в этом примере число два — отрицательное, оно перед скобками стоит со знаком минус, поэтому раскрывая их, мы меняли знаки чисел на противоположные (девять было с плюсом, стало с минусом, восемь было с минусом, стало с плюсом).

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений . Например , в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение : В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой - пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) - напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей .

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение : Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение : У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку - каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
- сначала первое…

Потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
- внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
- раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение , просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.

Раскрытие скобок - это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

сформировать способность к раскрытию скобок с учетом знака, стоящего перед скобками;

развивающие:

развивать логическое мышление, внимание, математическую речь, умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

воспитывающие:

формирование ответственности, познавательного интереса к предмету

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверь-ка дружок
Ты готов на урок?
Всё ли на месте? Всё в порядке?
Ручка, книжка и тетрадка.
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?

Начать урок я хочу с вопроса к вам:

Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (Ответы детей.)

Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный ученый Аль-Бируни: “Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит”.

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

II. Актуализация прежних знаний, умений, навыков:

Устный счет:

1.1. Какое сегодня число?

2. Расскажите, что вы знаете о числе 20?

3. А где расположено это число на координатной прямой?

4. Назовите число ему обратное.

5. Назовите число ему противоположное.

6. Как называется число – 20?

7. Какие числа называются противоположными?

8. Какие числа называются отрицательными?

9. Чем равен модуль числа 20? – 20?

10. Чему равна сумма противоположных чисел?

2. Объясните следующие записи:

а) Гениальный математик древности Архимед родился в 0 287 г.

б) Гениальный русский математик Н.И.Лобаческий родился в 1792 г.

в) Первые олимпийские игры состоялись в Греции в – 776 г.

г) Первые Международные олимпийские игры состоялись в 1896 г.

д) XXII Олимпийские зимние игры состоялись в 2014 году.

3. Узнайте, какие числа крутятся на “математической карусели” (все действия выполняются устно).

II. Формирование новых знаний, умений, навыков.

Вы научились выполнять разные действия с целыми числами. Чем же будем заниматься дальше? Как будем решать примеры и уравнения?

Давайте найдем значение данных выражений

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Какой порядок действий в 1 примере? Сколько получилось в скобках? Порядок действий во втором примере? Результат первого действия? Что можно сказать об этих выражениях?

Конечно результаты первого и второго выражений одинаковы, значит между ними можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Что же мы сделали со скобками? (Опустили.)

Как вы думаете чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Дети формулируют тему урока.) В нашем примере, какой знак стоит перед скобками. (Плюс.)

И так мы подошли к следующему правилу:

Если перед скобками стоит знак +, то можно опустить скобки и этот знак +, сохраняя знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком +.

А как быть, если перед скобками стоит знак минус?

В этом случае нужно рассуждать так же как при вычитании: необходимо прибавить число противоположное вычитаемому:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

– Итак, мы раскрыли скобки, когда перед ними стоял знак минус.

Правило раскрытия скобок, когда перед скобками стоит знак “-“.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак -, надо заменить этот знак на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Давайте послушаем правила раскрытия скобок в стихах:

Перед скобкой плюс стоит.
Он о том и говорит
Что ты скобки опускай
Да все знаки выпускай!
Перед скобкой минус строгий
Загородит нам дорогу
Чтобы скобки убирать
Надо знаки поменять!

Да ребята знак минус очень коварный, это “ сторож” у ворот(скобки), он выпускает числа и переменные только тогда, когда они поменяют “ паспорта”, то есть свои знаки.

Зачем вообще нужно раскрывать скобки? (Когда есть скобки, есть момент какой-то элемент незавершенности, какой-то тайны. Это – как закрытая дверь, за которой находится что-то интересное.) Вот сегодня мы изведали эту тайну.

Небольшой экскурс в историю:

Фигурные скобки появляются в сочинениях Виета (1593). Широкое применение скобки получили лишь в первой половине XVIII века, благодаря Лейбницу и ещё больше Эйлеру.

Физкультминутка.

III. Закрепление новых знаний, умений, навыков.

Работа по учебнику:

№ 1234 (раскройте скобки) – устно.

№ 1236(раскройте скобки) – устно.

№ 1235 (найдите значение выражения) – письменно.

№ 1238 (упростите выражения) – работа в парах.

IV. Подведение итогов урока.

1. Объявляются оценки.

2. Дом. задание. п.39 №1254 (а, б, в),1255 (а, б, в),1259.

3. Чему мы сегодня научились?

Что нового узнали?

И завершить урок я хочу пожеланиями каждому из вас:

“К математике способность проявляй,
Не ленись, а ежедневно развивай.
Умножай, дели, трудись, соображай,
С математикой дружить не забывай”.

А+(b + с) можно записать без скобок: a+(b + c)=a + b + c. Эту операцию называют раскрытием скобок.

Пример 1. Раскроем скобки в выражении а + (- b + c).

Решение. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Если перед скобками стоит знак « + » то можно опустить скобки и этот знак « + » сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком « + ».

Пример 2. Найдем значение выражения -2,87+ (2,87-7,639).

Решение. Раскрывая скобки, получим - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 =0 - 7,639 = - 7,639.

Чтобы найти значение выражения - (- 9 + 5), надо сложить числа -9 и 5 и найти число, противоположное полученной сумме: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

То же значение можно получить по-другому: вначале записать числа, противоположные данным слагаемым (т. е. изменить их знаки), а потом сложить: 9 + (- 5) = 4. Таким образом, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых.

Значит, - (а + b) = - а - b.

Пример 3. Найдем значение выражения 16 - (10 -18 + 12).

Решение. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо заменить этот знак на « + », поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Пример 4. Найдем значение выражения 9,36-(9,36 - 5,48).

Решение. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.

Раскрытие скобок и применение переместительного и сочетательного свойств сложения позволяют упрощать вычисления.

Пример 5. Найдем значение выражения (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Решение. Сначала раскроем скобки, а потом найдем отдельно сумму всех положительных и отдельно сумму всех отрицательных чисел и, наконец, сложим полученные результаты:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Пример 6. Найдем значение выражения

Решение. Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их целой и дробной частей, затем раскроем скобки, потом сложим отдельно целые и отдельно дробные части и, наконец, сложим полученные результаты:

Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак « + »? Как можно найти значение выражения, противоположное сумме нескольких чисел? Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « - »?

1218. Раскройте скобки:

а) 3,4+(2,6+ 8,3); в) m+(n-k);

б) 4,57+(2,6 - 4,57); г) с+(-a + b).

1219. Найдите значение выражения:

1220. Раскройте скобки:

а) 85+(7,8+ 98); г) -(80-16) + 84; ж) a-(b-k-n);
б) (4,7 -17)+7,5; д) -а + (m-2,6); з) -(а-b + с);
в) 64-(90 + 100); е) с+(- а-b); и) (m-n)-(p-k).

1221. Раскройте скобки и найдите значение выражения:

1222. Упростите выражение:

1223. Напишите сумму двух выражений и упростите ее:

а) - 4 - m и m + 6,4; г) а+b и р - b
б) 1,1+а и -26-а; д) - m + n и -k - n;
в) а + 13 и -13 + b; е)m - n и n - m.

1224. Напишите разность двух выражений и упростите ее:

1226. Решите с помощью уравнения задачу:

а) На одной полке 42 книги, а на другой 34. Со второй полки сняли несколько книг, а с первой - столько, сколько осталось на второй. После этого на первой полке осталось 12 книг. Сколько книг сняли со второй полки?

б) В первом классе 42 ученика, во втором на 3 ученика меньше, чем в третьем. Сколько учеников в третьем классе, если всего в этих трех классах 125 учеников?

1227. Найдите значение выражения:

1228. Вычислите устно:

1229. Найдите наибольшее значение выражения:

1230. Укажите 4 последовательных целых числа, если:

а) меньшее из них равно -12; в) меньшее из них равно n;
б) большее из них равно -18; г) большее из них равно k.

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

На этом уроке вы узнаете, как из выражения, содержащего скобки, путем преобразования получить выражение, в котором скобок нет. Вы научитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит знак плюс и знак минус. Мы вспомним, как раскрывать скобки, используя распределительный закон умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Тема: Решение уравнений

Урок: Раскрытие скобок

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+». Использование сочетательного закона сложения.

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

Слева от знака равно выражение со скобками, а справа - выражение без скобок. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Раскрыв скобки, мы изменили порядок действий. Считать стало удобнее.

Пример 2.

Пример 3.

Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сформулируем правило:

Замечание.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его надо записать со знаком «плюс».

Можно выполнить пример по действиям. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

Если следовать указанному порядку действий, то нужно сначала из 512 вычесть 345, а затем к результату прибавить 1345. Раскрыв скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим вычисления.

Иллюстрирующий пример и правило.

Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Получим -7.

С другой стороны, тот же самый результат можно получить, сложив числа, противоположные исходным.

Сформулируем правило:

Пример 1.

Пример 2.

Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых.

Пример 3.

Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми.

Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

Сначала умножим первую скобку на 2, а вторую - на 3.

Перед первой скобкой стоит знак «+», значит, знаки нужно оставить без изменения. Перед второй стоит знак «-», следовательно, все знаки нужно поменять на противоположные

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс - ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.

1. Онлайн тесты по математике ().
2. Можно скачать указанные в п. 1.2. книги ().

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
2. Домашнее задание: № 1254, № 1255, № 1256 (б,г)
3. Другие задания: № 1258(в), № 1248