Как узнать площадь четырехугольника с разными сторонами. Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника. Как найти площадь четырехугольника – дельтоида

Квадрат – это правильный четырехугольник, в котором все углы и стороны равны между собой.

Довольно часто эту фигуру рассматривают, как частный случай или . Диагонали квадрата равны между собой и используются в формуле площади квадрата через диагональ.
Для расчета площади рассмотрим формулу площади квадрата через диагонали:

То есть площадь квадрата равна квадрату длины диагонали поделенному на два. Учитывая, что стороны фигуры равны, можно рассчитать длину диагонали из формулы площади прямоугольного треугольника или по теореме Пифагора.

Рассмотрим пример расчета площади квадрата через диагональ. Пусть дан квадрат с диагональю d = 3 см. Необходимо вычислить его площадь:

По этому примеру расчета площади квадрата через диагонали мы получили результат 4,5 .

Площадь квадрата через сторону

Найти площадь правильного четырехугольника можно и по его стороне. Формула площади квадрата очень проста:

Так как в предыдущем примере расчета площади квадрата мы рассчитали значение по диаметру, теперь попробуем найти длину стороны:
Подставим значение в выражение:
Длина стороны квадрата будет равна 2,1 cm.

Очень просто можно использовать формулу площади квадрата вписанного в окружность.

Диаметр описанной окружности будет равен диаметру квадрата. Так как квадрат считается правильным ромбом, можно использовать формулу расчета площади ромба. Она равна половине произведения его диагоналей. Диагонали квадрата равны, значит формула будет выглядеть так:
Рассмотрим пример расчета площади квадрата вписанного в окружность.

Дан квадрат, вписанный в окружность. Диагональ окружности равна d = 6 см. Найдите площадь квадрата.
Мы помним, что диагональ окружности равна диагонали квадрата. Подставляем значение в формулу расчета площади квадрата через его диагонали:

Площадь квадрата равна 18

Площадь квадрата через периметр

В некоторых задачах по условиям дается периметр квадрата и требуется расчет его площади. Формула площади квадрата через периметр выводится из значения периметра. Периметр – это сумма длин всех сторон фигуры. Т.к. в квадрате 4 равных стороны, то он будет равенОтсюда находим сторону фигуры Площадь квадрата по обычной формуле считается так: .
Рассмотрим пример расчета площади квадрата через периметр.

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

Квадрат - это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
Диагональ многоугольника - это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
Корень квадратный из числа , это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical - корень).
Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали , если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a . Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади .

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS .

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр . В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ , который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R . Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r .

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

d = rad2*a;
d = rad2*radS;
d = rad2*P/4;
d = 2*R;
d = rad2*2*r.

Хочется ещё отметить , что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Читайте статью, чтобы знать, как находить площадь квадрата разными способами.

Квадрат — это равносторонний прямоугольник. У данного правильного и плоского четырехугольника равенство во всех сторонах, углах и диагоналях. Из-за того что существует такое равенство, формула для вычисления площади и других характеристик, немного видоизменяется по сравнению с иными математическими фигурами. Но это не делает задачи слишком сложными. Давайте разберем все формулы и решения задач в этой статье.

Площадь S прямого и квадратного угольников вычисляется по формуле: a умножить на b . Но так как у квадрата полное равенство сторон, то его площадь будет равна: S=(a) во второй степени . Как узнать величину стороны квадрата, зная его площадь?

Если известна площадь квадратного угольника, то сторону находим путем исчисления площади из-под квадратного корня.
К примеру, площадь угольника равна 49, то чему равняется сторона?
49=(а) во второй степени . Решение: а=корень из 49=7. Ответ: 7 .

Если нужно найти сторону квадратного угольника, площадь которого состоит слишком длинного числа, тогда воспользуйтесь калькулятором. Наберите сначала число площади, а потом нажмите знак корня на клавиатуре калькулятора. Получившееся число и будет ответом.

В этом примере будем использовать теорему Пифагора. У квадрата все стороны равны, а диагональ d мы будем рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а . Теперь находим диагональ квадрата, если известна его площадь:

Чтобы не расписывать всю теорему Пифагора будем решать по второму варианту: d=a√2, где а — это сторона квадрата.
Итак, нам известна площадь квадрата, например, она равна 64. Значит одна сторона а=√64=8.
Получается d=8√2 . Корень из 2 не получается целым числом, поэтому в ответе можно написать именно так: d=8√2 . Но, если хочется вычислить значение, тогда воспользуйтесь калькулятором: √2= 1,41421356237 и умножьте на 8, получается 11, 3137084 .

Важно: Обычно в математике не оставляют в ответе цифры с большим количеством чисел после запятой. Нужно округлять или оставить с корнем. Поэтому ответ на нахождение диагонали, если площадь равна 64 будет таким: d=8√2 .

Формула нахождения площади квадрата через диагональ простая:

Теперь напишем решение по нахождению площади квадрата через диагональ:

Диагональ d=8.
8 в квадрате равняется 64.
64 разделить на 2 равно 32.
Площадь квадрата равна 32.

Совет: У этой задачи есть еще одно решение через теорему Пифагора, но оно более сложное. Поэтому используйте решение, которое мы рассмотрели.

Периметр квадратного угольника P — это сумма всех сторон. Чтобы найти его площадь, зная его периметр, нужно сначала вычислить сторону квадратного угольника. Решение:

Допустим периметр равен 24. Делим 24 на 4 стороны, получается 6 — это одна сторона.
Теперь используем формулу нахождения площади, зная чему равна сторона квадратного угольника: S=а в квадрате, S=6 в квадрате=36 .
Ответ: 36

Как видите, зная периметр квадрата, просто найти его площадь.

Радиус R — это половина диагонали квадрата, вписанного в окружность. Теперь можем найти диагональ по формуле: d=2*R . Далее находим площадь квадрата вписанного в окружность с заданным радиусом:

Диагональ равна 2 умножить на радиус. Например радиус равен 5, тогда диагональ равна 2*5=10 .
Выше было описано, как находить площадь квадрата, если известна диагональ: S=диагональ в квадрате разделить на 2. S=10*10 и разделить на 2=50.
Ответ — 50 .

Эта задача немного сложнее, но тоже легко решаемая, если знать все формулы.

На картинке видно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны. Сторона находится по формуле обратной той, которая изображена на картинке: а=2*r . Потом уже находим площадь квадрата описанного около окружности с заданным радиусом по формуле S=а в квадрате . Решение:

Допустим, радиус равен 7. Сторона квадрата а равна 2*7=14.
S=14 в квадрате=196 .

Если понять суть решения подобных задач, то можно решать их быстро и просто. Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

Примеры решения задач на тему «Площадь квадрата»

Чтобы закрепить пройденный материал и запомнить все формулы, необходимо решить несколько примеров задач на тему «Площадь квадрата». Начинаем с простой задачи и движемся к решению более сложных: Примеры решения сложных задач на тему «Площадь квадрата»

Теперь вы знаете, как пользоваться формулой площади квадрата, а значит, вам любая задача под силу. Успехов в дальнейшем обучении!

Видео: Вычисление площади квадрата

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
S = 1 2
2

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
a · b · sin α

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,