Волновая функция и её физический смысл. Условие нормировки $\psi$- функции. Элементы квантовой механики

Исходя из представления о наличии у электрона волновых свойств. Шредингер в 1925 г. предположил, что состояние движущегося в атоме электрона должно описываться известным в физике уравнением стоячей электромагнитной волны. Подставив в это уравнение вместо длины волны ее значение из уравнения де Бройля , он получил новое уравнение, связывающее энергию электрона с пространственными координатами и так называемой волновой функцией , соответствующей в этом уравнении амплитуде трехмерного волнового процесса.

Особенно важное значение для характеристики состояния электрона имеет волновая функция . Подобно амплитуде любого волнового процесса, она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однако величина всегда положительна. При этом она обладает замечательным свойством: чем больше значение в данной области пространства, тем выше вероятность того, что электрон проявит здесь свое действие, т. е. что его существование будет обнаружено в каком-либо физическом процессе.

Более точным будет следующее утверждение: вероятность обнаружения электрона в некотором малом объеме выражается произведением . Таким образом, сама величина выражает плотность вероятности нахождения электрона в соответствующей области пространства.

Рис. 5. Электронное облако атома водорода.

Для уяснения физического смысла квадрата волновой функции рассмотрим рис. 5, на котором изображен некоторый объем вблизи ядра атома водорода. Плотность размещения точек на рис. 5 пропорциональна значению в соответствующем месте: чем больше величина , тем гуще расположены точки. Если бы электрон обладал свойствами материальной точки, то рис. 5 можно было бы получить, многократно наблюдая атом водорода и каждый раз отмечая местонахождение электрона: плотность размещения точек на рисунке была бы тем больше, чем чаще обнаруживается электрон в соответствующей области пространства или, иначе говоря, чем больше вероятность обнаружения его в этой области.

Мы знаем, однако, что представление об электроне как о материальной точке не соответствует его истинной физической природе. Поэтому рис. 5 правильнее рассматривать как схематическое изображение электрона, «размазанного» по всему объему атома в виде так называемого электронного облака: чем плотнее расположены точки в том или ином месте, тем больше здесь плотность электронного облака. Иначе говоря, плотность электронного облака пропорциональна квадрату волновой функции.

Представление о состоянии электрона как о некотором облаке электрического заряда оказывается очень удобным, хорошо передает основные особенности поведения электрона в атомах и молекулах и будет часто использоваться в последующем изложении. При этом, однако, следует иметь в виду, что электронное облако не имеет определенных, резко очерченных границ: даже на большом расстоянии от ядра существует некоторая, хотя и очень малая, вероятность обнаружения электрона. Поэтому под электронным облаком условно будем понимать область пространства вблизи ядра атома, в которой сосредоточена преобладающая часть (например, ) заряда и массы электрона. Более точное определение этой области пространства дано на стр. 75.

Обнаружение волновых свойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не может дать правильного описания поведения таких частиц. Теория, охватывающая все свойства элементарных частиц, должна учитывать не только их корпускулярные свойства, но и волновые. Из опытов, рассмотренных ранее, следует, что пучок элементарных частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении скорости частиц. В случае распространения вдоль оси этот волновой процесс может быть описан уравнением волны де Бройля (7.43.5):

(7.44.1)

где – энергия, – импульс частицы. При распространении в произвольном направлении :

(7.44.2)

Назовем функцию волновой функцией и выясним ее физический смысл путём сравнения дифракции световых волн и микрочастиц.

Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задаётся квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку.

Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, также характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Интенсивность же больше там, где больше число частиц. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической закономерности и можно говорить, что знание вида волны де Бройля, т.е. Ψ -функции, позволяет судить о вероятности того или иного из возможных процессов.

Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в элементе объёмом равна

(7.44.3)

Величина

(7.44.4)

имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объёме в окрестности заданной точки. Таким образом, физический смысл имеет не сама - функция, а квадрат её модуля , которым задаётся интенсивность волн де Бройля. Вероятность найти частицу в момент времени в конечном объёме , согласно теореме сложения вероятностей, равна

(7.44.5)

Так как частица существует, то она обязательно где-то обнаруживается в пространстве. Вероятность достоверного события равна единице, тогда

. (7.44.6)

Выражение (7.44.6) называется условием нормировки вероятности. Волновая функция , характеризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объёма, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

3.1.Волновая функция

Всякая микрочастица – это образование особого рода, сочетающее в себе свойства и частицы, и волны. Отличие микрочастицы от волны состоит в том, что она обнаруживается как неделимое целое. Например, никто не наблюдал полэлектрона. В тоже время волну можно разделить на части и затем воспринимать каждую часть в отдельности.

Отличие микрочастицы в квантовой механике от обычной микрочастицы заключается в том, что она не обладает одновременно определенными значениями координат и импульса, поэтому понятие траектории для микрочастицы утрачивает смысл.

Распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой области пространства будем описывать волновой функцией (x , y , z , t ) (пси-функция). Вероятность dP того, что частица находится в элементе объема dV , пропорциональная
и элементу объемуdV :

dP =
dV .

Физический смысл имеет не сама функция
, а квадрат ее модуля – это плотность вероятности. Она определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства.

Волновая функция
является основной характеристикой состояния микрообъектов (микрочастиц). С ее помощью в квантовой механике могут быть вычислены средние значения физических величин, которые характеризуют данный объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией
.

3.2. Принцип неопределенности

В классической механике состояние частицы задают координатами, импульсом, энергией и т.п. Это динамические переменные. Микрочастицу описывать такими динамическими переменными нельзя. Особенность микрочастиц состоит в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Например, частица не может иметь одновременно точных значений координаты х и компоненты импульсар х . Неопределенность значенийх ир х удовлетворяет соотношению:

(3.1)

– чем меньше неопределенность координаты Δх , тем больше неопределенность импульса Δр х , и наоборот.

Соотношение (3.1) называется соотношением неопределенности Гейзенберга и было получено в 1927 г.

Величины Δх и Δр х называются канонически сопряженными. Такими же канонически сопряженными являются Δу и Δр у , и т.п.

Принцип неопределенности Гейзенберга гласит: произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка ħ.

Энергия и время тоже являются канонически сопряженными, поэтому
. Это означает, что определение энергии с точностью ΔЕ должно занять интервал времени:

Δt ~ ħ/ ΔЕ .

Определим значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной Δх , расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы. До прохождения частицы через щель ее составляющая импульсар х имеет точное значение,р х = 0 (щель перпендикулярна к вектору импульса), поэтому неопределенность импульса равна нулю, Δр х = 0, зато координатах частицы является совершенно неопределенной (рис.3.1).

Вмомент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координатых появляется неопределенность Δх , и появляется неопределенность импульса Δр х .

Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2φ , гдеφ – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков пренебрегаем, т.к. их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума).

Таким образом, появляется неопределенность:

Δр х =р sinφ ,

но sinφ = λ / Δх – это условие первого минимума. Тогда

Δр х ~рλ/ Δх ,

Δх Δр х ~рλ = 2πħ ≥ħ/ 2.

Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траектории микрочастиц.

Движение по траектории характеризуется определенными значениями скорости частицы и ее координат в каждый момент времени. Подставив в соотношение неопределенностей вместо р х выражение для импульса
, имеем:

–

чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости, тем с большей точностью применимы к ней понятия траектории.

Например, для микрочастицы размером 1·10 -6 м неопределенности Δх и Δ выходят за пределы точности измерения этих величин, и движение частицы неотделимо от движения по траектории.

Соотношение неопределенностей является фундаментальным положением квантовой механики. Оно, например, позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома. Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона Δr и неопределенность импульса Δр удовлетворяли соотношению

Δr Δp ≥ ħ/ 2,

и значение r = 0 невозможно.

Энергия электрона в атоме будет минимальна при r = 0 и р = 0, поэтому для оценки наименьшей возможной энергии положим Δr ≈ r , Δp ≈ p . Тогда Δr Δp ≥ ħ/ 2, и для наименьшего значения неопределенности имеем:

нас интересует только порядок величин, входящих в это соотношение, поэтому множитель можно отбросить. В этом случае имеем
, отсюдар = ħ/ r . Энергия электрона в атоме водорода

(3.2)

Найдем r , при котором энергия Е минимальна. Продифференцируем (3.2) и приравняем производную к нулю:

,

численные множители в этом выражении мы отбросили. Отсюда
- радиус атома (радиус первой боровской орбиты). Для энергии имеем

Можно подумать, что с помощью микроскопа удастся определить положение частицы и тем самым ниспровергнуть принцип неопределенности. Однако микроскоп позволит определить положение частицы в лучшем случае с точностью до длины волны используемого света, т.е. Δх ≈ λ , но т.к. Δр = 0, то Δр Δх = 0 и принцип неопределенности не выполняется?! Так ли это?

Мы пользуемся светом, а свет, согласно квантовой теории, состоит из фотонов с импульсом р = k /λ . Чтобы обнаружить частицу, на ней должен рассеяться или поглотиться хотя бы один из фотонов пучка света. Следовательно, частице будет передан импульс, по крайней мере достигающей h /λ . Таким образом, в момент наблюдения частицы с неопределенностью координаты Δх ≈ λ неопределенность импульса должна быть Δр ≥ h /λ .

Перемножая эти неопределенности, получаем:

–

принцип неопределенности выполняется.

Процесс взаимодействия прибора с изучаемым объектом называется измерением. Этот процесс протекает в пространстве и во времени. Существует важное различие между взаимодействием прибора с макро- и микрообъектами. Взаимодействие прибора с макрообъектом есть взаимодействие двух макрообъектов, которое достаточно точно описывается законами классической физики. При этом можно считать, что прибор не оказывает на измеряемый объект влияния, либо это влияние мало. При взаимодействии прибора с микрообъектами возникает иная ситуация. Процесс фиксации определенного положения микрочастицы вносит в ее импульс изменение, которое нельзя сделать равным нулю:

Δр х ≥ ħ/ Δх.

Поэтому воздействие прибора на микрочастицу нельзя считать малым и несущественным, прибор изменяет состояние микрообъекта – в результате измерения определенные классические характеристики частицы (импульс и др.) оказываются заданными лишь в рамках, ограниченных соотношением неопределенностей.

3.3.Уравнение Шредингера

В 1926 г. Шредингер получил свое знаменитое уравнение. Это основное уравнение квантовой механики, основное предположение, на котором основана вся квантовая механика. Все вытекающие из этого уравнения следствия согласуются с опытом – в этом его подтверждение.

Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволило объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции
(x , y , z , t ), а точнее квадратом модуля этой величины.
– это вероятность нахождения частицы в точкеx , y , z в момент времени t . Основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относительно функции
(x , y , z , t ). Далее, это уравнение должно быть волновым, из него должны получить свое объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, подтверждающие их волновую природу.

Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

. (3.3)

где m – масса частицы, i – мнимая единица,
– оператор Лапласа,
,U – оператор потенциальной энергии частицы.

Вид Ψ-функции определяется функцией U , т.е. характером сил, действующих на частицу. Если силовое поле стационарно, то решение уравнения имеет вид:

, (3.4)

где Е – полная энергия частицы, она остается постоянной при каждого состояния, Е= const .

Уравнение (3.4) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его еще можно записать в виде:

.

Это уравнение применимо к нерелятивистским системам при условии, что распределение вероятностей не меняется во времени, т.е. когда функции ψ имеют вид стоячих волн.

Уравнение Шредингера можно получить следующим образом.

Рассмотрим одномерный случай – свободно движущуюся частицу по оси х . Ей соответствует плоская волна де Бройля:

,

но
, поэтому
. Продифференцируем это выражение поt :

.

Найдем теперь вторую производную от пси-функции по координате

,

В нерелятивистской классической механике энергия и импульс связаны соотношением:
где Е – кинетическая энергия. Частица движется свободно, ее потенциальная энергия U = 0, и полная Е=Е k . Поэтому

,

– это уравнение Шредингера для свободной частицы.

Если частица движется в силовом поле, то Е – вся энергия (и кинетическая, и потенциальная), поэтому:

,

тогда получим
, или
,

и окончательно

Это уравнение Шредингера.

Приведенные рассуждения – не вывод уравнения Шредингера, а пример того, как это уравнение можно установить. Само же уравнение Шредингера постулируется.

В выражении

левая часть обозначает оператор Гамильтона– гамильтониан – это сумма операторов
иU . Гамильтониан – это оператор энергии. Подробно об операторах физических величин будем говорить в дальнейшем. (Оператор выражает некоторое действие под функцией ψ , которая стоит под знаком оператора). С учетом сказанного имеем:

.

Физический смысл имеет не сама ψ -функция, а квадрат ее модуля, определяющий плотность вероятности нахождения частицы в данном месте пространства. Квантовая механика имеет статистический смысл. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. Пси-функция лишь дает вероятность, с какой частица может быть обнаружена в данной точке пространства. В связи с этим пси-функция должна удовлетворять следующим условиям:

Она должна быть однозначной, непрерывной и конечной, т.к. определяет состояние частицы;

Она должна иметь непрерывную и конечную производную;

Функция Iψ I 2 должна быть интегрируема, т.е. интеграл

должен быть конечным, так как он определяет вероятность обнаружения частицы.

Интеграл

,

Это условие нормировки. Оно означает, что вероятность того, что частица находится в какой-нибудь из точек пространства, равна единице.

Как известно, основная задача классической механики заключается в определении положения макрообъекта в любой момент времени. Для этого составляется система уравнений, решение которой позволяет выяснить зависимость радиус-вектора от времени t . В классической механике состояние частицы при ее движении в каждый момент задается двумя величинами: радиус-вектором и импульсом . Таким образом, классическое описание движения частицы правомерно, если оно происходит в области с характерным размером, много большим, чем длина волны де Бройля . В противном случае (например, вблизи ядра атома) следует принимать во внимание волновые свойства микрочастиц. Об ограниченной применимости классического описания микрообъектов, имеющих волновые свойства, и говорят соотношения неопределенностей.

С учетом наличия у микрочастицы волновых свойств ее состояние в квантовой механике задается с помощью некоторой функции координат и времени (x, y, z, t ) , называемой волновой или - функцией . В квантовой физике вводится комплексная функция, описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности).

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения решения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера .

Теория, описывающая движение малых частиц с учетом их волновых свойств, называется квантовой , или волновой механикой . Многие положения этой теории кажутся странными и непривычными с точки зрения представлений, сложившихся при изучении классической физики. Следует всегда помнить, что критерием правильности теории, какой бы странной она не казалась поначалу, является совпадение ее следствий с опытными данными. Квантовая же механика в своей области (строение и свойства атомов, молекул и отчасти атомных ядер) прекрасно подтверждается опытом.

Волновая функция описывает состояние частицы во всех точках пространства и для любого момента времени. Для понимания физического смысла волновой функции обратимся к опытам по дифракции электронов. (Опыты Томсона и Тартаковского по пропусканию электронов через тонкую металлическую фольгу). Оказывается, что четкие дифракционные картины обнаруживаются даже в том случае, если направлять на мишень одиночные электроны, т.е. когда каждый последующий электрон испускается после того, как предыдущий достигнет экрана. После достаточной продолжительной бомбардировки картина на экране будет в точности соответствовать той, которая получается при одновременном направлении на мишень большого числа электронов.

Из этого можно сделать вывод о том, движение любой микрочастицы по отдельности, в том числе и место ее обнаружения, подчиняется статистическим (вероятностным) закономерностям, и при направлении на мишень одиночного электрона точку на экране, в которой он будет зафиксирован, заранее со 100%-й уверенностью предсказать невозможно.

В дифракционных опытах Томсона на фотопластинке образовывалась система темных концентрических колец. Можно с уверенностью сказать, что вероятность обнаружения (попадания) каждого испущенного электрона в различных местах фотопластинки неодинакова. В области темных концентрических колец эта вероятность больше, чем в остальных местах экрана. Распределение электронов по всему экрану оказывается таким же, каким является распределение интенсивности электромагнитной волны в аналогичном дифракционном опыте: там, где интенсивность рентгеновской волны велика, частиц в опыте Томсона регистрируется много, а там, где интенсивность мала - частицы почти не появляются.

С волновой точки зрения наличие максимума числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волны де Бройля. Это послужило основанием для статистического (вероятностного) истолкования волны де Бройля . Волновая функция как раз и является математическим выражением, которое позволяет описать распространение какой-либо волны в пространстве. В частности, вероятность найти частицу в данной области пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны, связанной с частицей.

Для одномерного движения (например, в направлении оси Ox ) вероятность dP обнаружения частицы в промежутке между точками x и x + dx в момент времени t равна

dP = , (6.1)

где | (x,t )| 2 = (x,t ) *(x,t ) - квадрат модуля волновой функции (значок * обозначает комплексное сопряжение).

В общем случае при движении частицы в трехмерном пространстве вероятность dP обнаружения частицы в точке с координатами (x,y,z) в пределах бесконечно малого объема dV задается аналогичным уравнением: dP = | (x,y,z,t) | 2 dV . Впервые вероятностную интерпретацию волновой функции дал Борн в 1926г.

Вероятность обнаружить частицу во всем бесконечном пространстве равна единице. Отсюда следует условие нормировки волновой функции:

. (6.2)

Величина является плотностью вероятности , или, что то же самое, плотностью распределение координат частиц. В простейшем случае одномерного движения частицы вдоль оси ОX среднее значение ее координаты вычисляется следующим соотношением:

<x(t )>= . (6.3)

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной), непрерывной (вероятность не может меняться скачком) и гладкой (без изломов) во всем пространстве.

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1, Ψ2 , Ψn , то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:

, (6.4)

где Cn (n = 1, 2, 3) - произвольные, вообще говоря, комплексные числа.

Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовуютеорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояниямикрообъектов.

Например, среднее расстояние <r > электрона отядра вычисляется по формуле:

,

где вычисления проводятся, как и в случае (6.3). Таким образом, точно предсказать в дифракционных опытах, в каком месте экрана будет зафиксирован тот или иной электрон, невозможно, даже заранее зная его волновую функцию. Можно лишь с определенной вероятностью предположить, что электрон будет зафиксирован в определенном месте. В этом отличие поведения квантовых объектов от классических. В классической механике при описании движения макротел мы со 100%-й вероятностью знали заранее, в каком месте пространства будет находиться материальная точка (например, космическая станция) в любой момент времени.

Де Бройль использовал представление о фазовых волнах (волнах вещества или волнах де Бройля) для наглядного толкования правила квантования орбит электрона в атоме по Бору в случае одноэлектронного атома. Он рассмотрел фазовую волну, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на длине орбиты укладывается целое число этих волн , то волна при обходе вокруг ядра будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В этом случае орбита становится стационарной и не возникает излучения. Де Бройль записал условие стационарности орбиты или правило квантования в виде:

где R - радиус круговой орбиты, п - целое число (главное квантовое число). Полагая здесь и учитывая, что L = RP есть момент импульса электрона, получим:

что совпадает с правилом квантования орбит электрона в атоме водорода по Бору.

В дальнейшем условие (6.5) удалось обобщить и на случай эллиптических орбит, когда длина волны меняется вдоль траектории электрона. Однако, в рассуждениях де Бройля предполагалось, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии - вдоль стационарной орбиты электрона. Этим приближением можно пользоваться в предельном случае, когда длина волны пренебрежимо мала по сравнению с радиусом орбиты электрона.

корпускулярно -- волновым дуализмом в квантовой физике состояние частицы описывается при помощи волновой функции ($\psi (\overrightarrow{r},t)$- пси-функция).

Определение 1

Волновая функция -- это функция, которая используется в квантовой механике. Она описывает состояние системы, которая имеет размеры в пространстве. Она является вектором состояния.

Данная функция является комплексной и формально имеет волновые свойства. Движение любой частицы микромира определено вероятностными законами. Распределение вероятности выявляется при проведении большого числа наблюдений (измерений) или большого количества частиц. Полученное распределение аналогично распределению интенсивности волны. То есть в местах с максимальной интенсивностью отмечено максимальное количество частиц.

Набор аргументов волновой функции определяет ее представление. Так, возможно координатное представление: $\psi(\overrightarrow{r},t)$, импульсное представление: $\psi"(\overrightarrow{p},t)$ и т.д.

В квантовой физике целью ставится не точность предсказания события, а оценка вероятности того или иного события. Зная величину вероятности, находят средние значения физических величин. Волновая функция позволяет находить подобные вероятности.

Так вероятность присутствия микрочастицы в объеме dV в момент времени t может быть определена как:

где $\psi^*$- комплексно сопряженная функция к функции $\psi.$ Плотность вероятности (вероятность в единице объёма) равна:

Вероятность является величиной, которую можно наблюдать в эксперименте. В это же время волновая функция не доступна для наблюдения, так как она является комплексной (в классической физике параметры, которые характеризуют состояние частицы, доступны для наблюдения).

Условие нормировки $\psi$- функции

Волновая функция определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Данный факт не оказывает влияния на состояние частицы, которую $\psi$- функция описывает. Однако волновую функцию выбирают таким образом, что она удовлетворяет условию нормировки:

где интеграл берут по всему пространству или по области, в которой волновая функция не равна нулю. Условие нормировки (2) значит то, что во всей области, где $\psi\ne 0$ частица достоверно присутствует. Волновую функцию, которая подчинятся условию нормировки, называют нормированной. Если ${\left|\psi\right|}^2=0$, то данное условие означает, что частицы в исследуемой области наверняка нет.

Нормировка вида (2) возможна при дискретном спектре собственных значений.

Условие нормировки может оказаться не осуществимым. Так, если $\psi$ -- функция является плоской волной де-Бройля и вероятность нахождения частицы является одинаковой для всех точек пространства. Данные случаи рассматривают как идеальную модель, в которой частица присутствует в большой, но имеющей ограничения области пространства.

Принцип суперпозиции волновой функции

Данный принцип является одним их основных постулатов квантовой теории. Его смысл в следующем: если для некоторой системы возможны состояния, описываемые волновыми функциями $\psi_1\ {\rm и}\ $ $\psi_2$, то для этой системы существует состояние:

где $C_{1\ }и\ C_2$ -- постоянные коэффициенты. Принцип суперпозиции подтверждается эмпирически.

Можно говорить о сложении любого количества квантовых состояний:

где ${\left|C_n\right|}^2$ -- вероятность того, что система обнаруживается в состоянии, которое описывается волновой функцией $\psi_n.$ Для волновых функций, подчиненных условию нормировки (2) выполняется условие:

Стационарные состояния

В квантовой теории особую роль имеют стационарные состояния (состояния в которых все наблюдаемые физические параметры не изменяются во времени). (Сама волновая функция принципиально не наблюдаема). В стационарном состоянии $\psi$- функция имеет вид:

где $\omega =\frac{E}{\hbar }$, $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ не зависит от времени, $E$- энергия частицы. При виде (3) волновой функции плотность вероятности ($P$) является постоянной времени:

Из физических свойств стационарных состояний следуют математические требования к волновой функции $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Математические требования к волновой функции для стационарных состояний

$\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$- функция должна быть во всех точках:

• непрерывна,
• однозначна,
• конечна.

Если потенциальная энергия имеет поверхность разрыва, то на подобных поверхностях функция $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ и ее первая производная должны оставаться непрерывными. В области пространства, где потенциальная энергия становится бесконечной, $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ должна быть равна нулю. Непрерывность функции $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ требует, чтобы на любой границе этой области $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)=0$. Условие непрерывности накладывается на частные производные от волновой функции ($\frac{\partial \psi}{\partial x},\ \frac{\partial \psi}{\partial y},\frac{\partial \psi}{\partial z}$).

Пример 1

Задание: Для некоторой частицы задана волновая функция вида: $\psi=\frac{A}{r}e^{-{r}/{a}}$, где $r$ -- расстояние от частицы до центра силы (рис.1), $a=const$. Примените условие нормировки, найдите нормировочный коэффициент A.

Рисунок 1.

Решение:

Запишем условие нормировки для нашего случая в виде:

\[\int{{\left|\psi\right|}^2dV=\int{\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),}}\]

где $dV=4\pi r^2dr$ (см.рис.1 Из условий понятно, что задача обладает сферической симметрией). Из условий задачи имеем:

\[\psi=\frac{A}{r}e^{-{r}/{a}}\to \psi^*=\frac{A}{r}e^{-{r}/{a}}\left(1.2\right).\]

Подставим $dV$ и волновые функции (1.2) в условие нормировки:

\[\int\limits^{\infty }_0{\frac{A^2}{r^2}e^{-{2r}/{a}}4\pi r^2dr=1\left(1.3\right).}\]

Проведем интегрирование в левой части:

\[\int\limits^{\infty }_0{\frac{A^2}{r^2}e^{-{2r}/{a}}4\pi r^2dr=2\pi A^2a=1\left(1.4\right).}\]

Из формулы (1.4) выразим искомый коэффициент:

Ответ: $A=\sqrt{\frac{1}{2\pi a}}.$

Пример 2

Задание: Каково наиболее вероятное расстояние ($r_B$) электрона от ядра, если волновая функция, которая описывает основное состояние электрона в атоме водорода может быть определена как: $\psi=Ae^{-{r}/{a}}$, где $r$- расстояние от электрона до ядра, $a$ -- первый Боровский радиус?

Решение:

Используем формулу, которая определяет вероятность присутствия микрочастицы в объеме $dV$ в момент времени $t$:

где $dV=4\pi r^2dr.\ $Следователно, имеем:

В таком случае, $p=\frac{dP}{dr}$ запишем как:

Для определения наиболее вероятного расстояния производную $\frac{dp}{dr}$ приравняетм к нулю:

\[{\left.\frac{dp}{dr}\right|}_{r=r_B}=8\pi rA^2e^{-{2r}/{a}}+4\pi r^2A^2e^{-{2r}/{a}}\left(-\frac{2}{a}\right)=8\pi rA^2e^{-{2r}/{a}}\left(1-\frac{r}{a}\right)=0(2.4)\]

Так как решение $8\pi rA^2e^{-{2r_B}/{a}}=0\ \ {\rm при}\ \ r_B\to \infty $, нам не подходит, то отсается: