Устойчивость системы по критерию гурвица. Принятие решения в ситуации неопределенности: Гурвица, Сэвиджа. Минимаксное решение. Критерий Гурвица

В статье рассмотрены такие понятия, как критерии Гурвица, Сэвиджа и Вальда. Упор сделан преимущественно на первый. Критерий Гурвица подробно описан как с алгебраической точки зрения, так и с позиции принятия решения в условиях неопределенности.

Стоит начать с определения понятия устойчивости. Оно характеризует способность системы возвращаться к равновесному состоянию по окончании возмущения, которое нарушило сформировавшееся ранее равновесие.

Важно отметить, что его оппонент - неустойчивая система - постоянно удаляется от своего равновесного состояния (совершает колебания вокруг него) с возвращающей амплитудой.

Критерии устойчивости: определение, виды

Это свод правил, которые позволяют судить о существующих знаках корней характеристического уравнения без поиска его решения. А последние, в свою очередь, предоставляют возможность судить об устойчивости конкретной системы.

Как правило, они бывают:

• алгебраическими (составление по конкретному характеристическому уравнению алгебраических выражений с применением специальных правил, которые характеризуют устойчивость САУ);
• частотными (объект изучения - частотные характеристики).

Критерий устойчивости Гурвица с алгебраической точки зрения

Им выступает алгебраический критерий, подразумевающий рассмотрение определенного характеристического уравнения в виде стандартной формы:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0 .

Посредством его коэффициентов формируется матрица Гурвица.

Правило составления матрицы Гурвица

В направлении сверху вниз по порядку выписываются все коэффициенты соответствующего характеристического уравнения, начиная от aᵥ₋₁ до a0. Во всех столбцах вниз от главной диагонали указывают коэффициенты возрастающих степеней оператора p, затем вверх - убывающих. Недостающие элементы заменяются нулями.

Принято считать, что когда все имеющиеся диагональные миноры рассматриваемой матрицы положительны. Если главный определитель равен нулю, то можно говорить о нахождении ее на границе устойчивости, причем аᵥ=0. В случае соблюдения остальных условий рассматриваемая система располагается на границе новой апериодической устойчивости (предпоследний минор приравнивается к нулю). При положительном значении оставшихся миноров - на границе уже колебательной устойчивости.

Принятие решения в ситуации неопределенности: Гурвица, Сэвиджа

Они являются критериями выбора наиболее целесообразной вариации стратегии. Критерий Сэвиджа (Гурвица, Вальда) применяется в ситуации, когда имеют место неопределенные априорные вероятности состояний природы. Их основа - анализ либо платежной матрицы. В случае неизвестности распределения вероятностей будущих состояний вся имеющаяся информация сводится к списку ее возможных вариантов.

Итак, стоит начать с максиминного критерия Вальда. Он выступает критерием крайнего пессимизма (осторожного наблюдателя). Данный критерий можно сформировать и для чистых, и для смешанных стратегий.

Свое название он получил на основании предположения статиста касательно того, что природа может реализовать состояния, в рамках которых величина выигрыша приравнена к наименьшему значению.

Этот критерий тождественен пессимистическому, который применяется в ходе решения матричных игр, чаще всего в чистых стратегиях. Так, сначала необходимо выбрать из каждой строки минимальное значение элемента. Затем выделяется стратегия ЛПР, которая соответствует максимальному элементу среди уже отобранных минимальных.

Выбранные посредством рассматриваемого критерия варианты лишены риска, так как ЛПР не сталкивается с более плохим результатом, чем тот, который выступает ориентиром.

Итак, самой приемлемой, согласно критерию Вальда, признана чистая стратегия, так как она в худших условиях гарантирует максимально предельный выигрыш.

Далее стоит рассмотреть критерий Сэвиджа. Здесь при выборе 1-го из доступных решений на практике, как правило, останавливаются на таком, который приведет к минимальным последствиям в случае, если выбор все же окажется ошибочным.

Согласно данному принципу, всякое решение характеризуется некой величиной дополнительных потерь, возникающих в ходе его осуществления, по сравнению с правильным при имеющимся состоянии природы. Очевидно, что правильное решение не может нести дополнительные потери, ввиду чего их величина приравнена к нулю. Так, в роли наиболее целесообразной принимается стратегия, величина потерь в которой минимальна при худшем стечении обстоятельства.

Критерий пессимизма-оптимизма

Так по-другому называется критерий Гурвица. В процессе выбора решения, в ходе оценки сложившейся ситуации вместо двух крайностей придерживаются так называемой промежуточной позиции, которая учитывает вероятность как благоприятного, так и наихудшего поведения природы.

Данный компромиссный вариант предложил Гурвиц. Согласно ему, для всякого решения понадобится установить линейную комбинацию min и max, далее выбрать стратегию, которая соответствует их наибольшему значению.

Когда оправдано применение рассматриваемого критерия?

Использовать критерий Гурвица целесообразно в ситуации, характеризующейся следующими признаками:

1. Существует необходимость взятия во внимание наихудшего из вариантов.
2. Отсутствие знаний касательно вероятностей состояний природы.
3. Допустим некоторый риск.
4. Реализуется достаточно малое число решений.

Заключение

Напоследок будет нелишне напомнить, что в статье были рассмотрены критерии Гурвица, Сэвиджа и Вальда. Критерий Гурвица подробно описан с различных точек зрения.

Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

• 1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a 1 до a n ;
• 2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
• 3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Рисунок 5.2.1 - Определитель Гурвица

Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:

• 1) n = 1 => уравнение динамики: a 0 p + a 1 = 0. Определитель Гурвица: = 1 = a 1 > 0 при a 0 > 0, то есть условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0;
• 2) n = 2 => уравнение динамики: a 0 p 2 + a 1 p + a 2 = 0. Определители Гурвица: 1 = a 1 > 0, D 2 = a 1 a 2 - a 0 a 3 = a 1 a 2 > 0, так как a 3 = 0, то есть условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0;
• 3) n = 3 => уравнение динамики: a 0 p 3 + a 1 p 2 + a 2 p + a 3 = 0. Определители Гурвица: 1 = a 1 > 0, 2 = a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, 3 = a 32 > 0, условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0, a 3 > 0, a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0;

Таким образом при n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.

Критерий Гурвица применяют при n 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности.

Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя n = a nn-1 = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо a n = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра Ki влияет на значение определителя n-1 . Исследуя это влияние можно найти, при каком значении Ki определитель n-1 станет равен нулю, а потом - отрицательным. Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

Критерий основан на построении определителя, составленного из коэффициентов, входящих в характеристическое уравнение системы.

Запишем характеристическое уравнение для системы 6-го порядка в виде

Аналогично можно записать уравнение системы любой степени, если порядок системы обозначить n . В нашем случае n =6.Уравнение записывается таким образом, чтобы коэффициент при высшей производной (а 6) был положительным, т.е. а 6 > 0.

Порядок построения определителя Гурвица.

1. По главной диагонали записываются все коэффициенты от до а 0 включительно (=5).

2. Вверх по диагонали записываются коэффициенты уравнения в порядке убывания индексов, а вниз от диагонали – в порядке возрастания индексов.

3. На месте коэффициентов, не входящих в характеристическое уравнение, ставят нули.

4. Определители меньших порядков получают вычеркиванием последнего столбца и последней строки.

5. Определитель высшего порядка D n =a 0 D n -1 (D 6 =а 0 D 5).

Условие устойчивости по Гурвицу

Система автоматического управления будет устойчивой, если все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения системы, от D n (D 6) до D 1 будут положительными, при этом а n (а 6) должно быть больше нуля.

Построим определитель Гурвица для системы шестого порядка.

Система устойчива, если а 0 >0; D 5 >0; D 4 >0; D 3 >0; D 2 >0; D 1 =а 5 >0.

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, система будет неустойчива.

Если главный определитель системы D п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для систем 1, 2, 3-го порядков. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнений первого порядка

условие устойчивости

а 1 > 0 и D 1 = а 0 > 0,

т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов уравнения (<0).

2. Для уравнений второго порядка

,

условие устойчивости

а 2 > 0, D 1 = а 1 > 0; D 2 = а 0 а 1 > 0.

Таким образом, и для системы второго порядка положительность коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.

3. Для уравнений третьего порядка

условие устойчивости

а 3 > 0, D 1 = а 2 > 0; D 2 = а 1 а 2 – а 0 а 3 > 0; D 3 = а 0 D 2 > 0.

Последнее неравенство Δ 3 > 0 эквивалентно неравенству D 2 > 0. Следовательно, для системы третьего порядка кроме положительности всех коэффициентов уравнения требуется, чтобы D 2 > 0.

Критерий Гурвица применяют для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким.

Для принципа выбора Гурвица характерно использование взвешенных значений принципа гарантированного результата (пессимизма) и принципа оптимизма . Здесь каждая стратегия характеризуется своим коэффициентом важности стратегии α,β = . Функция выбора, описывающая принцип Гурвица, может быть записана в виде:

u (y*)= α·u 1 (y)+(1-α)·u 2 (y),

где u 1 (y) - стратегия выбора, характеризующая принцип гарантированного результата;

u 2 (y) - стратегия выбора, характеризующая принцип оптимизма.

Учитывая, что

u 1 (y) = max min U i j

u 2 (y) = max max U i j

можно представить общее выражение для принципа Гурвица в виде

u (y*)= α max min U i j + (1-α)· max max U i j (3)

u (y*)= max [α min U i j + (1-α)· max U i j ]. (4)

Следовательно, наиболее предпочтительна стратегия Y*, для которой выполняется условие (4). При этом в зависимости от значения весового коэффициента α можно получить различные стратегии выбора при изменении его в диапазоне 0≤ α ≤ 1:

если α = 1, то получим принцип гарантированного результата ;

если α = 0, получим принцип оптимизма .

Проведем решение исходной задачи (табл.9)с использованием данной методики.

Решение задачи по принципу Гурвица.

Задаём коэффициент , который характеризует ориентацию на принцип максимина или принцип оптимизма и     . Пусть  = 0,6.

Решаем задачу по формуле Y *  max i ( min U ij + (1 - ) max j U ij) в два этапа:

2.1. Для каждой альтернативы находим *min j U ij +(1-)* max j U ij , для чего используем уже вычисленные значения по предыдущим задачам (значения Min U ij , Max U ij в табл.10). Расчет этих значений формируется так.

Исходными данными для выбора по методу Гурвица будут данные, полученные по стратегиям:

Для стратегии гарантированного результата:

Для стратегии оптимизма:

Принцип Гурвица Таблица 10

Альтернати-	Критерии (цели)					Знач. предпочт. по Гурвицу

Пусть весовой коэффициент характеризует степень важности соответствующей первой стратегии и его значение примем  = 0,6. Тогда получим для первого этапа

Подставляя соответствующие значения в систему получим:

Подставим их в графу «Значение предпочтений по Гурвицу» табл.10.

2.2. На втором этапе производим выбор в соответствии с правилом:

Оптимальной (по комбинированному принципу Гурвица) будет альтернатива Y 3 , значение функции полезности которой равно 4,2.

Для оценки влияния коэффициента  на уровень предпочтений по Гурвицу, проведем анализ значений для различных коэффициентов (табл.11).

Таблица 11

	возможные значения весового коэффициента а

На основании данных значений можно сказать, что общим правилом выбора по всем значениям  будет метрика с  = 0,1, при этом, эффективной альтернативой является вариант 1 (Y1) с функцией предпочтения = 7,3.

Решение данной задачи в интегрированной системе Excel предполагает процедуру расчета показателей приведенных в табл.10-11, по алгоритму и формулам, приведенным в табл.12 и табл.13. Экранная форма указанных таблиц приведена на рис.10, 11.

Алгоритм расчета показателей по принципу Гурвица, в виде экранной формы приведен на рис.12.

Рис.10. Решение задачи по принципу Гурвица

Рис.11. Анализ оптимального решения (по Гурвицу) при различных значениях коэффициента 

Таблица 12

Принцип Гурвица

		Критерии (цели)						Знач. предпочт. по Гурвицу
							МАКС(B5:D5)	H5*E5+(1-H5)*F5
							МАКС(B6:D6)	H6*E6+(1-H6)*F6
							МАКС(B7:D7)	H7*E7+(1-H7)*F7
		МАКС(B5:B7)	МАКС(C5:C7)	МАКС(D5:D7)		МАКС(E5:E7)		МАКС(G5:G7)

Таблица 13

Значения предпочтений по Гурвицу для различных коэффициентов 

		=$B$19*E5+(1-$B$19)*F5	=$C$19*E5+(1-$C$19)*F5	0,3*E5+(1-0,3)*F5	0,4*E5+(1-0,4)*F5	0,5*E5+(1-0,5)*F5	0,6*E5+(1-0,6)*F5	0,7*E5+(1-0,7)*F5	0,8*E5+(1-0,8)*F5	0,9*E5+(1-0,9)*F5
		=$B$19*E6+(1-$B$19)*F6	=$C$19*E6+(1-$C$19)*F6	0,3*E6+(1-0,3)*F6	0,4*E6+(1-0,4)*F6	0,5*E6+(1-0,5)*F6	0,6*E6+(1-0,6)*F6	0,7*E6+(1-0,7)*F6	0,8*E6+(1-0,8)*F6	0,9*E6+(1-0,9)*F6
		=$B$19*E7+(1-$B$19)*F7	=$C$19*E7+(1-$C$19)*F7	0,3*E7+(1-0,3)*F7	0,4*E7+(1-0,4)*F7	0,5*E7+(1-0,5)*F7	0,6*E7+(1-0,6)*F7	0,7*E7+(1-0,7)*F7	0,8*E7+(1-0,8)*F7	0,9*E7+(1-0,9)*F7
		МАКС(B20:B22)	МАКС(C20:C22)	МАКС(D20:D22)	МАКС(E20:E22)	МАКС(F20:F22)	МАКС(G20:G22)	МАКС(H20:H22)	МАКС(I20:I22)	МАКС(J20:J22)

Рис. 12. Алгоритм расчета показателей по принципу Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году – полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (5.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписывают­ся все коэффициенты по порядку от а 1 до а п. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при а 0 > 0 должны быть больше нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матри­цы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (5.11)):

(5.12)

(5.13)

(5.14)

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний сле­дующим образом:

(5.15)

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего опреде­лителя сводится к условию а п > 0, т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель:
, при положительности всех остальных определителей. Как следует из (5.15), это условие распадает­ся на два условия:а п =0 и
. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и вто­рое – границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчи­вости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более них порядков.

1. Уравнение первого порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

2. Уравнение второго порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента: а 2 >0.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем условия

Третий (последний) определитель Δ 3 дает условие а 3 > 0. Условие Δ 2 >0 , при а 0 > 0, а 1 > 0 и а 3 > 0 может выполняться только при а 2 >. 0.

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами:

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффи­циентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком крите­рия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива си­стема автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы бо­лее удобными в инженерной практике.

Для иллюстрации применения кри­терия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципи­альная и структурная схемы изображены на рис. 5.4. В качестве чувстви­тельного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффи­циенту передачи схемы:

где
ошибка, равная разности углов поворота командной и испол­нительной осей.

Передаточная функция усилителя:

где k 2 – коэффициент усиления и Т у – постоянная времени усилителя.

Передаточная функция двигателя (Д):

где
коэффициент передачи двигателя но скорости, аT M – электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каска­дом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

где
общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

После подстановки
получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выпол­няется всегда, если выполнено условие К >0, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие
, накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов ( и
) к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффи­циента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.