Как решать уравнения с х. Решение уравнений с двумя переменными. Решение линейных уравнений. Примеры
I. ax 2 =0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0 ). Решение: х=0. Ответ: 0.
Решить уравнения.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
Решение. Раскроем скобки, умножив 2х на каждое слагаемое в скобках:
2x 2 +6x=6x-x 2 ; переносим слагаемые из правой части в левую:
2x 2 +6x-6x+x 2 =0; приводим подобные слагаемые:
3x 2 =0, отсюда x=0.
Ответ: 0.
II. ax 2 +bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0 ). Решение: x (ax+b)=0 → x 1 =0 или ax+b=0 → x 2 =-b/a. Ответ: 0; -b/a.
5x 2 -26x=0.
Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:
х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:
х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.
Ответ: 0; 5,2.
Пример 3. 64x+4x 2 =0.
Решение. Вынесем общий множитель 4х за скобки:
4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х =0. Из последнего равенства получим х=-16.
Ответ: -16; 0.
Пример 4. (x-3) 2 +5x=9.
Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:
x 2 -6x+9+5x=9; преобразуем к виду: x 2 -6x+9+5x-9=0; приведем подобные слагаемые:
x 2 -x=0; вынесем х за скобки, получаем: x (x-1)=0. Отсюда или х=0 или х-1=0 → х=1.
Ответ: 0; 1.
III. ax 2 +c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0 ); Решение: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
Если (-c/a)<0 , то действительных корней нет. Если (-с/а)>0
Пример 5. x 2 -49=0.
Решение.
x 2 =49, отсюда x=±7. Ответ: -7; 7.
Пример 6. 9x 2 -4=0.
Решение.
Часто требуется найти сумму квадратов (x 1 2 +x 2 2) или сумму кубов (x 1 3 +x 2 3) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:
Помочь в этом может теорема Виета:
x 2 +px+q=0
x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.
Выразим через p и q :
1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;
2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.
Решение.
1) Выражение x 1 2 +x 2 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x 1 +x 2 =-p;
(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
2) Выражение x 1 3 +x 2 3 представим по формуле суммы кубов в виде:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).
Еще одно полезное равенство: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q).
Примеры.
3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x 1 2 +x 2 2 .
Решение.
x 1 +x 2 =-p=3, а произведение x 1 ∙x 2 =q= в примере 1 ) равенство:
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. У нас -p =x 1 +x 2 =3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 =-4. Тогда x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.
Ответ: x 1 2 +x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x 1 3 +x 2 3 .
Решение.
По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x 1 +x 2 =-p=2, а произведение x 1 ∙x 2 =q= -4. Применим полученное нами (в примере 2 ) равенство: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.
Ответ: x 1 3 +x 2 3 =32.
Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.
5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x 1 2 +x 2 2 .
Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.
По теореме Виета сумма корней равна 2,5 ; произведение корней равно -3,5 .
Решаем так же, как пример 3) , используя равенство: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Ответ: x 1 2 +x 2 2 =13,25.
6) x 2 -5x-2=0. Найти:
Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p , а произведение корней через q , получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
В нашем примере x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q= -2. Подставляем эти значения в полученную формулу:
7) x 2 -13x+36=0. Найти:
Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.
У нас x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36 . Подставляем эти значения в выведенную формулу:
Совет : всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13 , а произведение корней 36 . Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!
I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.
Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.
Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.
Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .
Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:
x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.
Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .
На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.
Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:
Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.
Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.
Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:
II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на а:
x 1 +x 2 =-b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.
Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x 2 -7x-11=0 .
Решение.
Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D =7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.
x 1 +x 2 =-b:a =- (-7):2=3,5.
Пример 7) . Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x 2 +8x-21=0.
Решение.
Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент (8 ) является четным числом. D 1 =4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x 1 ∙x 2 =c:a =-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида
Дискриминант D=b 2 - 4ac.
Если D>0 , то имеем два действительных корня:
Если D=0 , то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a) .
Если D<0, то действительных корней нет.
Пример 1) 2x 2 +5x-3=0.
Решение. a =2; b =5; c =-3.
D=b 2 — 4ac =5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.
4x 2 +21x+5=0.
Решение. a =4; b =21; c =5.
D=b 2 — 4ac =21 2 — 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 действительных корня.
II. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором
коэффициенте b
Пример 3) 3x 2 -10x+3=0.
Решение. a =3; b =-10 (четное число ); c =3.
Пример 4) 5x 2 -14x-3=0.
Решение. a =5; b = -14 (четное число ); c =-3.
Пример 5) 71x 2 +144x+4=0.
Решение. a =71; b =144 (четное число ); c =4.
Пример 6) 9x 2 -30x+25=0.
Решение. a =9; b =-30 (четное число ); c =25.
III. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии : a-b+c=0.
Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с , деленному на а :
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
Пример 7) 2x 2 +9x+7=0.
Решение. a =2; b =9; c =7. Проверим равенство: a-b+c=0. Получаем: 2-9+7=0 .
Тогда x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Ответ: -1; -3,5.
IV. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a+b+c=0.
Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с , деленному на а :
x 1 =1, x 2 =c/a .
Пример 8) 2x 2 -9x+7=0.
Решение. a =2; b =-9; c =7. Проверим равенство: a+b+c=0. Получаем: 2-9+7=0 .
Тогда x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. Ответ: 1; 3,5.
Страница 1 из 1 1
Линейные уравнения. Решение, примеры.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Линейные уравнения.
Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)
Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:
ax + b = 0 где а и b – любые числа.
2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7
0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3
12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2
Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые числа" ... А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:
Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:
Что напрягает и подрывает доверие к математике, да...) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.
Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)
Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:
Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение
нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.
Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)
Решение линейных уравнений. Примеры.
Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.
Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.
х - 3 = 2 - 4х
Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.
Для этого нужно перенести - 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а - 3 - в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря...) Получим:
х + 4х = 2 + 3
Приводим подобные, считаем:
Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:
Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.
Например, вот это уравнение:
С чего начнём? С иксами - влево, без иксов - вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.
Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?
95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:
Раскрываем скобки:
Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:
Раскрываем оставшиеся скобки:
Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:
Приводим подобные:
И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:
Вот и всё. Ответ: х =0,16
Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)
Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.
Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.
Особые случаи при решении линейных уравнений.
Сюрприз первый.
Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:
2х+3=5х+5 - 3х - 2
Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо... Со сменой знака, всё чин-чинарём... Получаем:
2х-5х+3х=5-2-3
Считаем, и... опаньки!!! Получаем:
Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик?
Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.
Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)
Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.
Вот вам и ответ: х - любое число.
Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.
Сюрприз второй.
Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:
2х+1=5х+5 - 3х - 2
После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:
Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)
Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)
Вот вам и ответ: решений нет.
Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.
Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)
Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Уравнения
Как решать уравнения?
В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.
Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.
4. Все остальные.)
Всех остальных, разумеется, больше всего, да...) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.
Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.
И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные - третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.
Но для любых (повторяю - для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа - Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.
Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: "Как решать уравнения? " лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)
Тождественные преобразования уравнений.
В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.
Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.
Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.
Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.
Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.
Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:
Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:
На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:
х+2 - 2 = 3 - 2
Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….
Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа
Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.
Вот и всё.
Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)
Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.
Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.
Пример для младшеньких.)
Допустим, надо решить вот такое уравнение:
3-2х=5-3х
Вспоминаем заклинание: "с иксами - влево, без иксов - вправо!" Это заклинание - инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас - 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:
3-2х+3х=5
Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ "с никаким" не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:
-2х+3х=5-3
Остались сущие пустяки. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Сразу получается ответ:
В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)
Пример для старшеньких.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Корень уравнения
При решении любого уравнения мы стремимся найти такое значение для переменной (обычно икса), при котором левая часть уравнения станет равна правой. Это значение и будет называться (не путать с - это разные понятия!)
Таким образом,
Корень уравнения есть такое число, при подстановке которого в уравнение вместо \(x\), получаются одинаковые справа и слева от знака равно. А найти все такие числа (или показать, что их нет) и значит решить уравнение .
Решая, например, уравнение \(2x+1=x+4\), мы находим ответ: \(x=3\). И если мы подставим это число вместо икса, получим одинаковые значения слева и справа:
\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)
И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст. Значит, число \(3\) – единственный корень уравнения.
Еще раз: корень – это НЕ ИКС! Икс – это переменная , а корень – это число , которое превращает уравнение в верное равенство (в примере выше – тройка). И при решении уравнений мы это неизвестное число (или числа) ищем.
Как решать уравнения?
Для того, чтобы найти корни уравнения, используют . Смысл при этом в том, чтобы после преобразований получить более простое уравнение, имеющее такие же корни (то есть, равносильное исходному).
\(2-2x=23-5x\)
\(-2x+5x=23-2\)
\(3x=21\)
\(x=7\)
Ответ : \(7\)
Обратите внимание, что с каждым шагом уравнение становится проще: если в исходном уравнении понять, что корнем будет число \(7\) сложно, то в \(3x=21\) (а уж тем более в \(x=7\)) это очевидно. Но при этом семерка является корнем для любого из уравнений, полученных в процессе преобразований, и других корней в них нет.
Кстати, заметьте, что \(x=7\) - это тоже уравнение. Просто в нем очевиден корень, поэтому большинство учеников даже не воспринимают эту запись за уравнение, считая, что это, мол, ответ так записывается. Не-не-не, \(x=7\) - это тоже вполне себе полноценное уравнение, только очень простое. А ответ (то есть корень) – просто число \(7\).
ОДЗ - опасная ловушка
В некоторых типах уравнений ( , иррациональных, а также с тангенсом или котангенсом) помимо решения самого уравнения необходимо также учитывать ().
Пример
: Найдите корни уравнения \(\sqrt{4x+5}=x\)
Решение
:
\(\sqrt{4x+5}=x\) |
Возведем в квадрат правую и левую части |
|
Перенесем \(x^2\) влево, поменяв знак перед ним |
||
Умножим уравнение на \(-1\) |
||