Примерное поурочное планирование учебного материала

Пункт учебника	Число уроков	Дидактические материалы	Характеристика основных видов деятельности учащихся
8.1. О математическом языке		О-44, П-34	Обсуждать особенности математического языка. Записывать математические выражения с учётом правил синтаксиса математического языка, составлять выражения по условиям задач с буквенными данными. Использовать буквы для записи математических предложений, общих утверждений; осуществлятьперевод с математического языка на естественный язык и наоборот. Иллюстрировать общие утверждения, записанные в буквенном виде, числовыми примерами
8.2. Буквенные выражения и числовые подстановки		-	Строить речевые конструкции с использованием новой терминологии (буквенное выражение, числовая подстановка, значение буквенного выражения, допустимые значения букв). Вычислятьчисловые значения буквенных выражений при данных значениях букв. Находить допустимые значения букв в выражении. Отвечать на вопросы задач с буквенными данными, составляя соответствующие выражения
8.3. Формулы. Вычисления по формулам		О-45, П-35, П-36	Составлятьформулы, выражающие зависимости между величинами, в том числе по условиям, заданным рисунком. Вычислять по формулам, выражать из формулы одну величину через другие
8.4. Формулы длины окружности, площади круга и объёма шара			Находить экспериментальным путёмотношение длины окружности к диаметру. Обсуждатьособенности числа π; находитьдополнительнуюинформацию об этом числе. Знакомитьсяс формулами длины окружности, площади круга, объёма шара; вычислять по этим формулам. Вычислять размеры фигур, ограниченных окружностями и их дугами. Округлятьрезультаты вычислений по формулам
8.5. Что такое уравнение		О-46, «Проверь себя», П-37	Строить речевые конструкции с использованием слов «уравнение», «корень уравнения». Проверять, является ли указанное число корнем рассматриваемого уравнения. Решатьуравнения на основе зависимостей между компонентами действий. Составлятьматематические модели (уравнения) по условиям текстовых задач
Обзор и контроль

Основные цели : развить представления учащихся об использовании буквенной символики, сформировать элементарные навыки составления буквенных выражений и вычисления их значений, а также работы с формулами, дать первоначальное представление об уравнении с одной переменной.

Обзор главы . Глава включает материал, относящийся к алгебраическому блоку содержания курса математики 5-6 классов. Он группируется вокруг трёх фундаментальных алгебраических понятий: выражение, формула, уравнение. Изложение материала ведётся на основе знакомства с математическим языком, перевода с естественного языка на математический, использования математического языка для описания реальной действительности.

Вначале обсуждается вопрос об использовании букв для обозначения чисел, вводится понятие буквенного выражения и такие связанные с ним понятия, как «числовая подстановка», «значение буквенного выражения», «допустимые значения букв». На элементарном уровне отрабатываются соответствующие практические умения.

Опыт работы с буквенными выражениями является основой для изучения следующего фрагмента, в котором рассматривается вопрос о формулах. Формула для учащихся - это буквенное равенство, которое на символическом языке описывает некоторое правило. Учащиеся записывают в виде формул известные им правила вычисления некоторых величин (периметра и площади прямоугольника и квадрата, объёма прямоугольного параллелепипеда и т. д.) и знакомятся с новыми геометрическими понятиями и соответствующими формулами (длины окружности, площади круга, объёма шара).

Завершается глава обсуждением вопроса об уравнениях. Уравнение появляется как результат перевода условия текстовой задачи на математический язык. Решаются уравнения на этом этапе изучения курса известным из начальной школы приёмом - на основе зависимости между компонентами действий. Подчеркнём, что этот фрагмент по своей дидактической роли служит вводным этапом в тему «Уравнения», изучение которой будет начато в курсе алгебры 7 класса.

Материалы для контроля .

Пособие «Контрольные работы». Зачёт 7. Буквы и формулы.

Пособие «Тематические тесты». Тест 14. Буквы и формулы.

О математическом языке

Методический комментарий

Учащиеся уже имеют опыт использования букв для записи простейших выражений, свойств арифметических действий, для обозначения неизвестного числа. Они также умеют пользоваться такими математическими символами, как знаки арифметических действий, знаки сравнения, скобки. Теперь эти знания и умения служат основой для разговора о математическом языке как специальном языке науки, который создавался и совершенствовался вместе с развитием математики.

Упражнения в пункте направлены на формирование навыков чтения и записи буквенных выражений и буквенных равенств. Вся работа осуществляется как деятельность по переводу с естественного языка на математический и наоборот. К системе упражнений учебника целесообразно добавить задания на содержательную интерпретацию буквенных выражений, например: «Килограмм шоколадных конфет стоит а рублей, килограмм карамели стоит b рублей. Что могло быть куплено, если стоимость покупки (в рублях) равна a + b ? 3b ? 2a ? 2a + b ? Каков смысл выражения a – b ?»

ТЕМА 2 : ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ. ФОРМУЛЫ. УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ. КОМБИНАТОРИКА.

Раздел 1: Числовые выражения

Запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют числовым выражением Например : 36:4 – 25; 84 + (67 – 37) * 4 . а) Что значит найти значение числового выражения? Это значит необходимо выполнить все действия над числами, придерживаясь общепринятых правил порядка их выполнения. Например : (327 -123) : + 86 = 137 Порядок выполнения действий: 1) 327-123 = 204; 2) = 2 * 2 = 4; 3) 204: 4 = 51 ; 4) 51 + 86 = 137 б) «Чтение» числовых выражений Числовые выражения необходимо уметь «читать», используя названия действий. Например : 5+67 – сумма чисел 5 и 67 ; 81 – 9 - разность чисел 81 и 9 ; 2 * (5 + 7) - произведение 2 и суммы чисел 5 и 7 ; 21: (7 – 4) - частное от деления 21 и разности 7 и 4 ; (35 + 7) * (35 – 7) – произведение суммы и разности чисел 35 и 7 . Запомни : Числовое выражение имеет только одно значение (правильный ответ). Раздел 2: Буквенные выражения Запись, которая состоит из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называется буквенным выражением Например: (3 + а) – 17 ; 6 + 3х; а: 3 + 5 * к. В буквенных выражениях используют те же знаки действий (+ , - , * , :) , как и у числовых,только часто не пишут знак умножить между числом и буквой. 3* х = 3х. а) Что значит найти значение буквенного выражения ? Для этого необходимо вместо буквы подставить соответствующее числовое значение и выполнить все действия в полученном числовом выражении: Пример 1 : Найти значение выражения 3х + 5 , если х = 15 Решение: если х = 15 , то 3х + 5 = 3 * 15 + 5 = 45 + 5 = 50 Пример 2 : В первом ящике лежало а яблок, а груши положили в в ящиков по 25 кг. Сколько всего яблок и груш? Вычислите значение полученного выражения при а = 30 , в = 3 . Решение: Если груши положили в в ящиков по 25 кг в каждый, то всего груш было 25в (кг) . Следовательно, всего яблок и груш было а + 25в (кг). Если а = 30 , в + 3 ,то а + 25В = 30 + 25 * 3 = 30 + 75 = 105 (кг). Запомни: Буквенное выражение имеет бесконечно много значений, которые зависят от значений букв.Изменяя значение буквы, мы получаем каждый раз новое значение буквенного выражения. Раздел 3: Формулы Иногда буквенное выражение обозначают одной буквой. Например периметр квадрата обозначили буквой Р. Тогда пишут Р = 4а. Эту запись называют формулой вычисления периметра квадрата. Известные нам формулы:

№п/п

Раздел 4: Уравнения Уравнением, называется равенство, содержащее неизвестное, значение которого нужно найти. Корнем уравнения называется значение буквы, при котором уравнение становится верным числовым равенством. Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться,что их вообще нет. Пример1 : 0 * х = 12 . Это уравнение не имеет корней , т.к. при умножении нуля на число получают нуль, и число 12 никогда не получат. Пример 2 : 0 * х = 0 . Это уравнение имеет бесконечное множество корней, т.к. при умножении нуля на любое число мы всегда получаем нуль. а) простейшие уравнения: Чтобы найти вычитаемое , нужно из уменьшаемого вычесть разность. 346 – х = 259 х = 346 – 259 х = 87 Ответ: х = 87 чтобы найти уменьшаемое , нужно к разности прибавить вычитаемое. х – 250 = 52 х = 250 + 52 х = 302 Ответ: х = 302 Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. 5*х = 500 х = 500: 5 х = 100 Ответ: х = 100 Чтобы найти неизвестное слагаемое , нужно от суммы вычесть известное слагаемое. 64 + х = 146 х = 146 – 64 х = 82 ответ: х = 82

Чтобы найти делитель , нужно делимое разделить на частное .240: х = 20 х = 240: 20 х = 12 Ответ: х = 12

Чтобы найти делимое , нужно частное умножить на делитель. х: 18 = 6 х = 6 * 18 х = 108 Ответ: х = 108

б) Примеры решения сложных уравнений: (х – 50) + 41 = 95 , где х -50 –слагаемоех -50 = 95 – 41х – 50 = 54 , где х - уменьшаемоех = 54 + 50х = 104Ответ: х = 104 77: (х + 10) = 7 , где х + 10 – делительх + 10 = 77: 7х + 10 = 11 , где х – слагаемоех = 11 – 10х = 1Ответ: х = 1 83 – (х – 42) = 12 , где х – 42 –вычитаемоех – 42 = 83 – 12х – 42 = 71 , где х – уменьшаемоех = 71 + 42х = 113Ответ: х = 113 (13 + х) – 58 = 126 , где 13+х -уменьшаемое13 + х = 126 + 5813 + х = 184 , где х - слагаемоех = 184 – 13х = 171ответ: х = 171

95 – (99 – х) = 8 , где 99 – х – вычитаемое99 – х = 95 – 899 – х = 87 , где х – вычитаемоех = 99 – 87х = 12ответ: х = 12

8 * (х – 14) = 56 , где х – 14 – множительх – 14 = 56: 8х – 14 = 7 , где х – уменьшаемоех = 7 + 14х = 21Ответ: х = 21

х: 8 – 6 = 49 , где х: 8 – уменьшаемоех: 8 = 49 + 6х: 8 = 55 ,где х – делимоех = 55 * 8х = 440Ответ: х = 440 52 + 72: х = 56 , где 72: х – слагаемое72: х = 56 – 5272: х = 4 , где х – делительх = 72: 4х = 18Ответ: х = 18

Раздел 5: Решение задач с помощью уравнений Типы задач: 1) Задачи с одной переменной На полке стояли книги. После того, как с полки взяли 12 книг, а поставили – 9 , на полке стало 39 книг. Сколько книг стояло на полке сначала?

Было

Решение: Пусть было Х книг, тогда (Х – 12) + 9 = 39 Х – 12 = 39 – 9 х – 12 = 30 х = 30 + 12 х = 42 (книг) – было Ответ: 42 книги. 2) Задачи с двумя одноименными величинами На двух полках стояло 72 книги. На второй полке стояло в 2 раза больше, чем на первой. Сколько книг стояло на каждой полке?

Первая полка

Решение: Пусть на первой полке стояло Х книг, тогда на второй стояло (2х) книг. Всего на полках стояло 72 книги. Составим уравнение: х + 2х = 72 х (1 + 2) = 72 3х = 72 х = 72: 3 х = 24 (книг) – на 1 – й полке 2) 24 * 2 = 48 (кн.) – на 2-й полке Ответ: 24 книги, 48 книг. 3) Задачи с тремя зависимыми величинами а) За 2 кг яблок и 3 кг груш заплатили 31 руб. Сколько стоит килограмм яблок и килограмм груш, если груши дороже яблок на 2 руб.

Фрукты

Решение: Пусть 1 кг яблок стоит х (руб.) , тогда 1 кг груш стоит (х + 2) руб. За 2кг яблок заплатили (2х) руб.) , а за 3 кг груш – 3* (х + 2) руб.За всю покупку заплатили 31 грн. Составим уравнение: 2х + 3 (х + 2) = 31 2х + 3х + 6 = 31 5х + 6 = 31 5х = 31 – 6 5х = 25 ; х = 25: 5 ; х = 5 (руб.) – стоит 1 кг яблок 2) 5 + 2 = 7 (руб.) – стоит 1 кг груш Ответ: 5 руб., 7 руб. б) Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из сёл, расстояние между которыми 50 км. Встретились они через 2 часа. Первый ехал со скоростью 12 км/ч. найдите скорость второго велосипедиста.

Велосипедист

Решение: Пусть скорость второго велосипедиста – х км/ч, тогда он поехал (2х) км, а первый проехал – (12 * 2) км. Общее расстояние 50 км. Составим уравнение: 2х + 12 * 2 = 50 ; 2х + 24 = 50 ; 2х = 50 – 24 2х = 26 х = 26: 2 х = 13 (км/ч) – скорость второго велосипедиста. Ответ: 13 км/ч. в) Катер прошел 51 км по течению реки и потратил на это 3 часа. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Движение

Решение: Пусть скорость течения – х км/ч, тогда скорость по течению равна (15 + х) км/ч. Расстояние катера по течению реки составляет 3 * (15 + х) км. Составим уравнение: 3 * (15 + х) = 51 15 + х = 51: 3 15 + х = 17 х = 17 – 15 х = 2 (км/ч) – скорость течения реки Ответ: 2 км/ч.

ПАМЯТКА ДЛЯ УЧЕНИКА

Основная цель - систематизировать и обобщить сведения

о преобразованиях алгебраических выражений и решений урав-нений с одной переменной.

В соответствии с требованием федерального компонента госу-дарственного образовательного стандарта основного общего об-разования по математике первую тему 7 класса следует рассматри-вать как «связующее звено» между курсом математики 5–6 классов и курсом алгебры.

На уроках вводного повторения рекомендуется проводить в устной работе многократное повторение правил действий с раци-ональными числами. Нахождение значений числовых и буквенных выражений дает возможность закрепить вычислительные навыкис рациональными числами, а в случае необходимости (после не-больших проверочных работ) организовать тренировочные заня-тия, карточки с домашними заданиями для ликвидации выявлен-

ных пробелов. Уделяя развитию навыков вычисления серьезное внимание, систематически проводим устные разминки-вычисле-ния, комментирование с места.

При рассмотрении преобразований выражений повторяем из-

ученные ранее свойства действий над числами, подчеркивая, что

они составляют основу тождественных преобразований. Правила вывешиваются на дополнительную доску, сопровождая работу по теме как опорный сигнал.

Теоретические сведения при изучении темы «Уравнения с од-ной переменной», такие как «равносильность уравнений», фор-мулируются и разъясняются на конкретных примерах. Уровень сложности при изучении линейных уравнений остается таким же, как и в 6 классе. Однако, помогая учащимся проводить исследо-вание решения уравнения вида ax = b при различных значениях

а и b, средства алгебры способствуют развитию аналитического мышления.

Важная тема «Решение задач с помощью уравнений» остается трудной для большинства учащихся. Многие дети плохо читают,

и если навыки смыслового чтения не сформированы в достаточ-ной степени, то учителю предстоит добиваться коррекции умений учащихся на своих уроках. Многократное прочтение текста зада-чи, подводящий диалог о данных, подбор интересных по содержа-нию задач, особенно практического направления - всё это помо-гает осмыслить задачу и составить её математическую модель, то есть уравнение . В 7 классе продолжается работа по формированию у учащихся умения использовать аппарат уравнений как средство для решения задач. Такая работа, кроме того, способствует фор-мированию и коррекции еще одной из важных способностей уча-щихся - развитию речи.

Решить как можно больше задач на уроке возможно путем фронтальной работы с классом, иногда ограничивая работу толь-ко составлением уравнения, не решая его. Работа в группах помо-жет разделить этапы решения задач.

Ознакомление учащихся в 7 классе с простейшими статисти-ческими характеристиками:средним арифметическим,модой,ме-дианой, размахом, а также способами организации статистиче-ских исследований - в 8 классе носит обзорный характер и имеет цель сформировать представление о статистике как особом на-правлении в математике.

В 8 классе тема «Выражения» продолжается в изучении раци-ональных дробей. Максимально сокращая сложность выражений,необходимо уделять особое внимание отработке умений выпол-нять сложение, вычитание, умножение и деление дробей, так как они являются опорными преобразованиями дробных выражений.

Функции

Одно из основных понятий в математике сквозной линией на-

чинается в 7 классе (линейная функция y = kx + b ) и развивается

в старших классах (C = k x , y = x 2 , y = x 3 , y = x - в 8 классе). Форми-рование всех функциональных понятий и выработка соответству-

ющих навыков, а также изучение конкретных функций сопрово-ждаются рассмотрением примеров реальных зависимостей между величинами, что облегчает усвоение учебного материала для уча-щихся, устанавливает межпредметные связи, способствует усиле-нию прикладной направленности курса алгебры.

Степень

При изучении этой темы (в 7 классе - степень с натуральным показателем, а в 8 - степень с целым показателем) способствуем выработке умения выполнять действия над степенями и приме-нять свойства степени в вычислениях и преобразованиях выраже-ний. Этому помогают многократное повторение и проговаривание правил действий, опорные сигналы в виде формул, отражающие свойства степени. При выполнении заданий на нахождение зна-чений выражений, содержащих степени, особое внимание следует обратить на порядок действий.

• Равенство с переменной называют уравнением.
• Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
• Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
• Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
• Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
• Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Примеры. Решить уравнение.

1. 1,5х+4 = 0,3х-2.

1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство:

1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу:

х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как

х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:

чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Ответ: 5.

2. 3∙ (2х-9) = 4∙ (х-4).

6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 11 : 2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: 5,5.

3. 7х- (3+2х)=х-9.

7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.

7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: -1,5.

3 ∙ (х-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.

3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

11х = 143. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 143 : 11. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: 13.

5. Решить самостоятельно уравнения:

а) 3-2,6х = 5х+1,48;

б) 1,6 · (х+5) = 4 · (4,5-0,6х);

в) 9х- (6х+2,5) = — (х-5,5);

5а) 0,2; 5б) 2,5; 5в) 2; 5г) -1.

Страница 1 из 1 1

Уравнения

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да...) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные - третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю - для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа - Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: "Как решать уравнения? " лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: "с иксами - влево, без иксов - вправо!" Это заклинание - инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас - 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ "с никаким" не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.