Решение неравенств с помощью графиков функций. Линейные неравенства, примеры, решения

Приближённое решение неравенств.

Графическое решение неравенств с одним неизвестным.

Графическое решение систем неравенств с двумя неизвестными.

Пересечение решений.

Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным , необходимо перенести все его члены в одну часть, т. e . привести к виду:

f ( x ) > 0 ,

и построить график функции y = f (x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции (см. ), которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x , внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b ( рис.30 ). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f (x ) > 0: x < a и x > b ( они выделены жирными стрелками ). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой: < , .

Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т. e . привести неравенства к виду:

и построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) , ... , y = h ( x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т. e . их общую часть.

П р и м е р. Решить графически систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала построим графики функций y = - 2 / 3 x + 2 и

y = x 2 - 1 (рис.31):

Решением первого неравенства является интервал x > 3, обозначенный на рис.31 чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов: x < - 1 и x > 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.

Чтобы решить графически систему двух неравенств сдвумя неизвестными, надо:

1) в каждом из них перенести все члены в одну часть, т. e . привести

нера венства к виду:

2) построить графики функций, заданных неявно: f (x , y ) = 0 и g (x , y ) = 0;

3) каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части:

в одной из них неравенство справедливо, в другой – нет; чтобы решить

графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить

справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой

части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит

эта часть координатной плоскости является его решением, если нет – то

решением является противоположная часть плоскости ;

4) решением заданной системы неравенств является пересечение

(общая область) частей координатной плоскости.

П р и м е р. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала строим графики линейных функций: 5 x – 7 y = - 11 и

2 x + 3 y = 10 ( рис.32). Для каждой из них находим полуплоскость,

внутри которой соответствующее заданное неравенство

справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить справедливость

Неравенства в одной произвольной точке области; в данном

случае легче всего использовать для этого начало координат O (0, 0 ).

Подставляя его координаты в наши неравенства вместо x и y ,

Получим: 5 · 0 – 7 · 0 = 0 > - 11, следовательно, нижняя

полуплоскость (жёлтого цвета ) является решением первого

Неравенства; 2 · 0 + 3 · 0 = 0 < 10, поэтому второе неравенство

Имеет своим решением также нижнюю полуплоскость (голубого

цвета ). Пересечение этих полуплоскостей ( область цвета бирюзы )

является решением нашей системы неравенств.

Пусть задано линейное неравенство с двумя переменными и

(1)

Если величины ирассматривать как координаты точки плоскости, то совокупность точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (1), называется областью решений данного неравенства. Следовательно, областью решений неравенства (1) является полуплоскость с граничной прямой линией
.

Пример 1.

.

Решение. Строим прямую
по двум точкам, например, по точкам пересечения с осями координат (0; 4) и (6; 0). Эта линия делит плоскость на две части, т.е. на две полуплоскости. Берем любую точку плоскости, не лежащую на построенной прямой. Если координаты точки удовлетворяют заданному неравенству, то областью решений является та полуплоскость, в которой находится эта точка. Если же получаем неверное числовое неравенство, то областью решений является та полуплоскость, которой эта точка не принадлежит. Обычно для контроля берут точку (0; 0).

Подставим
и
в заданное неравенство. Получим
. Следовательно, полуплоскость «к нулю» является областью решений данного неравенства (заштрихованная часть рис. 1).

Пример 2. Найти полуплоскость, определяемую неравенством

.

Решение. Строим прямую
, например, по точкам (0; 0) и (1; 3). Т.к. прямая проходит через начало координат, точку (0; 0), то нельзя брать ее для контроля. Возьмем, например, точку (– 2; 0) и подставим ее координаты в заданное неравенство. Получим
. Это неверно. Значит, областью решений данного неравенства будет та полуплоскость, которой не принадлежит контрольная точка (заштрихованная часть рис. 2).

2. Область решений системы линейных неравенств.

Пример. Найти область решений системы неравенств:

Решение. Находим область решений I-го неравенства (рис. 1) и II-го неравенства (рис. 2).

Все точки части плоскости, где штриховка наложилась, будут удовлетворять и первому и второму неравенству. Таким образом, получена область решений заданной системы неравенств (рис. 3).

Если к заданной системе неравенств добавить условия
и
, то область решений системы неравенств
будет находиться только вI координатной четверти (рис. 4).

Принцип нахождения решения системы линейных неравенств не зависит от количества неравенств, входящих в систему.

Примечание : Область допустимых решений (ОДР) если существует, то представляет собой замкнутый или незамкнутый выпуклый многоугольник.

3. Алгоритм графического метода решения злп

Если задача линейного программирования содержит только две переменные, то ее можно решить графическим методом, выполняя следующие операции:

Пример. Решить задачу линейного программирования графическим методом

max

Решение. Третье и четвертое ограничения системы – двойные неравенства, преобразуем их к более привычному для подобных задач виду
, это
и
, т.о. первое из полученных неравенств
(или
) относится к условию неотрицательности, а второе
к системе ограничений. Аналогично,
это
и
.

Т.о. задача примет вид

max

,

Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область допустимых решений по уравнениям прямых:

;
;
;
.

Областью решений неравенств является пятиугольник ABCDE .

Построим вектор
. Через начало координат перпендикулярно вектору проведем линию уровня. И затем будем перемещать ее параллельно самой себе в направлении векторадо точки выхода из области допустимых решений. Это будет точкаС . Найдем координаты этой точки, решив систему, состоящую из уравнений первой и четвертой прямых:

.

Подставим координаты точки С в целевую функцию и найдем ее максимальное значение
Пример. Построить линии уровня
и
для задачи линейного программирования:

max (min )

Решение. Область допустимых решений – открытая область (рис. 6). Линия уровня
проходит через точкуВ . Функция Z имеет минимум в этой точке. Линию уровня
построить нельзя, так как нет точки выхода из области допустимых решений, это значит, что
.

Задания для самостоятельной работы .

Найти область решений системы неравенств:

а)б)

Решить графически задачу линейного программирования

min

Составить экономико-математическую модель и решить графически задачу линейного программирования

Фирма выпускает изделия двух видов А и В. Изделия каждого вида обрабатывают на двух станках (I и II). Время обработки одного изделия каждого вида на станках, время работы станков за рабочую смену, прибыль фирмы от реализации одного изделия вида А и вида В занесены в таблицу:

Изучение рынка сбыта показало, что ежедневный спрос на изделия вида В никогда не превышает спрос на изделия вида А более чем на 40 единиц, а спрос на изделия вида А не превышает 90 единиц в день.

Определить план производства изделий, обеспечивающий наибольшую прибыль.

см. также Решение задачи линейного программирования графически , Каноническая форма задач линейного программирования

Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F = C 1 x + C 2 y , которую необходимо максимизировать.

Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x ; y ) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x – 5 y ≥ 42 удовлетворяют пары (x , y ) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax + by ≤ c , ax + by ≥ c . Прямая ax + by = c делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax + by >c , а другой неравенству ax + +by <c .
Действительно, возьмем точку с координатой x = x 0 ; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x 0 , имеет ординату

Пусть для определенности a < 0, b >0, c >0. Все точки с абсциссой x 0 , лежащие выше P (например, точка М ), имеют y M >y 0 , а все точки, лежащие ниже точки P , с абсциссой x 0 , имеют y N <y 0 . Поскольку x 0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки, для которых ax + by > c , образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax + by < c .

Рисунок 1

Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a , b , c .
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:

1. Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
2. Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
3. Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
4. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.

Рассмотрим три соответствующих примера.

Пример 1. Решить графически систему:
x + y – 1 ≤ 0;
–2 x – 2y + 5 ≤ 0.

• рассмотрим уравнения x+y–1=0 и –2x–2y+5=0 , соответствующие неравенствам;
• построим прямые, задающиеся этими уравнениями.

Рисунок 2

Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x + y– 1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x – 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.

Пример 2. Найти графически решения системы неравенств:

Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x + 2y – 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y – 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x – 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых


Таким образом, А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2).

Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.

Система состоит из неравенств от двух переменных:

Для решения системы необходимо:

1. Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.

2. Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.

3. Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.

4. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна. Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.

Пример 3. Решить графически систему:

Рассмотрим уравнения x + y–1 = 0 и –2x – 2y + 5 = 0, соответствующие неравенствам. Построим прямые, задающиеся этими уравнениями (Рис. 3).

Рисунок 3 – Изображение прямых

Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x+ y– 1 ≤ 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x – 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.

Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.

Пример 4. Найти графически решения системы неравенств:

1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые (Рис. 4).

x + 2y– 2 = 0 x 2 0

y – x – 1 = 0 x 0 2

y + 2 = 0; y = –2.

Рисунок 4 – Изображение прямых

2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:

0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y– 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;

0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x– 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;

0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.

3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых

Таким образом, А(–3; –2), В(0; 1), С(6; –2).

Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы неограничена.

Пример 5. Решить графически систему

Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые (Рис. 5).

Рисунок 5 – Изображение прямых

x + y – 1 = 0 x 0 1

y – x – 1 = 0 x 0 –1

Определим знаки в полуплоскостях. Выберем точку (0; 0):

0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y – x – 1 ≤ 0 ниже прямой;

0 + 0 – 1 ≤ 0, т.е. x + y – 1 ≤ 0 ниже прямой.

Пересечением двух полуплоскостей является угол с вершиной в точке А(0;1). Эта неограниченная область является решением исходной системы неравенств.

График линейного или квадратного неравенства строится так же, как строится график любой функции (уравнения). Разница заключается в том, что неравенство подразумевает наличие множества решений, поэтому график неравенства представляет собой не просто точку на числовой прямой или линию на координатной плоскости. С помощью математических операций и знака неравенства можно определить множество решений неравенства.

Шаги

Графическое изображение линейного неравенства на числовой прямой

1. Решите неравенство. Для этого изолируйте переменную при помощи тех же алгебраических приемов, которыми пользуетесь при решении любого уравнения. Помните, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число (или член), поменяйте знак неравенства на противоположный.

   • Например, дано неравенство 3 y + 9 > 12 {\displaystyle 3y+9>12} . Чтобы изолировать переменную, из обеих сторон неравенства вычтите 9, а затем обе стороны разделите на 3:
     3 y + 9 > 12 {\displaystyle 3y+9>12}
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 {\displaystyle 3y+9-9>12-9}
     3 y > 3 {\displaystyle 3y>3}
     3 y 3 > 3 3 {\displaystyle {\frac {3y}{3}}>{\frac {3}{3}}}
     y > 1 {\displaystyle y>1}
   • Неравенство должно иметь только одну переменную. Если неравенство имеет две переменные, график лучше строить на координатной плоскости.

2. Нарисуйте числовую прямую. На числовой прямой отметьте найденное значение (переменная может быть меньше, больше или равна этому значению). Числовую прямую рисуйте соответствующей длины (длинную или короткую).

   • Например, если вы вычислили, что y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой отметьте значение 1.

3. Нарисуйте кружок, обозначающий найденное значение. Если переменная меньше ( < {\displaystyle <} ) или больше ( > {\displaystyle >} ) этого значения, кружок не закрашивается, потому что множество решений не включает это значение. Если переменная меньше или равна ( ≤ {\displaystyle \leq } ) или больше или равна ( ≥ {\displaystyle \geq } ) этому значению, кружок закрашивается, потому что множество решений включает это значение.

   • y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой нарисуйте незакрашенный кружок в точке 1, потому что 1 не входит в множество решений.

4. На числовой прямой заштрихуйте область, определяющую множество решений. Если переменная больше найденного значения, заштрихуйте область справа от него, потому что множество решений включает все значения, которые больше найденного. Если переменная меньше найденного значения, заштрихуйте область слева от него, потому что множество решений включает все значения, которые меньше найденного.

   • Например, если дано неравенство y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой заштрихуйте область справа от 1, потому что множество решений включает все значения больше 1.

   Графическое изображение линейного неравенства на координатной плоскости

   1. Решите неравенство (найдите значение y {\displaystyle y} ). Чтобы получить линейное уравнение, изолируйте переменную на левой стороне при помощи известных алгебраических методов. В правой части должна остаться переменная x {\displaystyle x} и, возможно, некоторая постоянная.

      • Например, дано неравенство 3 y + 9 > 9 x {\displaystyle 3y+9>9x} . Чтобы изолировать переменную y {\displaystyle y} , из обеих сторон неравенства вычтите 9, а затем обе стороны разделите на 3:
        3 y + 9 > 9 x {\displaystyle 3y+9>9x}
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 {\displaystyle 3y+9-9>9x-9}
        3 y > 9 x − 9 {\displaystyle 3y>9x-9}
        3 y 3 > 9 x − 9 3 {\displaystyle {\frac {3y}{3}}>{\frac {9x-9}{3}}}
        y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3}

   2. На координатной плоскости постройте график линейного уравнения. постройте график , как строите график любого линейного уравнения. Нанесите точку пересечения с осью Y, а затем при помощи углового коэффициента нанесите другие точки.

      • y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} постройте график уравнения y = 3 x − 3 {\displaystyle y=3x-3} . Точка пересечения с осью Y имеет координаты , а угловой коэффициент равен 3 (или 3 1 {\displaystyle {\frac {3}{1}}} ). Таким образом, сначала нанесите точку с координатами (0 , − 3) {\displaystyle (0,-3)} ; точка над точкой пересечения с осью Y имеет координаты (1 , 0) {\displaystyle (1,0)} ; точка под точкой пересечения с осью Y имеет координаты (− 1 , − 6) {\displaystyle (-1,-6)}

   3. Проведите прямую. Если неравенство строгое (включает знак < {\displaystyle <} или > {\displaystyle >} ), проведите пунктирную прямую, потому что множество решений не включает значения, лежащие на прямой. Если неравенство нестрогое (включает знак ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } ), проведите сплошную прямую, потому что множество решений включает значения, лежащие на прямой.

      • Например, в случае неравенства y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} проведите пунктирную прямую, потому что множество решений не включает значения, лежащие на прямой.

   4. Заштрихуйте соответствующую область. Если неравенство имеет вид y > m x + b {\displaystyle y>mx+b} , заштрихуйте область над прямой. Если неравенство имеет вид y < m x + b {\displaystyle y, заштрихуйте область под прямой.

      • Например, в случае неравенства y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} заштрихуйте область над прямой.

   Графическое изображение квадратного неравенства на координатной плоскости

   1. Определите, что данное неравенство является квадратным. Квадратное неравенство имеет вид a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} . Иногда неравенство не содержит переменную первого порядка ( x {\displaystyle x} ) и/или свободный член (постоянную), но обязательно включает переменную второго порядка ( x 2 {\displaystyle x^{2}} ). Переменные x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} должны быть изолированы на разных сторонах неравенства.

      • Например, нужно построить график неравенства y < x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. На координатной плоскости постройте график. Для этого преобразуйте неравенство в уравнение и постройте график , как строите график любого квадратного уравнения. Помните, что график квадратного уравнения является параболой.

      • Например, в случае неравенства y < x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y постройте график квадратного уравнения y = x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y=x^{2}-10x+16} . Вершина параболы находится в точке (5 , − 9) {\displaystyle (5,-9)} , и парабола пересекает ось Х в точках (2 , 0) {\displaystyle (2,0)} и (8 , 0) {\displaystyle (8,0)} .