С помощью чего изображают графически электрическое поле. Графическое изображение электростатических полей

Электростатическое поле удобно изображать графически с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовая линия – это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора напряженности (см. рис.). Силовым линиям придают направление стрелкой. Свойства силовых линий:

1 ) Силовые линии непрерывны. Они имеют начало и конец – начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.

2 ) Силовые линии не могут пересекаться друг с другом, т.к. напряженность – это сила, а две силы в данной точке от одного заряда не могут быть.

3 ) Силовые линии проводят так, чтобы их количество через единичную перпендикулярную площадку было пропорционально величине напряженности.

4 ) Силовые линии «выходят» и «входят» всегда перпендикулярно поверхности тела.

5 ) Силовую линию не следует путать с траекторией движущегося заряда. Касательная к траектории совпадает с направлением скорости, а касательная к силовой линии – с силой и, следовательно, с ускорением.

Эквипотенциальной поверхностью называют поверхность, в каждой точке которой потенциал имеет одинаковое значение j = const.

Силовые линии всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Докажем это. Пусть вдоль эквипотенциальной поверхности перемещается точечный заряд q . Элементарная работа, совершаемая при этом равна dA=qE×cosa×dl = q×dj = 0, т.к. dj = 0. Поскольку q ,E и ×dl ¹ 0, следовательно

cosa = 0 и a = 90 о.

На рисунке изображено электростатическое поле двух одинаковых точечных зарядов. Линии со стрелками – это силовые линии, замкнутые кривые – эквипотенциальные поверхности. В центре осевой линии, соединяющей заряды напряженность равна 0. На очень большом расстоянии от зарядов эквипотенциальные поверхности становятся сферическими. .

На этом рисунке показано однородноеполе – это поле, в каждой точке которого вектор напряженности остается постоянным по величине и направлению Эквипотенциальные поверхности – это плоскости, перпендикулярные силовым линиям. Вектор напряженности всегда направлен в сторону убывания потенциала.

Тема 1. Вопрос 6.

Принцип суперпозиции.

На основе опытных данных был получен принципа суперпозиции (наложения) полей: «Если электрическое поле создается несколькими зарядами, то напряженность и потенциал результирующего поля складываются независимо, т.е. не влияя друг на друга». При дискретном распределении зарядов напряженность результирующего поля равна векторной сумме, а потенциал алгебраической (с учетом знака) сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. При непрерывном распределении заряда в теле векторные суммы заменяется на интегралы, где dE и dj – напряженность и потенциал поля элементарного (точечного) заряда, выделенного в теле. Математически принцип суперпозиции можно записать так.

Тема 2. Вопрос 1.

Теорема Гаусса.

Сначала введем понятие «поток вектора » - это скалярная величина

(Н×м 2 /Кл = В×м)	элементарный поток вектора напряженности Е , n – нормаль к площадке, dS – элементарная площадка – это такая малая площадка, в пределах которой Е = const; Е n – проекция вектора Е на направление нормали n
	поток вектора напряженности через конечную площадку S
	-²- -²- -²-через замкнутую поверхность S

1) Сфера, заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м 2)

Рассмотрим области: 1) вне сферы () и внутри ее (). Выберем поверхности: 1) S 1 и 2) S 2 – обе поверхности – сферы, концентрические с заряженной сферой. Сначала найдем потоки вектора Е через выбранные поверхности, а затем воспользуемся теоремой.

(¨)	Потоки вектора Е через S 1 () и S 2 . () E ^n , a = 0, cosa = 1.
(¨¨)	по теореме Гаусса; F 2 = 0, т.к. S 2 не охватывает никаких зарядов. Приравнивая потоки из (¨) и (¨¨), найдем E(r) .

q = s×2pR 2 – полный заряд сферы	Вне сферы поле такое же, как поле точечного заряда. На границе сферы происходит скачок напряженности.

Тема 2. Вопрос 2.

Теорема Гаусса.

2)Тонкая длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда t (Кл/м)

В этом случае «гауссова» поверхность – соосный с нитью цилиндр длиной l .

Сначала найдем поток, потом воспользуемся теоремой Гаусса.

Тема 2. Вопрос 3.

Теорема Гаусса.

3) Тонкостенный длинный цилиндр , заряженный:

1) с линейной плотностью заряда t или

2) с поверхностной плотностью заряда s.

Этот пример аналогичен предыдущему. Выбираем гауссову поверхность в виде соосного цилиндра, разбиваем поверхность на боковую и две торциальные. В первом случае при заданной линейной плотности t получим такую же формулу, как идля длинной нити. Во втором случае охватываемый заряд равен (s×2p×R×l) и формула для E несколько иная, хотя зависимость от r – та же.

Тема 2. Вопрос 4.

Тела или частицы, обладающие электрическим зарядом, создают в окружающем их пространстве электрическое поле, являющееся одним из двух компонентов электромагнитного поля.

Что такое электрическое поле

После того как тело получило заряд, оно способно действовать на другие заряженные тела: притягивать тела с противоположным зарядом и отталкивать их, если они имеют такой же заряд.

Каким же образом происходит такое взаимодействие?

Зарядим металлический шарик, закреплённый на металлической подставке. Точно такой же по знаку заряд сообщим другому шарику из пенопласта, подвешенному на нити. Назовём его пробным. Перемещая его на разные расстояния, увидим, что нить с шариком отклоняется в любой точке пространства. Этот способ исследования называется методом пробного заряда .

Почему отклоняется пробный шарик?

Причина в том, что электрические заряды взаимодействуют друг с другом с помощью электрического поля, которое они создают в окружающем их пространстве. - это особый вид материи, с помощью которого это взаимодействие и происходит. Такое поле окружает каждый электрический заряд и действует на другие заряды с некоторой силой. Следовательно, электрическое поле – разновидность силового поля.

Характеризуется электрическое поле физической величиной, которую называют напряжённостью электрического поля . Это количественная характеристика , векторная величина. Она равна отношению силы, действующей на точечный заряд в данной точке поля, к величине этого заряда:

где - напряжённость электрического поля;

Сила, действующая на точечный заряд;

q – величина заряда.

Точечным называют заряженное тело, размеры которого настолько малы, что ими можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается воздействие этого заряда. Электрические поля, создаваемые такими зарядами, называют кулоновскими полями .

Силы, действующие на пробный заряд в разных точках электрического поля, отличаются по величине и направлению. Соответственно, различны и напряжённости в этих точках поля. Такое поле называют неоднородным .

Если модуль и направление напряжённости электрического поля одинаковы во всех его точках, то такое поле называется однородным .

Однородное поле создаётся в центре между двумя параллельными заряженными пластинами.

Электростатическое поле

Электрическое поле, созданное неподвижным и не меняющимся во времени зарядом, называется электростатическим полем .

Если электрическое поле образовано несколькими зарядами, то напряжённость в данной точке пространства равна сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности.

Графическое изображение электрического поля

Графически электрическое поле изображают с помощью силовых линий.

Силовая линия – это такая линия, касательная к которой в каждой её точке совпадает с направлением вектора напряжённости в этой точке.

Начинаются силовые линии на положительных зарядах или на бесконечности и заканчиваются на отрицательных, либо уходят в бесконечность. Они никогда не пересекаются и не касаются друг друга.

Силовые линии указывают направление действия силы, которая действует на положительно заряженную частицу со стороны электрического поля.

В общем эти линии имеют форму кривых . Но они могут быть и прямыми линиями в случае, если описывается поле одиночного точечного заряда.

Силовые линии положительного точечного заряда уходят в бесконечность.

Силовые линии отрицательного точечного заряда начинаются в бесконечности.

Совокупность двух точечных зарядов, равных по величине, но противоположных по знаку, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, называется электрическим диполем . В целом электрический диполь нейтрален.

Вот так выглядят силовые линии электрического диполя.

А вот так располагаются силовые линии двух одинаковых по знаку электрических зарядов.

Электростатический потенциал

Другой величиной, характеризующей электростатическое поле, является электростатический потенциал (точечный потенциал) . Это скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии взаимодействия электрического заряда с полем к величине этого заряда. Электростатический потенциал – это энергетическая характеристика электрического поля:

В вакууме электростатический потенциал точечного заряда определяют по формуле:

где q - величина заряда, r - расстояние от заряда-источника до точки, для которой рассчитывается потенциал;

Напряжённость электрического поля связана с его потенциалом следующим отношением:

Так как электрическое поле является потенциальным полем, то работа, совершаемая при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, равна:

A = W 1 – W 2 = qψ 1 – qψ 2 = q(ψ 1 – ψ 2)

Разность потенциалов ( ψ 1 – ψ 2) в электростатическом поле называется электрическим напряжением :

U = ( ψ 1 – ψ 2) = A/ q

Электрическое поле, созданное электрическими зарядами, называют потенциальным . Его силовые линии начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном. Электрическое поле, возникшее за счёт электромагнитной индукции, называется вихревым . Силовые линии такого поля замкнуты. Существуют комбинации потенциальных и вихревых полей.

Электрическое поле является одной из составляющих электромагнитного поля. Оно возникает не только вокруг электрических зарядов, но и при изменении магнитного поля.

В свою очередь, магнитное поле появляется при изменении электрического поля или создаётся током заряженных частиц.

Исследование электростатического поля с помощью электропроводной бумаги

Электрическое поле и его характеристики. Графическое изображение электрического поля. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности.

Электрическое поле – особый вид материи, существующий вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также при изменении магнитного поля (например, в электромагнитных волнах). Электрическое поле непосредственно невидимо, но может быть обнаружено благодаря его силовому воздействию на заряженные тела.

Основное свойство электростатического поля заключается в его воздействии на неподвижные электрические заряды.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика - напряженность электрического поля.

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля:

Направление вектора Е совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на единичный положительный заряд.

Электрический потенциал – это энергетическая характеристика электрического поля, которая выражает его напряжённость. Она определяет «потенциал», запас энергии, работу, которую можно будет совершить.

Потенциал численно равен потенциальной энергии единичного точечного положительного заряда, помещённого в данную точку поля:

Каждая точка электрического поля обладает потенциалом, а между двумя разными точками образуется разница потенциалов и возникает напряжение . Оно характеризует тот запас энергии, который может высвободиться при перемещении заряда между этими двумя точками внутри рассматриваемого электрического поля.

Напряжение определяется отношением работы электрического поля A к величине заряда q , который перемещается в нём:

Для наглядного графического представления поля удобно использовать силовые линии – направленные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля (рис. 153).

Силовые линии поля, создаваемого точечным зарядом, представляют собой набор прямых, выходящих (для положительного), или входящих (для отрицательных) в точку расположения заряда (рис. 154).

Свойства силовых линий электрического поля:

1.Силовые линии не пересекаются.

2.Силовые линии не имеют изломов.

3.Силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах или уходят в бесконечность.

Эквипотенциальная поверхность – поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковое значение:

φ (х; y; z ) = const.

Эквипотенциальные поверхности замкнуты и не пересекаются. Между двумя любыми точками на эквипотенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю. Это означает, что вектор силы в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.

Работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности dA = 0, так как dφ = 0.

Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд (рис.136).

Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности (рис.137).

4 ) Силовые линии «выходят» и «входят» всегда перпендикулярно поверхности тела.

cosa = 0 и a = 90 о.

Принцип суперпозиции.

В качестве примера получения выражения для напряженности поля с помощью принципа суперпозиции найдем напряженность поля тонкого стержня конечной длины , равномерно заряженного с линейной плотностью заряда t

Выберем бесконечно малый элемент dl стержня с зарядом dq . Поскольку напряженности от различных элементов направлены по-разному, введем оси проекций х и у . Итегрируя, найдем результирующие напряженности Е х и Е у .

	dE - напряженность от элемента стержня dl с зарядом dq = t×dl , dE х и dE y – проекции dE на направления х и у .
	Чтобы проинтегрировать, сведем к одной переменной a
	длина дуги АС при малых углах, она же из треугольника (А, С, dl )

		модуль напряженности

Этот пример показывает, что вычисление напряженности полей представляет собой достаточно сложную задачу даже в нашем случае, когда мы не учитывали поле вблизи концов стержня.

Основной задачей электростатики является вычисление полей заряженных тел. Найти напряженность поля заряженного тела можно с помощью:

1) принципа суперпозиции - это сложная математическая задача, решаемая только в некоторых простых случаях или

2) теоремы Гаусса, которая упрощает расчеты, но только в случае бесконечной плоскости, бесконечной нити (цилиндра) или сфер и шаров (см. ниже).

Теорема Гаусса.

Сначала введем понятие «поток вектора » - это скалярная величина

(Н×м 2 /Кл = В×м)	элементарный поток вектора напряженности Е , n – нормаль к площадке, dS – элементарная площадка – это такая малая площадка, в пределах которой Е = const; Е n – проекция вектора Е на направление нормали n
	поток вектора напряженности через конечную площадку S
	-²- -²- -²-через замкнутую поверхность S

Зная вектор напряженности электростатического поля в каждой его точке, можно представить это поле наглядно с помощью силовых линий напряженности (линий вектора E →). Силовые линии напряженности проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора напряженности E → (рис. 4, а).

Число линий, пронизывающих единичную площадку dS, перпендикулярную к ним, проводят пропорционально модулю вектора E → (рис. 4, б). Силовым линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора E → . Полученная картина распределения линий напряженности позволяет судить о конфигурации данного электрического поля в разных его точках. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных зарядах. На рис. 5 приведены линии напряженности точечных зарядов (рис. 5, а, б); системы двух разноименных зарядов (рис. 5, а б Рис. 4 Рис. 5 в) − пример неоднородного электростатического поля и двух параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 5, г) − пример однородного электрического поля.

Теорема Остроградского–Гаусса и её применение.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка , в пределах которой напряженность , т. е. электростатическое поле однородно. Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 10.7):

где - проекция поля на направление нормали .

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль к поверхности, т. е. нормаль, направленная наружу области.

Если разбить эту поверхность на малые площадки, определить элементарные потоки поля через эти площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора напряженности через замкнутую поверхность (рис. 10.8):

. (10.9)

Рис. 10.7

Рис. 10.8

Теорема Остроградского-Гаусса утверждает: поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность прямо пропорционален алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных внутри этой поверхности:

, (10.10)

где - алгебраическая сумма свободных зарядов, находящихся внутри поверхности , - объемная плотность свободных зарядов, занимающих объем .

Из теоремы Остроградского-Гаусса (10.10), (10.12) следует, что поток не зависит от формы замкнутой поверхности (сфера, цилиндр, куб и т.п.), а определяется только суммарным зарядом внутри этой поверхности.

Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией.

Пример использования теоремы Остроградского-Гаусса . Рассмотрим задачу о вычислении поля тонкостенного пологооднородно заряженного длинного цилиндра радиуса (тонкой бесконечной заряженной нити). Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра произвольного радиуса и длины , закрытого с обоих торцов (рис. 10.9)