Большая энциклопедия нефти и газа. Задачи для самостоятельного решения
Cтраница 1
Теорема Фробениуса дает характеризацию двудольных графов, обладающих совершенным паросочетанием. Теорема Холла содержит характеризацию двудольных графов, имеющих паросочетание из А в В. Теорема Кенига дает формулу для числа паросочетания в двудольном графе.
Теорема Фробениуса устанавливает связь между инвалютивностью и интегрируемостью системы линейно независимых векторов.
Теорема Фробениуса доказана полностью.
Теорема Фробениуса т умюжения Основное поле / С играет при этом роль единицы, поскольку А К - А для любой алгебры А. Наконец, теорема 3.1 показывает, что обратная алгебра А, действительно, с точностью до матриц является обратной к алгебре А в смысле этой операции Все это позволяет определить на множестве классов изоморфизма центральных тел структуру группы следующим образом.
Теорема Фробениуса 1.43 изначально появилась как теорема о природе решений определенных систем однородных линейных уравнений с частными производными первого порядка; см. Fro-benius и обсуждение инвариантов в § 2.1. Ее превращение в теорему из дифференциальной геометрии впервые произошло в важной книге Chevalley по группам Ли. В этой книге в первый раз была собрана вместе большая часть современных определений и теорем по этому предмету. Впоследствии он был еще обобщен - см. Sussmann , - однако осталось еще много работы, в частности, по выяснению структуры особых множеств. В этих и других работах термины распределение или дифференциальная система применяются к тому, что мы просто называем системой векторных полей.
Теоремы Фробениуса и Шура имеют сложное комбинаторное доказательство.
Из теоремы Фробениуса следует расщепляемость групп Фробениуса. Если Н - дополнительный множитель группы Фробени уса, то нормализатор любой подгруппы Ях из Н содержится в последней. Так как то же самое справедливо для любой подгруппы, сопряженной с Я, то сильно изолирован инвариантный множитель группы Фробениуса. Следовательно, любой неединичлый элемент, не содержащийся в инвариантном множителе, индуцирует в нем регулярный автоморфизм.
По теореме Фробениуса - Перрона любая положительная матрица (или неотрицательная, но неразложимая) имеет положительное действительное собственное значение A mas, которому отвечает единственный (с точностью до множителя) собственный вектор с положительными компонентами. Тем самым существование вектора приоритетов (весов элементов) обеспечивается во всех случаях, когда в матрице суждений имеются лишь положительные элементы.
По теореме Фробениуса все числа (129) отличны от нуля и одного знака.
По теореме Фробениуса [ 1, § 10, 9J кажущийся более общим случай dwj i /, Л Wk сводится к только что рассмотренному с помощью подходящих линейных комбинаций, и эти условия необходимы и достаточны для локальной интегрируемости. Они гарантируют, что элемент поверхности может быть продолжен с инфинитезимального на локальный уровень; вопрос же о возможности продолжения на глобальный уровень остается открытым. В этом случае N характеризуется векторным полем X Т 1, и, как показано в параграфе 2.3, в X локально всегда существуют интегральные кривые. В общем случае n - мерные подмногообразия инвариантны относительно локальных потоков Фх, порожденных векторным полем X, удовлетворяющим условию (wj Х) 0, и даже локально порожденных, если Фх могут действовать на точку.
Теорема, описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что: 1) Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля. 2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля. Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля: 3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля. Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8. Лит.: Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973. О. А. Иванова.
Смотреть значение Фробениуса Теорема в других словарях
Теорема
— теоремы, ж. (от греч. theorema, букв. зрелище) (науч.). Положение, справедливость к-рого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных........
Толковый словарь Ушакова
Теорема Ж.
— 1. Положение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем доказательства (в математике).
Толковый словарь Ефремовой
Вторая Теорема Экономики Благосостояния
— - утверждает, что всякое Парето-оптимальное состояние является равновесным для некоторого первоначального распределения вкладов факторов производства.
Экономический словарь
Двухфондовая Теорема Разделения
— Теоретическое утверждение о том, что все
инвесторы предпочитают вкладывать средства в комбинацию двух активов: безрискового
актива и рыночного портфеля.
Экономический словарь
Разделительная Теорема Фишера
— Выбор компанией инвестиций не зависит от отношения владельцев к данным
инвестициям. Также называется теоремой раздельного портфеля (portfolio separation theorem).
Экономический словарь
Теорема Взаимного Фонда
— Результат, сопряженный с
моделью определения стоимости
капитала и утверждающий, что
инвесторы предпочтут составить весь рискованный
портфель из акций........
Экономический словарь
Теорема Выравнивания Цен На Факторы Производства (теорема Хекшера-олина- Самуэльсона)
— - согласно ей под воздействием развития международной торговли происходит
выравнивание абсолютных и относительных цен на
факторы производства в участвующих в торговле странах
Экономический словарь
Теорема Коуза
— - дает решение того, как на основе прав собственности можно бороться с "внешними эффектами": шумом аэродрома, нарушающим покой; фабричным дымом, отравляющим воздух и........
Экономический словарь
Теорема О Разделении
— (separation theorem) – в модели оценки капитальных активов – утверждение согласно которому
оптимальный
портфель рискованных активов для любого
инвестора не зависит........
Экономический словарь
Теорема Об Эффективном Множестве (efficient Set Theorem)
— утверждение о том, что инвесторы будут выбирать портфели только из эффективного множества.
Экономический словарь
Теорема Паритета Процентных Ставок
— Разница в процентных
ставках двух стран равна разнице между форвардным валютным курсом и наличным курсом.
Экономический словарь
Теорема Равенства Цен Спот И Фьючерс
— Теорема, описывающая идеальную
зависимость между текущими ценами "
спот" и фьючерсными ценами. Там, где происходит
отклонение от такой идеальной зависимости,........
Экономический словарь
Теорема Разделения
— Теорема, утверждающая, что
стоимость
инвестиции для каждого индивидуального
инвестора не зависит от его потребительских предпочтений. Любой инвестор примет........
Экономический словарь
Теорема Разделения (separation Theorem)
— свойство САРМ, состоящее в том, что оптимальная для инвестора комбинация рискованных активов не зависит от его отношения к риску и доходности.
Экономический словарь
Теорема Разделения Портфеля / Теорема Раздельного Портфеля
— Выбор инвестором рискованного инвестиционного портфеля осуществляется независимо от его отношения к
риску. Ср. Fishers separation theorem (
разделительная теорема Фишера)
Экономический словарь
Теорема Рыбчинского
— (в теории международной торговли) - согласно ей увеличение
предложения и использования одного из факторов производства приводит к непропорционально большому увеличению........
Экономический словарь
Теорема Самуэльсона-джонса
— (в теории международной торговли) - согласно ей
развитие международной торговли приводит к
росту доходов владельцев факторов, специфических для
экспорто-ориентированных........
Экономический словарь
Теорема Столпера-сэмюэльсона
— экономическое положение, согласно которому повышение цены любого товара при неизменных остальных факторах приводит к повышению цен тех ресурсов, которые используются........
Экономический словарь
Теорема
— -ы; ж. [греч. theōrēma] Математическое положение, истинность которого устанавливается путём доказательства. Геометрическая т. Доказать теорему.
Толковый словарь Кузнецова
Великая Теорема Ферма
— , гипотеза, впервые высказанная ФЕРМА, что для всех целых чисел n2 не существует таких натуральных чисел х, у и z, которые удовлетворяли бы уравнению хn+уn=zn. На полях одной........
Теорема
— , утверждение или предложение, которое доказывается логическими рассуждениями, основанными на фактах и АКСИОМАХ. см. также ВЕЛИКАЯ ФЕРМА.
Научно-технический энциклопедический словарь
Безу Теорема
— остаток от деления многочлена Pn(x) степени n на двучлен x - b, где b - число, равен Pn(b). Установлена Э. Безу.
Бернулли Теорема
— одна из предельных теорем теории вероятностей;простейший случай закона больших чисел, относится к распределениюотклонений частоты появления некоторого случайного........
Большой энциклопедический словарь
Вариньона Теорема
— момент равнодействующей системы сил относительнолюбого центра (или оси) равен сумме моментов сил этой системы относительнотого же центра (оси).
Большой энциклопедический словарь
Виета Теорема
— установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенногоквадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположнымзнаком, а произведение - свободному члену.
Большой энциклопедический словарь
Гаусса Теорема
— основная теорема электростатики, устанавливающая связьмежду потоком напряженности электрического поля через замкнутуюповерхность и электрическим зарядом внутри этой поверхности.
Большой энциклопедический словарь
Жуковского Теорема:
— подъемная сила - действующая на тело в потоке жидкостиили газа, обусловлена связанными с телом вихрями (т. н. присоединеннымивихрями), возникающими из-за вязкости жидкости........
Большой энциклопедический словарь
Ирншоу Теорема
— сформулированная английским ученым С. Ирншоу в 19 в.теорема электростатики, согласно которой система покоящихся точечныхзарядов, расположенных на любом расстоянии........
Большой энциклопедический словарь
Косинусов Теорема
— теорема тригонометрии, устанавливающая соотношениямежду сторонами a, b, c произвольного треугольника и косинусом угла Смежду сторонами a и b: c2 = a2 + b2 - 2abcosC.
Большой энциклопедический словарь
Лапласа Теорема
— одна из предельных теорем теории вероятностей. Если прикаждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторогослучайного события Е равна р (0"р"1) и m - число........
Большой энциклопедический словарь
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Пусть - тело , содержащее в качестве подтела тело R {\displaystyle \mathbb {R} } вещественных чисел, причём выполняются два условия:
Другими словами, L {\displaystyle \mathbb {L} } является конечномерной алгеброй с делением над полем вещественных чисел.
Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело L {\displaystyle \mathbb {L} } :
Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям R {\displaystyle \mathbb {R} } . Например, она не охватывает поле гипервещественных чисел нестандартного анализа , которое тоже является расширением R {\displaystyle \mathbb {R} } , но не конечномерным. Другой пример, алгебра рациональных функций .
Следствия и замечания
Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса .
Алгебры с делением над полем комплексных чисел
Алгебра размерности n над полем комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тело кватернионов не является алгеброй над полем C {\displaystyle \mathbb {C} } , так как центром H {\displaystyle \mathbb {H} } является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над C {\displaystyle \mathbb {C} } является алгебра C {\displaystyle \mathbb {C} } .
Гипотеза Фробениуса
В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве R n нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.
Если при n>1 в пространстве R n определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей . Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере , следует, что это возможно только для сфер S 1 , S 3 , S 7 . Это доказывает гипотезу Фробениуса.
См. также
Литература
- Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. - М. : Наука, 1990. - 320 с.
- Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд . - М. : Наука, 1973. - 400 с.
- Понтрягин Л. С. Обобщения чисел . - М. : Наука, 1986. - 120 с. - (Библиотечка «Квант» , выпуск 54).
Счётные
множестваВещественные числа
и их расширенияИнструменты расширения
числовых системИерархия чисел − 1 , 0 , 1 , … {\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots } Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй.
Пусть - альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в A операцию сопряжения следующим образом: если элемент а A пропорционален 1, то a = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре. В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент a, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре.
Из определения a непосредственно следует, что = а, а также =ka, где k R.
Пусть а A не пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, . R , .), содержащую а. В этой подалгебре для а A тоже имеется сопряженный элемент a. Покажем, что а совпадает с a.
Элементы а и a, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:
а+a = 2а* 1, где а R, (14)
а* a = d*1, где d R. (15)
Элементы а и a, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:
а+ a = 2а 1 * 1, где а 1 R, (14")
а * a = d 1 *1, где d 1 R. (15 /)
Вычтем из (14) и (15) соответственно (14 /) и (15"). Тогда:
a - a = 2(a - a1)*1.
а (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1.
a(a - a), то a = *1,
т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению.
Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры.
Точно так же |а| 2 = аa как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной подалгебры алгебры, так, что модуль элемента а A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры.
Тогда для любых a, b А справедливы равенства:
A+ и = a *. (16)
Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры, то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в кватернионной подалгебре алгебры.
Из = b и из второго равенства (16) вытекает, что = ba, откуда
a + ba = с* 1, где с R.
Определим в (A, +, . R , .) скалярное произведение (а, b) как
a + ba = 2(а, b) * 1.
Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения:
1) (а, а) > 0 при а? 0 и (0, 0) = 0.
В самом деле,
(а, а) * 1 = (аa + аa) = аa = |а|* 1,
а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а? 0 и равен 0 при а = 0.
2) (a, b) = (b. а), так как
a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,
a + ba = ba + a, тогда (a, b) = (b, a).
3) (a, kb) = k(a, b) при k R.
Действительно,
(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).
4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)
следует из определения скалярного произведения и первого равенства (16).
Из (а, а) = |а| 2 1 следует, что = |а|, т.е. норма элемента a А совпадает с модулем а как комплексного числа, так и кватерниона.
Так как любые два элемента а и b из алгебры принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то
|ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).
Следовательно, все свойства скалярного произведения для (а, b) выполняются. Отсюда следует, что алгебра есть нормированная линейная алгебра.
Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплесных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.
Так как по доказанному в предыдущей теореме альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей является нормированной линейной алгеброй, а последняя по теореме Гурвица изоморфна либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов, либо алгебре октав, то отсюда следует утверждение теоремы.
Если I = f0g, то F = R.
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Если I = f0g, то F = R.
Если размерность подпространства I равна 1, то F = C.
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Если I = f0g, то F = R.
Если размерность подпространства I равна 1, то F = C. Пусть размерностьподпространства I больше 1.
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
пространства I . Положим i = p1 u. Тогда
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
i2 =
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u 2 (u2 ) =
i2 = p1 u 2 u
p 1 u 2 u =
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u 2 (u2 ) = 1:
i2 = p1 u 2 u
p 1 u 2 u =
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i = p1 u. Тогда i2 = 1:
По в сумму i v = + x, где 2 R, x 2 I.
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
лемме о разложении элементов из F
i v = + x, где
2 R, x 2 I . Согласно
(i + v) 2 I , в
частности, (i + v)2 < 0.
(i + v)2
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
лемме о разложении элементов из F
i v = + x, где
2 R, x 2 I . Согласно
(i + v) 2 I , в
частности, (i + v)2 < 0.
(i + v)2
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
лемме о разложении элементов из F
i v = + x, где
2 R, x 2 I .
Согласно
(i + v) 2 I ,
в частности, (i + v)2 < 0.
(i + v)2
(i + v)!
(i + v)2
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
лемме о разложении элементов из F
i v = + x, где
2 R, x 2 I .
Согласно
(i + v) 2 I ,
в частности, (i + v)2 < 0.
(i + v)2
(i + v)!
(i + v)2
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
о разложении
элементов из
i v = + x, где
2 R, x 2 I .
(i + v). Имеем j2 = 1,
(i + v)2
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
о разложении
элементов из
i v = + x, где
2 R, x 2 I .
(i1 + v). Имеем j2 = 1,
(i + v)2
i j = i
(i + v)2
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
о разложении элементов
i v = + x, где
x 2 I .
(i1 + v). Имеем j2 = 1,
(i + v)2
i j = i
(i + v)2
(i + v)2
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
о разложении
элементов
i v = + x, где
x 2 I .
(i1 + v). Имеем j2 = 1,
(i + v)2
i j = i
(i + v)2
(i + v)2
(i + v)2
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
о разложении
элементов
i v = + x, где
x 2 I .
(i1 + v). Имеем j2 = 1,
(i + v)2
i j = i
(i + v)2
(i + v)2
x 2 I :
(i + v)2
(i + v)2
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
о разложении
элементов из
i v = + x, где
2 R, x 2 I .
(i + v)2
Значит, ,
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
о разложении
элементов из
i v = + x, где
2 R, x 2 I .
(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
(i + v)2
I + j + i j ; ; ; 2 R
тело кватернионов.
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Пусть размерность подпространства I больше 1.
Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного
пространства I . Положим i =
u. Тогда i2 = 1:
о разложении
элементов из
i v = + x, где
2 R, x 2 I .
(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
(i + v)2
Значит, по лемме о вложении тела кватернионов вF ,
I + j + i j ; ; ; 2 R
тело кватернионов.
Таким образом, если линейное пространство I имеет размерность 3, то F это тело кватернионов.
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
подпространства I больше 3.
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I
Возьмем линейно независимую
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
x; y; z 2 I :
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леммы о разложении элементов из F в сумму
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леммы о разложении элементов из F в сумму
x; y; z 2 I :
В силу леммы о подпространстве I t = m + i + j + k 2I . Излинейной независимости системы векторов fi; j; k; mg сле-
дует, что t 6= 0.
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леммы о разложении элементов из F в сумму
x; y; z 2 I :
лемме о подпространстве I
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леммы о разложении элементов из F в сумму
x; y; z 2 I :
Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I
i t = i m + k j =
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леммы о разложении элементов из F в сумму
x; y; z 2 I :
Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I
i t = i m + k j = x + k j
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леммы о разложении элементов из F в сумму
x; y; z 2 I :
Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I
i t = i m + k j = x + k j 2 I:
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леммы о разложении элементов из F в сумму
Аналогично можно доказать, что j t 2 I, k t 2 I.
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леммы о разложении элементов из F в сумму
x; y; z 2 I :
Доказано, что
0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпро-
странстве I
i t 2 I, j t 2 I,
Положим n =
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемме о вложении тела кватернионов в F
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемме о вложении тела кватернионов в F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемме о вложении тела кватернионов в F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
N i j = i n j =
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемме о вложении тела кватернионов в F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
N k = n i j = i n j =
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемме о вложении тела кватернионов в F
i n = n i; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемме о вложении тела кватернионов в F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемме о вложении тела кватернионов в F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса
Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.
Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемме о вложении тела кватернионов в F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:
Следовательно, 2k n = 0, противоречие.
VII. Теорема Фробениуса
Теорема 2. Пусть F тело , причем R F ,
9i1 ; i2 ; : : : ; in
9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :
Тогда F это либо R, либо C, либо тело кватернионов .
Теорема доказана.
внимание!
e-mail: [email protected]; [email protected]
сайты: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru