Температура дебая. Дебая температура

П. Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных между собой атомов, обладающих 3N степенями свободы. Каждая степень свободы (нормальное колебание) может быть представлена как гармонический осциллятор, среднюю энергию которого мы уже вычислили (см. (7.6)). Из-за связи между атомами частоты нормальных колебаний уже не совпадают между собой. Взаимодействие атомов приводит к тому, что колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая волна. Эта волна, дойдя до границы кристалла, отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна, которой соответствует некоторое нормальное колебание кристаллической решетки. Число dN нормальных колебаний, то есть стоячих волн, в интервале частот от до велико, поэтому суммирование в выражении для внутренней энергии системы может быть заменено интегрированием:

Число колебаний в единице объема. В этом разделе мы займемся подсчетом числа стоячих волн, имеющих близкие частоты . В сущности, мы проделали уже эти выкладки ранее для электромагнитного излучения, но повторим их снова с небольшими модификациями для применения также и к упругим колебаниям в кристалле.

Рассмотрим сначала одномерный потенциальный ящик длиной . Мы могли уже убедиться, что стоячая волна в нем (неважно, электромагнитная ли, звуковая или волна де Бройля), описывается функцией sin(kx), которая должна обращаться в нуль на границах ящика. Отсюда

Число нумерует различные стоячие волны вдоль оси х, и потому на малый интервал волнового вектора приходится число колебаний

Двойку в знаменателе мы поставили, чтобы избежать двойного счета: замена на приводит к той же стоячей волне. В трехмерном ящике для волн, распространяющихся по другим осям, получаем аналогичные формулы

.

Перемножая (7.11) и (7.12), находим для полного числа стоячих волн в ящике объемом

.

Наконец, учтем, что каждой стоячей волне может соответствовать g поляризаций (например, для волн де Бройля, соответствующих частицам со спином s, имеем g = 2s + 1 - число различных проекций спина). Окончательно имеем

.

Формула (7.14) дает число различных стоячих волн (отличающихся числом узлов и направлениями поляризации) в объеме V, приходящихся на элемент объема в пространстве волнового вектора . Далее, для перехода к частотам волн вспомним соотношение

где v - фазовая скорость волны. Отсюда

и окончательно получаем

.

Мы вывели формулу (7.15) для прямоугольного объема, но можно показать, что форма объема не влияет на результат. Не имеет большого значения и физическая природа колебаний, число которых мы подсчитали. Например, для фотонов v = c и g = 2 (свет может иметь правую и левую циркулярные поляризации). В итоге получаем уже известную нам формулу для числа типов фотонов в объеме V с частотой в интервале :

.

Для применения (7.15) к звуковым волнам в кристалле учтем, что там возможна одна продольная волна, распространяющаяся со скоростью , и две поперечные волны с разными поляризациями, как у фотонов, распространяющиеся со скоростью . Теперь очевидно, как обобщить формулу (7.15) на данный случай:

.

Здесь мы ввели величину v, играющую роль некого среднего между скоростями продольных и поперечных волн; она вычисляется из соотношения

Характеристическая температура Дебая. Подставляя (7.17) и (7.6) в выражение (7.9) для внутренней энергии, получаем

где - максимальная частота нормальных колебаний, которая определяется из нормировочного соотношения

так как полное число нормальных колебаний равно числу степеней свободы. Используя (7.17), находим

где n - концентрация атомов (их число в единице объема кристалла). Таким образом, максимальная частота нормальных колебаний, называемая дебаевской частотой , равна

.

Следует отметить, что наименьшая длина упругой волны в кристалле, которая соответствует максимальной частоте , равна

.

Расстояние между соседними атомами в кристаллической решетке. Этот результат согласуется с тем, что волны, длины которых меньше удвоенного межатомного расстояния, не могут существовать в кристалле.

Используя определение (7.22) и учитывая, что для одного моля кристалла концентрация атомов равна

где - число атомов в молекуле вещества кристалла, мы можем записать внутреннюю энергию одного моля в виде

.

Дифференцируя внутреннюю энергию U по температуре, можно получить молярную теплоемкость кристалла:

.

характеристич. темп-pa qД тв. тела, определяемая соотношением

где wД=u(6p2n)1/3 - предельная частота упругих колебаний кристаллической решётки (n - число атомов в ед. объёма, и - усреднённая скорость звука в тв. теле), наз. также дебаевской частотой. При темп-pax Т ->qД (классич. область) теплоёмкость тв. тела описывается Дюлонга и Пти законом; при Т

Д. т. зависит от упругих постоянных кристалла (см. табл.).

ТЕМПЕРАТУРА ДЕБАЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КРИСТАЛЛОВ

ДЕБАЯ ТЕМПЕРАТУРА ">

Д. т. табулируется как физ. параметр в-ва. Она даёт наиб. удобный в динамич. теории решётки масштаб темп-ры: величина kqД представляет собой макс. квант энергии, способный возбудить колебания решётки. Выше 0д возбуждены все моды, ниже qД моды начинают «вымерзать». Д. т. отделяет низкотемпературную область, где проявляются квант. эффекты и где необходимо пользоваться квант. статистикой, от высокотемпературной, где справедлива классич. статистич. механика (см. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА).

См. также `ДЕБАЯ ТЕМПЕРАТУРА` в других словарях

ДЕБАЯ температура - характеристическая температура Тд твердого тела, определяемая соотношением kТд=h?пр, где?пр - наибольшая частота упругих колебаний кристаллической решетки, k - Больцмана постоянная, h - Планка постоянная; константа Тд приближенно указывает границу, ниже которой сказываются квантовые эффекты.

ДЕБАЯ ТЕМПЕРАТУРА ,

см. Теплоемкость.

Химическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия Под ред. И. Л. Кнунянца 1988

Дебая температура

физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел - теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность, уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Введена впервые П. Дебаем (См. Дебай) в его теории теплоёмкости (См. Теплоёмкость). Д. т. определяется формулой:

Θ D = h v D /k,

где k - Больцмана постоянная, h - Планка постоянная, v D - максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела. Д. т. приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты. При температурах Т>>Θ D теплоёмкость кристалла, состоящего из атомов одного сорта, при постоянном объёме...

ДЕБАЯ ТЕМПЕРАТУРА

характеристич. темп-ра Т д твёрдого тела, определяемая соотношением kT д = hv пp , где v пp - наибольшая частота упругих колебаний кристаллич. решётки, k - постоянная Больцмана, h постоянная Планка; константа Т д приближённо указывает границу, ниже к-рой сказываются квантовые эффекты. Названа по имени П. Дебая.

Естествознание. Энциклопедический словарь

Дебая Температура характеристическая температура Тд твердого тела, определяемая соотношением kТд=h?пр, где?пр - наибольшая частота упругих колебаний кристаллической решетки, k - Больцмана постоянная, h - Планка постоянная; константа Тд приближенно указывает границу, ниже которой сказываются квантовые эффекты.

– характеристика для твердых тел, которая имеет размерность температуры и определяет характер температурной зависимости теплоемкости твердого тела. Установленная Дебай в рамках разработанной им модели теплопроводности твердых тел.
При температурах ниже температуры Дебая теплоемкость кристаллической решетки определяется в основном акустическими колебаниями и по закону Дебая пропорциональна кубу температуры.
При температурах намного превышающих температуру Дебая справедлив закон Дюлонга-Пти, согласно которому теплоемкость стала и равна , Где N количество элементарных ячеек в теле, r – число атомов в элементарной ячейке, k B – постоянная Больцмана.
При промежуточных температурах теплоемкость кристаллической решетки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов, количества атомов в элементарной ячейке и т.д. Вклад от акустических фононов, в частности, дается формулой

Где? D – температура Дебая, а функция

Называется функцией Дебая.
При температурах намного ниже температуры Дебая, как отмечалось выше, теплоемкость пропорциональна кубу температуры

.

Формула Дебая для определения теплоемкости кристаллической решетки выводится с использованием определенных приближений, а именно линейного закона дисперсии акустических фононов, пренебрежением оптических фононов и замены зоны Бриллюэна сферой с равным объемом. Если q D радиус такой сферы, то? D = q D s, где s скорость звука называется частотой Дебая. Температура Дебая определяется из соотношения

.

Значение температура Дебая для некоторых веществ приведены в таблице.

вещества , характеризующая многие свойства твёрдых тел - теплоёмкость , электропроводность , теплопроводность , уширение линий рентгеновских спектров , упругие свойства и т. п. Введена впервые П. Дебаем в его теории теплоёмкости.

Температура Дебая определяется следующей формулой:

Θ D = h ν D k B , {\displaystyle \Theta _{D}={\frac {h\nu _{D}}{k_{B}}},}

где h {\displaystyle h} - постоянная Планка , ν D {\displaystyle \nu _{D}} - максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, - постоянная Больцмана .

Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты.

Физическая интерпретация

При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая , пропорциональна кубу температуры.

При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга-Пти , согласно которому теплоёмкость постоянна и равна 3 N r k B {\displaystyle 3Nrk_{B}} , где N {\displaystyle N} количество элементарных ячеек в теле, r {\displaystyle r} - количество атомов в элементарной ячейке , k B {\displaystyle k_{B}} - постоянная Больцмана .

При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов , количества атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой

C V (T) = 3 N k B f D (θ D / T) {\displaystyle C_{V}(T)=3Nk_{B}f_{D}(\theta _{D}/T)} ,

где θ D {\displaystyle \theta _{D}} - температура Дебая, а функция

f D (x) = 3 x 3 ∫ 0 x t 4 e t (e t − 1) 2 d t {\displaystyle f_{D}(x)={\frac {3}{x^{3}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{4}e^{t}}{(e^{t}-1)^{2}}}{\textrm {d}}t}

называется функцией Дебая .

При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры

C V (T) = 12 π 4 5 N k B (T / θ D) 3 {\displaystyle C_{V}(T)={\frac {12\pi ^{4}}{5}}Nk_{B}(T/\theta _{D})^{3}} .

Оценка температуры Дебая

При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейный закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если q D {\displaystyle q_{D}} радиус такой сферы, то ω D = q D s {\displaystyle \omega _{D}=q_{D}s} , где s {\displaystyle s} скорость звука , называется частотой Дебая . Температура Дебая определяется из соотношения

ℏ ω D = k B θ D {\displaystyle \hbar \omega _{D}=k_{B}\theta _{D}} .

Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведено в таблице.