Решение методом половинного деления в excel. Метод дихотомии VBA Excel. Уточнение корней методом хорд

Лабораторная работа № 1.8. Решение нелинейных уравнений заданным методом

(4 – 7 балла)

1.Цель работы

получить представление об итерационных методах определения корней нелинейного скалярного уравнения;

научиться использовать электронные таблицы и средства Excel для определения интервалов существования корней скалярного уравнения и последующего их вычисления с заданной точностью.

2.Необходимые программные и технические средства

Персональный компьютер.
Тип операционной системы – Windows XP и выше.
MS Office версии 97-2003 и выше.

3.Общие сведения

Разнообразные проблемы механики, физики, техники сводятся к вопросу о нахождении корней многочлена, причем, иногда достаточно высоких степеней. Точные решения известны для квадратных уравнений, кубических (формула Кардано) и уравнений 4-й степени (метод Феррари). Для уравнений выше 5-й степени не существует формул для выражения корней многочлена. Однако в технических приложениях обычно достаточно знать лишь приближенные значения корней с некоторой заранее заданной точностью. В общем же случае надежд на простое аналитическое решение нет. Более того, доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения проводят численно в два этапа (здесь разговор идет лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится отделение корней – поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).

В общем виде уравнение n-й степени выглядит следующим образом:

где n − некоторое положительное число,
− произвольные числа, причем старший коэффициент должен быть не равен нулю.

Выражение
называется многочленом (полиномом) n -й степени от неизвестного x .

Если при некотором x = x 0 выполняется равенство
, то x 0 называется корнем многочлена .

4.Задание

Задано уравнение f(x)=0. Требуется найти все его корни тремя способами:

1. найти корень с погрешностью eps=0,0001 методом половинного деления (дихотомии) - локализовать один корень уравнения табличным методом и построить график функции в области этого корня;

2. найти корень с помощью инструмента «Подбор параметра»;

3. найти корень с помощью инструмента «Поиск решения».

Варианты заданий:

х 6 +2х 5 +10х 3 -9х 2 +15х-17,5=0
х 5 -2,8х 4 +3х 3 -3х 2 +4,4х-5=0
х 6 +6,5х 5 -14х 4 +14х 3 -17х 2 +21х-22,5=0
х 6 +10,5х 5 -24х 4 +28х 3 -29х 2 +39х-45=0
х 5 -1,8х 4 -1,9х 3 -2,3х 2 +2,8х-3=0
х 6 +10,5х 5 -18х 4 +22х 3 -17х 2 +31х-37,5=0
х 5 -3х 4 +3,2х 3 -3,5х 2 +4,6х-5=0
х 6 +7,5х 5 -18х 4 +20х 3 -11х 2 +19х-22,5=0
х 5 -2х 4 +2,9х 3 -2,44х 2 +4,2х-5=0
х 6 +9х 5 -18х 4 +19х 3 -19х 2 +30х-35=0
х 5 -2,6х 4 +2,82х 3 -3,41х 2 +4,12х-3,23=0
х 6 +6,5х 5 -20х 4 +21х 3 -21х 2 +31х-32,5=0
х 5 -4х 4 +4х 3 -4,33х 2 +6х-6,67=0
х 6 +3,5х 5 -14х 4 +14х 3 -17х 2 +21х-22,5=0
х 5 -1,6х 4 +2,5х 3 -2,7х 2 +3,6х-4=0
х 6 +8,5х 5 -16х 4 +19х 3 -15х 2 +27х-32,5=0
х 6 +4,5х 5 -18х 4 +22х 3 -17х 2 +31х-37,5=0
х 5 -2х 4 +2,09х 3 -2,52х 2 +3х-3,26=0
х 6 +9,5х 5 -20х 4 +22х 3 -25х 2 +32х-35=0
х 5 -2х 4 +2,25х 3 -2,58х 2 +3,25х-3,54=0
х 4 -3х 3 +20х 2 +44х+54=0
(cos(x)-3sin(x)) 2 -e x =0
2cos(x)+2x 2 =1
ln(x+1)=x 2 +1+5cos(x) 2
3cos(x) 2 +2,3sin(x)=0,5ln(x-0.5)

5.Порядок выполнения

Прочитайте и уясните материалы разделов лекционного курса «Информатика», относящихся к теме работы.

Ознакомьтесь с общими сведениями о предмете лабораторной работы (см. выше в описании данной работы) и рекомендуемыми дополнительными материалами.

Уясните цель работы.

Подготовьте необходимые программные и технические средства (см. выше в описании данной работы).

Приступайте к выполнению работы:

Действительными корнями многочлена будут абсциссы точек пересечения его графика с осью Х и только они.

Число положительных корней многочлена равно числу перемен знаков в системе коэффициентов этого многочлена (коэффициенты, равные нулю, не учитываются) или меньше этого числа на четное число.

Число отрицательных корней многочлена равно числу сохранения знаков в системе коэффициентов этого многочлена или меньше этого числа на четное число.

Если многочлен не имеет отрицательных коэффициентов, то многочлен не имеет положительных корней.

О
трезок
локализации всех корней многочлена определяется по выражению:

Для границы a формула справедлива если

Для отыскания корней многочлена с помощью электронной таблицы MS Excel необходимо выполнить следующие шаги:

Провести табулирование заданного многочлена на интервале .

Выявить интервалы локализации каждого корня многочлена (перемена знака в значении ). При необходимости, следует использовать табуляцию многочлена, неоднократно уменьшая шаг табуляции для более точных оценок.

После локализации корней произвести их уточнение.

При последующем уточнении корня на обнаруженном интервале не надейтесь никогда найти точное значение и добиться обращения функции в нуль при использовании калькулятора или компьютера, где сами числа представлены ограниченным числом знаков. Здесь критерием может служить приемлемая абсолютная или относительная погрешность корня. Если корень близок к нулю, то лишь относительная погрешность даст необходимое число значащих цифр. Если же он весьма велик по абсолютной величине, то критерий абсолютной погрешности часто дает совершенно излишние верные цифры. Для функций, быстро изменяющихся в окрестности корня, может быть привлечен и критерий: абсолютная величина значения функции не превышает заданной допустимой погрешности.

Пример 1

Найти все действительные корни уравнения:

f(x) = х 5 + 2х 4 + 5х 3 + 8х 2 – 7х – 3 = 0 , где а 5 = 1, а 4 = 2, а 3 = 5, а 2 = 8, а 1 = −7, а 0 = −3.

Число сохраненных знаков = 4 (в уравнение отрицательных корней 4 или 2).

^ Число перемены знаков = 1 (в уравнение один положительный корень).

О
пределяем отрезок , на котором существуют корни уравнения

Выполняем приближенное табулирование функции на отрезке [−9; 9] с шагом 1.

Определяем, что функция меняет знак на отрезке [−3; 1].

Производим табулирование функции на отрезке [−3; 1] с шагом 0,1.

Строим график функции.

Используя, таблицу и график функции определяем положение корней уравнения (на рис. 1. отрезки локализации корней выделены желтым цветом).

Из таблицы и графика видно, что многочлен f(x) содержит 3 корня, находящихся в границах отрезков: 1 корень [-2,1; -2]; 2 корень [-0.4; -0,3]; 3 корень .

^ Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии)

Самым простейшим из методов уточнения корней является метод половинного деления , или метод дихотомии , предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде f(x)= 0.

Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b ] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b) ≤ 0 (рис. 2), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.

Возьмем середину отрезка с=(a+b) / 2. Если f(a)×f(с) ≤ 0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b ) / 2 и в противном случае от (a+b ) / 2 до b .

Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (b-a ) ε.

Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b ] и предельной погрешности ε количество вычислений n определяется условием (b-a )/2n ε, или n ~ log 2((b-a )/ε ). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков (ε ~ 10 -6) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

С точки зрения машинной реализации этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

Вычислительная процедура в Excel может быть реализована так

В ячейки вносим следующие формулы:

В ячейку А2 − а (левая граница интервала локализации корня);

В ячейку В2 − b (правая граница интервала локализации корня);

В ячейку С2 − =(А2+В2)/2;

В ячейку D2 − =f (A2)*f (C2);

В ячейку F2 − 0,0001 (абсолютная погрешность);

В ячейку А3 − =ЕСЛИ(D2
В ячейку B3 − =ЕСЛИ(D2
В ячейку D3 − =f (A3)*f (C3);

В ячейку Е3 − =ЕСЛИ(ABS(B3-A3)>$F$2;”продолжаем”;”конец”);

После этого выделяются ячейки А3:Е3 и автозаполнением буксируются вниз до появления в столбце Е сообщения “конец”. Вычисленный корень с заданной точностью будет находиться в конце столбца F.

Вернемся к примеру, и с помощью метода половинного деления уточним значения корней в выделенных отрезках.

Первый корень находится внутри отрезка = [-2,1; -2] расположенного по адресу А2:В2. Заполняем рабочий лист формулами (рис. 4) и с заданной точностью 0,0001 определяем его значение (рис. 5). Ответ находится в ячейке С12 и равен X 1 = -2,073.

Границы отрезка второго корня находящегося внутри отрезка = [-0,4; -0,3] подставляем в таблицу по адресу А2:В2. Определяем его значение (рис. 6). Ответ находится в ячейке С12 и равен X 2 = -0,328.

Границы отрезка третьего корня находящегося внутри отрезка = подставляем в таблицу по адресу А2:В2. Определяем его значение (рис. 7). Ответ находится в ячейке С12 и равен X 3 = 0,7893.

Как и предполагалось, имеется три корня, два из которых отрицательные (Х 1 = -2,073; Х 2 = -0,32808; Х 3 = 0,789307).

^ Уточнение корней средством “Подбор параметра”

Обширную группу методов уточнения корня представляют итерационные методы – методы последовательных приближений. Здесь в отличие от метода дихотомии задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен (подстановка значения корня в уравнение делает его равным нулю), но неизвестны значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться средством Подбор параметр а. Для этого выбирается команда Подбор параметра в меню Серви с . При подборе параметра MS Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Когда задаются условия для применения средства ^ Подбор параметра , в одной ячейке обычно вводится формула, а переменная, которая используется в формуле (с некоторым стартовым значением), задана в другой ячейке.

В формуле можно применять больше одной переменной, но средство ^ Подбор параметра позволяет работать только с одной переменной зараз. Для поиска решения в средстве Подбор параметра применяется итеративный алгоритм . Это означает, что функция сначала проверяет заданное исходное значение параметра и проверяет, дает ли это значение нужный результат. Если исходное значение параметра не дает желаемого результата, средство перебирает другие значения, пока не будет найдено решение.

Поскольку поиск точного решения в некоторых задачах может занять много времени, поэтому MS Excel пытается найти компромисс, устанавливая определенные ограничения по точности решения или максимальному количеству итераций.

Средство ^ Подбор параметра вызывается командой Сервис | Подбор параметра (рис.8).

В окне диалога Подбор параметра в поле Установить в ячейке введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение − ожидаемый результат, в поле Изменяя значение ячейки − ссылку на ячейку, в которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).

Пример 2

Вычислить корень уравнения f(x) = -5х + 6 = 0 с помощью средства ^ Подбор параметра

В ячейку В2 введем любое число, например, 0.

В ячейку В3 введем формулу =-5*В2+6.

Вызовем диалоговое окно Подбор параметра и заполним соответствующие поля.

После нажатия на кнопку ^ ОК Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на ОК , и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки .

Для восстановления значения, которое было в ячейке В2 до использования команды ^ Подбор параметра , нажмите кнопку Отмена .

Как видно из примера в ячейке B2 установилось точное значение корня уравнения

Х = 1,2.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис | Параметры … | вкладка Вычисления, в которой задается Предельное число итераций (по умолчанию 100) и Относительная погрешность (по умолчанию 0,001).

Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку ^ Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг , чтобы выполнить очередную итерацию и посмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка Продолжить − для возврата в обычный режим подбора параметра.

Пример 3

Возьмем в качестве примера все тоже квадратное уравнение

f (x ) = Х 5 + 2Х 4 + 5Х 3 + 8Х 2 − 7Х – 3 = 0.

Для нахождения корней уравнения с помощью средства ^ Подбор параметра выполним следующие действия:

В таблице функции (рис.1) выявляем интервалы локализации корней уравнения (перемена знака в значении функции): первый интервал ячейки Е20:Е21, значение (-1,2698 и 3); второй интервал ячейки Е37:Е38, значение (0,80096 и -0,3012); третий интервал ячейки Е48:Е49, значение (-1,6167 и 0,22688);

В каждом интервале выбираем то значение функции, которое ближе к 0 и составляем пары ячеек «аргумент-значение»: первый корень D20:E20; второй корень D38:E38; третий корень D49:E49.

Уточняем значения корней средством ^ Подбор параметра (рис. 10, 11, 12).

Рис. 10. Корень уравнения Х 1 = -2,073

Рис. 11. Корень уравнения Х 2 = -0,32804

Рис. 12. Корень уравнения Х 3 = 0,78934

Ответ: Х 1 = -2,073; Х 2 = -0,32804; Х 3 = 0,78934.

Значения корней уравнения, полученные приближением методом половинного деления: Х1 = -2,073; Х2 = -0,32808; Х3 = 0,789307.

Определение значения корней скалярного уравнения с заданной степенью точности с помощью инструмента ^ Поиск решения

В качестве примера возьмем тоже уравнение: f(x) = Х 5 + 2Х 4 + 5Х 3 + 8Х 2 − 7Х – 3 = 0.

Для более точного определения корня в каждом из выделенных диапазонов следует воспользоваться командой ^ Сервис | Поиск решения . Для этого в ячейку, например, H8 введем формулу для вычисления f(x), а начальное приближение поместим в ячейку G8. Назовем их соответственно Целевая ячейка и Корень. В ячейку G8 введем первоначально значение, принадлежащее первому выделенному диапазону. Возьмем его на середине интервала равным –3,76 (можно эту ячейку оставить пустой). В ячейку H8 введем формулу =G8^5+2*G8^4+5*G8^3+8*G8^2-7*G8-3.

После выбора команды Сервис | Поиск решения появится диалог, в котором в поле Установить целевую ячейку введем $H$8. Затем выберем кнопку Равной значению 0 .

В поле Изменяя ячейки введем $G$8. В окно Ограничения с помощью кнопки Добавить следует указать диапазон поиска корня следующим образом:

Для левой границы первого интервала –2,1 (оно находится в ячейке D20) $G$8 >= $D$20.
Для правой границы первого интервала –2 (оно находится в ячейке D21) $G$8

На рис. 13 показан результат выполненных действий, описанных выше, а на рис. 14 диалог, появляющийся после нажатия кнопки Добавить . Такой же диалог появляется при выборе кнопки Изменить .

Выбор кнопки Параметры приводит к появлению диалога (рис. 15), в котором можно задать параметры поиска.

Поле ^ Предельное число итераций позволяет назначить число «циклов» поиска решения. Значения 100, принятого по умолчанию, достаточно для большинства задач.

Относительная погрешность обеспечивает назначение величины f зад в признаке достижения решения f к =(f k +1 – f k)/f k
Флажок ^ Линейная модель используется, если задача является задачей линейного программирования. В нашем случае его устанавливать не надо.

Флажок Показывать результаты итераций позволяет приостанавливать процесс поиска после каждой итерации для анализа процесса поиска. При этом выводится диалоговое окно Текущее состояние поиска , выбор в котором кнопки Продолжить позволяет выполнять следующую итерацию. Результаты, полученные на каждой итерации, выводятся в ячейке G8.

Выбор метода решения зависит от типа нелинейности.

Отметим, что задачи решения нелинейных уравнений и методы безусловной оптимизации тесно связаны. Поэтому после нажатия кнопки Выполнить по окончании поиска появится сообщение, представленное на рис. 16.

Если в верхней части этого окна будет выведено сообщение ^ Р ешение не найдено , следует в ячейке H8 использовать формулу, вычисляющую либо |f(x)|, либо (f (x)) 2 . Затем в окне Поиск решения (рис.13) выбрать переключатель Равной минимальному значению .

С помощью диалогового окна ^ Результаты поиска решения можно просмотреть отчеты трех типов: результаты, устойчивость, пределы. Отчеты каждого типа вызываются по следующему алгоритму:

Курсор на тип вызываемого отчета.
ОК. (На экране вызванный отчет на новом листе, на ярлычке которого указано название отчета).
Курсор на ярлычок с названием отчета. (На экране вызванный отчет).

Поиск решения по двум остальным интервалам проведите самостоятельно по описанной выше схеме.
^

6.Оформление результатов

Лабораторная работа 1.8 требует оформления результатов по всем пунктам задания на листе под именем «18» в своей книге Excel «Л.р. по Excel».
^

7.Формулировка выводов

Достигнута ли цель работы?

Роль и возможности инструментов MS Excel для решения скалярного уравнения с заданной степенью точности.

^ Подбор параметров .

Назначение и особенности инструмента Поиск решения .

Особенности выполнения математических расчетов и задания целевой ячейки.
^

8.Порядок защиты

Какое количество действительных корней имеет уравнение n степени?
Что такое отрезок локализации корня?
Что значит локализовать корень?
В чём заключается идея решения уравнений методом деления отрезка пополам?
Как можно оценить погрешность вычисления корня методом деления отрезка пополам?
Как с помощью инструмента «Подбор параметра» найти значение корня?
Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии).
Метод Подбор параметра .
Метод Поиск решения .

Пусть корень уравнения (1) отделен на отрезке . Требуется найти значение корня с точностью ε .

"Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина текущего интервала неопределенности (6) :

В в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которых функция F(x)=0 имеет разные знаки"[8 ]. "Точность будет достигнута, если:

Корень уравнения вычисляется по формуле x=(a n +b n)/2 (7) "[1 ].

Пусть дана задача следующего характера: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления с точностью до 0,00001, используя:

1. Mathcad ;

Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Заполнить ячейки A1:H1 последовательно следующим образом: a, b, c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c), |b-a|<=2*e, e.

2. Ввести в ячейку A2 число 5, в ячейку B2 - число 6.

3. В ячейку B2 ввести формулу: =(A2+B2)/2.

4. В ячейку D2 ввести формулу: =cos(2*A2)+A2-5, скопировать эту формулу в ячейки E2:F2.

5. Ввести в ячейку G2 формулу: =ЕСЛИ(ABS(B2-A2)<=2*$H$2;C2;"-").

6. Ввести в ячейку H2 число 0,00001.

7. В ячейку A3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;A2;C2).

8. В ячейку B3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;C2;B2).

9. Диапазон ячеек C2:G2 скопировать в диапазон ячеек C3:G3.

10. Выделить диапазон ячеек A3:G3 и с помощью маркера заполнения заполнить все нижестоящие ячейки до получения результата в одной из ячеек столбца G (это ячейки A3:G53).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32977.

Метод хорд

Берілген әдісті шешу үшін y=F(x) функциясын құру керек

" Для реализации данного метода, нужно построить исходную функциюy=F(x) и найти значения функции на концах отрезка F(a) и F(b) . Затем провести хорду М 1 M 2 c концами в точкахМ 1 (a, F(a)) и M 2 (b, F(b)). Абсцисса точки пересечения хорды М 1 M 2 с осью OX это и есть приближенный кореньx 1 . Далее найти точкуM 3 (X 1 ,F(x 1)) , построить следующую хорду и найти второй приближенный корень x 2 . И так далее. В зависимости от поведения функции возможны два случая :

Для первого случая (Рис. 1) справедлива следующая формула (8) :

и справедливо неравенство: F(a)*F""(a)>0, где x 0 =b.

Для второго случая (Рис. 2) справедлива следующая формула (9) :

и справедливо неравенство: F(b)*F""(b)>0 , где x 0 =a .

Условия сходимости метода секущих аналогичны условиям сходимости метода Ньютона, т. е."[1 ]

Пусть дана задача: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд с точностью до 0,00001, используя:

1. Mathcad ;

Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать одну из двух предложенных формул для решения задачи, для этого:

o Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.

o Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).

o Заполнить ячейки следующим образом:

В ячейку A1 ввести a.

В ячейку A2 ввести цифру 5.

В ячейку B1 ввести b.

В ячейку B2 ввести цифру 6.

В ячейку C1 ввести f(x)=cos(2x)+x-5.

В ячейку C2 ввести формулу =COS(2*A2)+A2-5.

В ячейку D1 ввести f1(x)=-2sin(2x)+1.

В ячейку E1 ввести f2(x)=-4cos(2x).

В ячейку E2 ввести формулу =-4*COS(2*A2).

В ячейку F1 ввести Выбор формулы.

В ячейку F2 ввести формулу =ЕСЛИ(C2*E2>0;"Воспользоваться формулой 8";"Воспользоваться формулой 9").

В ячейку G1 ввести e.

В ячейку G2 ввести цифру 0,00001.

o В итоге получается следующее:

2. Исходя из того, что выбрана формула 9, в Excel необходимо выполнить следующие действия:

o В ячейку A4 ввести xn.

o В ячейку B4 ввести f(xn).

o В ячейку C4 ввести b-xn.

o В ячейку D4 ввести f(xn)*(b-xn).

o В ячейку E4 ввести f(b).

o В ячейку F4 ввести f(b)-f(xn).

o В ячейку G4 ввести xn-f(xn)*(b-xn)/f(b)-f(xn).

o В ячейку H4 ввести |f(xn)|<=e.

o В ячейку A5 ввести цифру 5.

o В ячейку B5 ввести формулу =COS(2*A5)+A5-5.

o В ячейку C5 ввести формулу =$B$2-A5.

o В ячейку D5 ввести формулу =B5*C5.

o В ячейку E5 ввести формулу =COS(2*$B$2)+$B$2-5.

o В ячейку F5 ввести формулу =$E$5-B5.

o В ячейку G5 ввести формулу =A5-(B5*C5/F5).

o В ячейку H5 ввести формулу =ЕСЛИ(ABS(B5)<=$G$2;A5;"-").

o В ячейку A6 ввести формулу =G5.

o Выделить диапазон ячеек B5:D5 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек B6:D6.

o Выделить диапазон ячеек F5:H5 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек F6:H6.

o Выделить диапазон ячеек A6:H6 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек ниже до получения результата в одной из ячеек столбца H (A6:H9).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.

В классической математике многое выглядит элементарно. Так, если нужно найти экстремум некоторой функции, то предлагается взять ее производную, приравнять нулю, решить полученное уравнение и т.д. Вне сомнения, что первые два действия в состоянии выполнить многие школьники и студенты. Что касается третьего действия, то позвольте усомниться в его элементарности.

Пусть после взятия производной мы пришли к уравнению tg(x)=1/x . Проведем следующие преобразования:
tg(x)=1/x Ю x tg(x)=1 Ю x2 tg=1 Ю x2= 1 / tg(x) Ю x = ± .

Если в приведённой здесь цепочке преобразований ничто не взволновало вашу мысль, то может быть лучше обучение на этом прекратить и заняться чем-нибудь другим, не требующим уровня знаний выше церковно-приходской школы начала XX века.

В самом деле, мы прекрасно решаем квадратные и биквадратные уравнения, наипростейшие тригонометрические и степенные. Еще водятся "мастодонты", знающие о существовании формул Кардано для кубических уравнений. В общем же случае надежд на простое аналитическое решение нет. Более того, доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения проводят численно в два этапа (здесь разговор идет лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится отделение корней - поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).

1.1. Отделение корней

В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на концах отрезка имеет значения разных знаков, т.е. f(a)ґ f(b)Ј 0 , то в указан-ном промежутке содержится хотя бы один корень. Например, для уравнения f(x)= x 3 -6x+2=0 видим, что при x®Ґ f(x)>0 , при x®-Ґ f(x) , что уже свидетельствует о наличии хотя бы одного корня.

В общем случае выбирают некоторый диапазон, где могут обнаружиться корни, и осуществляют "прогулку" по этому диапазону с выбранным шагом h для обнаружения перемены знаков f(x) , т.е. f(x)ґ f(x+h) .

1.2. Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии)

Самым простейшим из методов уточнения корней является метод половинного деления, или метод дихотомии, предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде f(x)=0 .

Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка имеет значения разных знаков, т.е. f(a)ґ f(b) Ј 0 (), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.

Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2 . Если f(a)ґ f(c) Ј 0 , то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b .

Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке и предельной погрешности e количество вычислений n определяется условием (b-a)/2 n e , или n~log 2 ((b-a)/e ) . Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков (e ~ 10 -6 ) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

С точки зрения машинной реализации () этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

1.3. Уточнение корней методом хорд

В отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональное деление интервала ().

Рис. 3. Метод хорд

Здесь вычисляются значения функции на концах отрезка, и строится "хорда", соединяющая точки (a,f(a)) и (b,f(b)) . Точка пересечения ее с осью абсцисс

принимается за очередное приближение к корню. Анализируя знак f(z) в сопоставлении со знаком f(x) на концах отрезка, сужаем интервал до [a,z ] или [z,b ] и продолжаем процесс построения хорд до тех пор, пока разница между очередными приближениями не окажется достаточно малой (в пределах допустимой погрешности) |Z n -Z n-1 |e .

Можно доказать, что истинная погрешность найденного приближения:

Где X * - корень уравнения, Z n и Z n+1 - очередные приближения, m и M - наименьшее и наибольшее значения f(x) на интервале [a,b ].

1.4. Уточнение корней методом касательных (Ньютона)

Обширную группу методов уточнения корня представляют итерационные методы - методы последовательных приближений. Здесь в отличие от метода дихотомии задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

Наиболее популярным из итерационных методов является метод Ньютона (метод касательных) .

Пусть известно некоторое приближенное значение Z n корня X * . Применяя формулу Тейлора и ограничиваясь в ней двумя членами, имеем

откуда

Геометрически этот метод предлагает построить касательную к кривой y=f(x) в выбранной точке x=Z n , найти точку пересечения её с осью абсцисс и принять эту точку за очередное приближение к корню ().

Очевидно, что этот метод обеспечивает сходящийся процесс приближений лишь при выполнении некоторых условий (например при непрерывности и знакопостоянстве первой и второй производной функции в окрестности корня) и при их нарушении либо дает расходящийся процесс (), либо приводит к другому корню ().

Очевидно, что для функций, производная от которых в окрестности корня близка к нулю, использовать метод Ньютона едва ли разумно.

Если производная функции мало изменяется в окрестности корня, то можно использовать видоизменение метода

Существуют и другие модификации метода Ньютона.

1.5. Уточнение корней методом простой итерации

Другим представителем итерационных методов является метод простой итерации .

Здесь уравнение f(x)=0 заменяется равносильным уравнением x=j (x) и строится последовательность значений