Система уравнений с двумя переменными графический способ. Выразить у через х в каждом уравнении. Поднимаем руки выше

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Поповская средняя общеобразовательная школа

имени Героя Советского Союза Н.К. Горбанева

Открытый урок

учителя математики

Ворониной Веры Владимировны,

по математике в 9 классе

по теме: «Графический способ решения систем уравнений»

Тип урока: урок изучения нового материала.

2017/2018 учебный год

Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс

Воронина Вера Владимировна, учитель математики.

ли урока:

дидактические:

открыть совместнос учащимися новый способ решения систем уравнений;

вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;

уметь определять сколько решений имеет система уравнений;

учить находить решения системы уравнений графическим способом;

повторить построение графиков элементарных функций;

создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:

воспитательные:

воспитание ответственного отношения к труду,

аккуратности ведения записей.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Что такое функция? (слайд 3-11)

Что называется графиком функции?

Какие виды функций вы знаете?

Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?

Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?

Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?

Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?

Каким уравнением задается уравнение окружности?

Что называют графиком уравнения с двумя переменными; (слайд 12)

Организуется знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике и их графиками (строфоидой, Лемнискатой Бернулли, астроидой, кардиоидой). (слайд 13-16)

Рассказ учителя сопровождается показом слайдов с данными графиками.

Выразите переменную у через переменную х:
а) у - х² = 0
б) х + у + 2 = 0
в) 2х - у + 3 = 0
г) ху = -12

Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
а) х² +у = 1;
б) ху + 3 = х;
в) у(х +2) = 0.

Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Какая из пар чисел является решением системы уравнений
а) (6; 3)
б) (- 3; - 6)
в) (2; - 1)
г) (3; 0)

Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 1)
а) 2х - у = 3
б) 3х - 2у = 5
в) х² + у² = 4
г) ху = 2

III. Актуализация знаний учащихся по изученному материалу . (слайд 20, 21)

Сегодня мы повторим и закрепим один из способов решения систем уравнений. Закрепление изученного материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.

Вопросы по данному слайду:

Что является графиком уравнения x² + y²=25?

Что является графиком уравнения y = - x² +2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = - x² +2x +5.

Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?

Сколько точек пересечения у данных графиков?

Сколько решений имеет данная система?

Назвать эти решения?

Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.

IV. Применение изученного способа решения систем уравнений.

1. Решить графически систему уравнений (слайд 23)

Что является графиком уравнения ху = 3?

Что является графиком уравнения 3х - у =0?

2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение. (слайд 24)

Постановка наводящих вопросов:

Запишите систему, определяемую данными уравнениями?

Сколько точек пересечения имеют данные графики?

Сколько решений имеет данная система уравнений?

Назвать решения данной системы уравнений?

3. Выполнение задание из ГИА (слайд 25).

4. Решить графически систему уравнений (слайд 26)

Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.

V. Итоги урока.

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными вы познакомились?

В чём его суть?

Дает ли данный способ точные результаты?

В каком случае система уравнений не будет иметь решений?

VI . Домашнее задание.

П. 18, №№ 420 (237), 425 (240)

Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0.

Первый способ решения

Преобразуем уравнение a*x^2+b*x+c=0 к виду a*x^2 =-b*x-c. Строим графики двух функций y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут являться решением уравнения.

Покажем на примере: решить уравнение x^2-2*x-3=0.

Преобразуем его в x^2 =2*x+3. Строим в одной системе координат графики функции y= x^2 и y=2*x+3.

Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего уравнения.

Решение по формуле

Для убедительности проверим это решение аналитическим путем. Решим квадратное уравнение по формуле:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Значит, решения совпадают.

Графический способ решения уравнений имеет и свой недостаток, с помощью него не всегда можно получить точное решение уравнения. Попробуем решить уравнение x^2=3+x.

Построим в одной системе координат параболу y=x^2 и прямую y=3+x.

Опять получили похожий рисунок. Прямая и парабола пересекаются в двух точках. Но точные значения абсцисс этих точек мы сказать не можем, только лишь приближенные: x≈-1,3 x≈2,3.

Если нас устраивают ответы такой точности, то можно воспользоваться этим методом, но такое бывает редко. Обычно нужны точные решения. Поэтому графический способ используют редко, и в основном для проверки уже имеющихся решений.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

Дата: ________________

Предмет: алгебра

Тема: «Графический способ решения систем уравнений».

Цели: Использовать графики для решения систем уравнений.

Задачи:

Образовательная: научить решать системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

Развивающая: развитие исследовательских способностей учащихся, самоконтроля, речи.

Воспитывающая: воспитание культуры общения, аккуратности.

Тип урока: комбинированный

Формы: Фронтальный опрос, работа в парах.

Ход урока:

Организационный этап. Сообщение темы урока, постановка целей урока. (в тетради записать число, тему)

Повторение и закрепление пройденного материала:

1. Проверка домашнего задания (разбор нерешенных задач);

   Контроль усвоения материала:

Вариант №1	Вариант №2
Постройте график функции: (ху-1)(х+1)=0 (х-2) 2 +(у+1) 2 =4	Постройте график функции: (ху+1)(у-1)=0 (х-1) 2 +(у+2) 2 =4

Актуализация опорных знаний:

Определение линейного уравнения с двумя переменными.

Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?

Что называется графиком линейного уравнения с двумя переменными?

Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

Сколько точек определяет прямую?

Что значит решить систему уравнений?

Что называется решением системы линейных уравнений с двумя переменными?

Когда две прямые на плоскости пересекаются?

Когда две прямые на плоскости параллельны?

Когда две прямые на плоскости совпадают?

Изучение нового материала:

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными . Решением системы уравнений называют пару значений переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство . Решить систему уравнений означает, найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Одним из эффективных и наглядных способов решения и исследования уравнений и систем уравнений графический способ.

Алгоритм построения графика уравнения с двумя переменными.

Выразить переменную у через х.

«Взять» точки, определяющие график.

Построить график уравнения

Алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными графическим способом.

Построить графики каждого из уравнений системы.

Найти координаты точки пересечения.

Записать ответ.

Пример 1

Решим систему уравнений:

Построим в одной системе координат графики первого х 2 + у 2 = 25
(окружность) и второго ху = 12 (гипербола) уравнений. Видно что
графики уравнений пересекаются в четырех точках А (3; 4), В (4; 3)
С(-3;-4) и Д(-4; 3), координаты которых являются решениями
одной системы.

Т
ак как при графическом способе решения могут быть найдены с некоторой точностью, то их необходимо проверить подстановкой.

Проверка показывает, что система действительно имеет четыре решения: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).

Задание на уроке: №415 (б); № 416; № 419 (б); № 420 (б); № 421 (а, б); № 422 (а); №424(б); №426 стр. 115-117.

Подвести итоги (оценки).

Рефлексия.

Повторим алгоритм решения систем уравнений графическим способом.

Сколько решений может иметь система уравнений?

Кто научился решать системы л уравнений графическим способом?

Кто не научился?

Кто ещё сомневается?

Поднимите руки, кому урок понравился? Кому нет? Кто равнодушен?

Домашнее задание: §18 стр. 114-115 выучить правила.

§17 стр.108-110 повторить правила.

Рассмотрим следующие уравнения:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x 2 + y 2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Каждое из представленных выше уравнений является уравнением с двумя переменными. Множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное числовое равенство, называется графиком уравнения с двумя неизвестными .

График уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными имеют большое многообразие графиков. Например, для уравнения 2*x + 3*y = 15 графиком будет прямая линия, для уравнения x 2 + y 2 = 4 графиком будет являться окружность с радиусом 2, графиком уравнения y*x = 1 будет являться гипербола и т.д.

У целых уравнений с двумя переменными тоже существует такое понятие, как степень. Определяется эта степень, так же как для целого уравнения с одной переменной. Для этого приводят уравнение к виду, когда левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая - нуль. Это осуществляется путем равносильных преобразований.

Графический способ решения систем уравнения

Разберемся, как решать системы уравнений, которые будут состоять из двух уравнений с двумя переменными. Рассмотрим графический способ решения таких систем.

Пример 1. Решить систему уравнений:

{ x 2 + y 2 = 25

{y = -x 2 + 2*x + 5.

Построим графики первого и второго уравнений в одной системе координат. Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Графиком второго уравнения будет являться парабола с ветвями, опущенными вниз.

Все точки графиков будут удовлетворять каждый своему уравнению. Нам же необходимо найти такие точки, которые будут удовлетворять как первому, так и второму уравнению. Очевидно, что это будут точки, в которых эти два графика пересекаются.

Используя наш рисунок находим приблизительные значения координат, в которых эти точки пересекаются. Получаем следующие результаты:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Значит, наша система уравнений имеет четыре решения.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Если подставить данные значения в уравнения нашей системы, то можно увидеть, что первое и третье решение являются приближенными, а второе и четвертое - точными. Графический метод часто используется, чтобы оценить количество корней и примерные их границы. Решения получаются чаще приближенными, чем точными.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Система уравнений является набором математических уравнений, каждое из которых имеет определенное количество переменных. Систему принято обозначать фигурной скобкой и все, что под данной скобкой - члены системы. Для решения систем данного рода применяют множество разнообразных способов.

Решить систему уравнений означает найти все ее возможные корни или доказать то, что их не существует. Чтобы решить системы уравнений с двумя переменными обычно используют следующие методы: графический способ, способ подстановки и способ сложения.

Допустим, дана система, которую нужно решить графически методом:

\[ \left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2x+4y-20=0\\ 2x-y=-1 \end{matrix}\right.\]

Чтобы решить систему уравнений графическим методом нужно:

* построить графики уравнений в одной системе координат;

* определить координаты точек пересечения этих графиков, которые являются решением системы;

Выделяя полные квадраты, получаем:

Основываясь на этом получим:

\[\left\{\begin{matrix}(x-1)^2+(y+2)^2)=25\\ 2x-y=-1 \end{matrix}\right.\]

Графиком первого уравнения \[(x-1)^2+(y+2)^2=25\] является окружность с центром \ и радиусом 5. Графики уравнений представлены на рисунке 6.

Графиком второго уравнения \ является уравнение прямой, проходящей через точки \ и \ Строим окружность радиусом 5 с центром в точке \ и проводим прямую через точки \ и \ Эти линии пересекаются в двух точках \ и \

Исходя из этого решение системы: \

Ответ: \[(1;3); (-3;-5);\]

Где можно решить систему уравнений графическим методом онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.