Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. Комплексные числа и ряды с комплексными членами Как решать ряды с комплексными числами

463. Каков геометрический смысл неравенств: 1) Re z > 0 ; 2) Im z < 0 ?

2. Ряды с комплексными членами . Рассмотрим последовательность комп­лексных чисел z 1 , z 2 , z 3 , ..., где z п = х п +iу п (п = 1, 2, 3, ...). Постоянное число с = а + bi называется пределом последовательности z 1 , z 2 , z 3 , ..., если для всякого сколь угодно малого числа δ>0 найдется такой номер N, что рее значения z п с номерами п > N удовлетворяют неравенству \z п -с\ < δ . В этом случае пишут .

Необходимое и достаточное условие существования предела последова­тельности комплексных чисел состоит в следующем: число с=а+bi является пределом последовательности комплексных чисел х 1 +iу 1 , х 2 +iу 2 , х 3 +iу 3 , … тогда и только тогда, когда , .

(1)

членами которого являются комплексные числа, называется сходящимся, если n-я частичная сумма ряда S n при п → ∞ стремится к определенному конеч­ному пределу. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.

Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды с действи­тельными членами

(2) Исследовать сходимость рядаЭтот ряд, члены которого образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сходится; следовательно, заданный ряд с комплексными членами сходится абсолютно. ^

474. Найти область сходимости ряда

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ Методические указания для самостоятельной работы Составители ЛИ Лесняк, ВА Старенченко Томск

2 Ряды с комплексными членами: методические указания / Сост ЛИ Лесняк, ВА Старенченко - Томск: Изд-во Том гос архит-строит ун-та, с Рецензент профессор НН Белов Редактор ЕЮ Глотова Методические указания предназначены для самостоятельного изучения студентами -го курса всех специальностей темы «Ряды с комплексными членами» дисциплины ЕНФ «Математика» Печатаются по решению методического семинара кафедры высшей математики, протокол 4 от марта г Утверждены и введены в действие проректором по учебной работе ВВ Дзюбо с 5 до 55 Оригинал-макет подготовлен автором Подписано в печать Формат 6 84/6 Бумага офсет Гарнитура Таймс Уч-изд л,6 Тираж 4 Заказ Изд-во ТГАСУ, 64, г Томск, пл Соляная, Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ 64, г Томск, ул Партизанская, 5

3 РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ ТЕМА Числовые ряды с комплексными членами Напомним, что комплексными числами называют числа вида z = x y, где х и у действительные числа, а мнимая единица, определяемая равенством = - Числа х и у называют соответственно действительной и мнимой частями числа z и обозначают х = Rez, y = Imz Очевидно, между точками М(х, у) плоскости ХОУ с декартовой ортогональной системой координат и комплексными числами вида z = x y существует взаимно однозначное соответствие Плоскость ХОУ называют комплексной плоскостью, а z называют точкой этой плоскости Действительным числам соответствует ось абсцисс, называемая действительной осью, а числам вида z = y соответствует ось ординат, которая называется мнимой осью Если полярные координаты точки М(х,у) обозначить через r и j, тогда х = r cosj, y = r s j и число z запишется в виде: z = r (cosj sj), где r = x y Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической, запись z в виде z = x y называют алгебраической формой записи Число r называется модулем числа z, число j аргументом (на точку z = понятие аргумента не распространяется) Модуль числа z однозначно определяется формулой z = x y Аргумент j однозначно определяется только при дополнительном условии - π < j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 числа z (рис) Значение этом следует помнить, что y arq z - π выражается через < arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >, y ; x у arg z = -arctg, если х >, y < ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y > ; π arg z = -, если х =, y < Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (рис) М y r = j = p x Рис В тригонометрической форме число z = - запишется в виде: - = сos π s π è Операции над комплексными числами рекомендуется повторить самостоятельно Напомним только формулу возведения числа z в степень: z = (x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Ключевые вопросы теории Краткие ответы Определение ряда с комплексными членами Понятие сходимости ряда Необходимое условие сходимости Определение Пусть задана последовательность z } = { x y } = z, z, z, комплексных чисел Символ вида { å = z называется рядом, z общий член ряда Понятия частичных сумм S ряда, его сходимости и расходимости полностью соответствуют аналогичным понятиям для рядов с действительными членами Последовательность частичных сумм ряда имеет вид: S = z ; S = z z ; S = z z z ; Если $lm S и этот предел конечен и равен числу S, ряд называют сходящимся, и число S называют суммой ряда, в противном случае ряд называют расходящимся Напомним, что определение предела последовательности комплексных чисел, которым мы воспользовались, формально ничем не отличается от определения предела последовательности действительных чисел: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S < ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 нулю общего члена z ряда при Это означает, что если это условие нарушено, т е если lm z ¹, ряд расходится, если же lm z =, вопрос о сходимости ряда остается открытым Можно ли исследовать ряд å (х = на сходимость путем исследования х и å = на сходимость рядов å = с действительными членами? y у) Да, можно Имеет место следующая теорема: Теорема Для того, чтобы ряд å = y (х) сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходились оба ряда å = å = у, при этом если å х = S = где å S = (х y) = å = х и, а y = S, тогда S = S S, сходит- Пример Убедиться, что ряд å = è () ся, и найти его сумму 7

8 Решение Ряд å сходится, т к ~ = () () при Сумма S этого ряда равна (Гл, тема, п) Ряд å сходится как бесконечно убывающая геометрическая = прогрессия, при этом å = () è S b = - q = сходится, и его сумма Таким образом, ряд S = Пример Ряд å расходится, т к расходится = è! гармонический ряд å В этом случае исследовать на сходи- = мость ряд å =! не имеет смысла Пример Ряд å π tg расходится, т к для = è ряда å π tg нарушено необходимое условие сходимости = π lm tg = p ¹ è 8

9 Какими свойствами обладают сходящиеся ряды с комплексными членами? Свойства те же, что и у сходящихся рядов с действительными членами Свойства рекомендуется повторить 4 Имеется ли для ряда с комплексными членами понятие его абсолютной сходимости? Теорема (достаточное условие сходимости ряда) Если ряд å = z сходится, тогда будет сходиться и ряд å = z Понятие абсолютной сходимости ряда å = z формально выглядит точно так же, как для рядов с действительными членами Определение Ряд å = z называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд å = z Пример Доказать абсолютную сходимость ряда () () () 4 8 Решение Воспользуемся тригонометрической формой записи числа: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s è 4 4 Тогда π π () = () cos s Þ è 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 è Осталось исследовать на сходимость ряд å z = = Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем; такая прогрессия сходится, и, следовательно, ряд сходится абсолютно При доказательстве абсолютной сходимости часто используется теорема Теорема Чтобы ряд å = y (х) сходился абсолютно, необходимо и достаточно, чтобы оба ряда å = лись абсолютно Пример Ряд å = (-) è cosπ! х и å = y сходи- сходится абсолютно, т к сходится абсолютно å (-), а абсолютная сходимость = ряда å cosπ легко доказывается: =!

11 cosπ, а ряд å!! =! сходится по признаку Даламбера По признаку сравнения ряд å cosπ сходится Þ ряд å =! сходится абсолютно cosπ =! Решение задач Исследовать на сходимость ряды 4: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos èè α tg π ; 4 å = è è ;! Решение å = è l l Ряд расходится, т к расходится ряд å, что легко устанавливается по признаку сравнения: >, а гармониче- = l l ский ряд å, как известно, расходится Заметим, что при = этом ряд å на основании интегрального признака Коши = l сходится å (-) = è! l

12 Ряд сходится, т к å =! сходится на основании предельного признака Даламбера, а ряд å (-) сходится по теореме = l Лейбница å α π - π cos tg = èè Очевидно, поведение ряда будет зависеть от показателя степени α Запишем ряд с использованием формулы β - сosβ = s: å α π π s tg = èè При α < ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α > s ~ = Ряд α å è è 4 = будет сходиться при условии, что α >, т е при α > и рас- ходиться при α или при будет сходиться, т к при π π tg ~ α Ряд å = α α π tg α

13 Таким образом, исходный ряд будет сходиться при и расходиться при α 4 å = è è! α > Ряд å исследуем на сходимость с помощью = è предельного признака Коши: lm = lm = > Þ è ряд расходится Þ e è Þ будет расходиться и исходный ряд 5 ряд Ряды 5 6 исследовать на абсолютную сходимость π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = Решение 5 å = π cos ()! å = - π cos сходится абсолютно, т к (-)! сходится по признаку сравнения: π cos, при этом ряд å (-)! (-)! = (-)! сходится по признаку Даламбера

14 4 6 å =!) 8 (К ряду!) 8 (å = применим признак Даламбера:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ < = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Ряды 7 исследовать на абсолютную сходимость 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Ответы: 7, 8 сходятся абсолютно, 9 расходится, сходится не абсолютно

16 ТЕМА Степенные ряды с комплексными членами При изучении раздела «Функциональные ряды» были подробно рассмотрены ряды, слагаемыми которых являлись члены некоторой последовательности функций действительного переменного Наибольшую привлекательность (особенно в смысле приложений) имели степенные ряды, т е ряды вида å = a (x-x) Было доказано (теорема Абеля), что всякий степенной ряд имеет интервал сходимости (х - R, x R), внутри которого сумма S (x) ряда непрерывна и что степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать Эти замечательные свойства степенных рядов открыли широчайшие возможности для их многочисленных приложений В данной теме будут рассмотрены степенные ряды не с действительными, а с комплексными членами 6 Ключевые вопросы теории Краткие ответы Определение степенного ряда Степенным рядом называется функциональный ряд вида å = a (z - z), () где а и z заданные комплексные числа, а z комплексное переменное В частном случае, когда z =, степенной ряд имеет вид å = a z ()

17 Очевидно, ряд () сводится к ряду () введением новой переменной W = z - z, поэтому мы, в основном, будем иметь дело с рядами вида () Теорема Абеля Если степенной ряд () сходится при z = z ¹, то он сходится и притом абсолютно при любом z, для которого z < z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 У теоремы Абеля есть следствие, которое утверждает, что если ряд å = a z расходится при * z = z, то он будет расходиться и при всяком z, для которого * z > z Имеется ли для степенных рядов () и () понятие радиуса сходимости? Да, имеется Радиус сходимости R число, которое обладает тем свойством, что при всех z, для которых z < R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z > R, ряд () расходится 4 Что является областью сходимости ряда ()? Если R радиус сходимости ряда (), то множество точек z, для которых z < R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Можно ли находить радиус сходимости a по формулам R = lm и R = lm, a a которые имели место для степенных рядов с действительными членами? Можно, если эти пределы существуют Если окажется, что R =, это будет означать, что ряд () сходится только в точке z = или z = z для ряда () При R = ряд будет сходиться на всей комплексной плоскости Пример Найти радиус сходимости ряда å z = a Решение R = lm = lm = a Таким образом, ряд сходится внутри круга радиуса Пример интересен тем, что на границе круга x y < есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Напомним, что степенные ряды å = a х внутри своего интервала сходимости сходятся не только абсолютно, но и равномерно Аналогичное утверждение имеет место и для рядов å = a z: если степенной ряд сходится и радиус его сходимости равен R, то этот ряд в любом замкнутом круге z r при условии, что r < R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 в круге радиуса R > сходимости ряда, то этим рядом является ряд Тейлора функции f (z), т е f () f () f å = () (z) = f () z z = z!!! Коэффициенты ряда å = () f (z) a =! f () a (z - z) вычисляются по формуле Напомним, что определение производной f (z) формально дается точно так же, как и для функции f (x) действительного переменного, т е f (z) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Правила дифференцирования функции f (z) те же самые, что и правила дифференцирования функции действительного переменного 7 В каком случае функция f (z) называется аналитической в точке z? Понятие аналитической в точке z функции дается по аналогии с понятием действительной аналитической в точке х функции f (х) Определение Функция f (z) называется аналитической в точке z, если существует R > такое, что в круге z z < R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Еще раз подчеркнем, что представление аналитической в точке z функции f (z) в виде степенного ряда единственно, и этим рядом является ее ряд Тейлора, т е коэффициенты ряда вычисляются по формуле () f (z) a =! 8 Основные элементарные функции комплексного переменного В теории степенных рядов функций действительного переменного было получено разложение в ряд функции е х: = å х х е, xî(-,) =! При решении примера пункта 5 мы убедились, что ряд å z сходится на всей комплексной плоскости В частном случае при z = x его сумма равна е х Этот факт лежит в основе сле- =! дующей идеи: при комплексных значениях z функцию е z по определению считать суммой ряда å z Таким образом, =! z е () def å z = =! Определение функций ch z и sh z x - x Так как ch = = å k e e х x, х Î (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k х, (k)! х Î (-,),

23 а функция е z определена теперь для всех комплексных z, то естественно на всей комплексной плоскости принять ch z =, def z - z e e def z - z e - e sh z = Таким образом: z -z k e - e z sh z = = гиперболический синус; (k)! å k = z - z å k e e z ch z = = гиперболический косинус; k = (k)! shz th z = гиперболический тангенс; chz chz cth z = гиперболический котангенс shz Определение функций s z и cos z Воспользуемся полученными ранее разложениями: å k k (-) s x х = k = (k)!, å k k (-) х cos x =, k = (k)! ряды сходятся на всей числовой оси При замене в этих рядах х на z мы получим степенные ряды с комплексными членами, которые, как легко показать, сходятся на всей комплексной плоскости Это позволяет определить для любого комплексного z функции s z и cos z: å k k (-) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Связь между показательной функцией и тригонометрическими функциями в комплексной плоскости Заменяя в ряде å z z е = =! z на z, а потом на z, получим: =å z z е, å -z (-) z е = =! =! Так как e ()) e k k = (-, будем иметь: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k)! Таким образом: z -z z -z e e e - e сos z = ; s z = (6) Из полученных формул следует еще одна замечательная формула: z сos z s z = e (7) Формулы (6) и (7) называются формулами Эйлера Заметим, что эти формулы справедливы и для действительных z В частном случае при z = j, где j действительное число, формула (7) примет вид: j сos j sj = e (8) Тогда комплексное число z = r (cos j s j) запишется в виде: j z = re (9) Формулу (9) называют показательной формой записи комплексного числа z 4

25 Формулы, связывающие тригонометрические и гиперболические функции Легко доказываются следующие формулы: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, ch z = cos z Докажем первую и четвертую формулы (вторую и третью рекомендуется доказать самостоятельно) Воспользуемся формулами (6) Эйлера: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e e ch z = = cos z С помощью формул sh z = s z и ch z = cos z легко доказывается, на первый взгляд, удивительное свойство функций s z и cos z В отличие от функций у = s х и у = сos х, функции s z и cos z не ограничены по абсолютной величине В самом деле, если в указанных формулах, в частности, z = y, тогда s y = sh y, cos y = ch y Это означает, что на мнимой оси s z и cos z не ограничены по абсолютной величине Интересно, что для s z и cos z имеют место все формулы, аналогичные формулам для тригонометрических функций s х и cos х Приведенные формулы довольно часто используются при исследовании рядов на сходимость Пример Доказать абсолютную сходимость ряда å s = Решение Исследуем на сходимость ряд å s = Как было замечено, функция s z ограниченной на мнимой оси не яв- 5

26 ляется, поэтому признаком сравнения пользоваться нельзя Воспользуемся формулой s = sh Тогда å = å s sh = = Ряд å sh = исследуем по признаку Даламбера: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm = < - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () так как lm =, из модулей сходится при условии 8 - = 8 = Таким образом, ряд z < Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z > точках окружности z = -, будет сходиться, а вне этого круга, т е, ряд расходится Исследуем поведение ряда в z =, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид x (y) = При z = 9 ряд из абсолютных величин будет иметь вид: å 8 - = å = = что данный ряд в замкнутом круге Полученный ряд сходится, это означает, z сходится абсолютно Доказать, что функция å z z е = периодична с периодом π (это свойство функции е z её существенно отличает =! от функции е х) Доказательство Воспользуемся определением периодической функции и формулой (6) Требуется убедиться, что z z е π = e, где z = x y Покажем, что это так: z π x y π x (y π) x (y е = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Итак, е z периодическая функция!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Получить формулу, которая связывает числа е, и π Решение Воспользуемся показательной формой записи j комплексного числа: z = re Для z = - будем иметь r =, j = π и, таким образом, π e = - () Удивительная формула и это при том, что появление в математике каждого из чисел π, е и не имеет ничего общего с появлением двух других! Формула () интересна еще и тем, что, оказывается, показательная функция е z, в отличие от функции е х, может принимать отрицательные значения e x 5 Найти сумму ряда å сos x =! Решение Преобразуем ряд x x сos x s x e (e) å = å = å!! x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) При решении дважды воспользовались формулой = cos x s x и разложением в ряд функции (e x) e 6 Разложить в степенной ряд функцию f (x) = e x cos x, используя разложение в ряд функции x() x x x x е = e e = e cos x e s x Решение x() x () x е = å = å!! = = π cos s è 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! è 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Rеe Þ e cos x = () cos =! 4 Полученный ряд сходится на всей числовой оси, т к x π (x) () cos, а ряд å (x)! 4! =! x < (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Найти радиус R и круг сходимости рядов 4 Исследовать поведение ряда в граничных точках круга сходимости (в точках, лежащих на окружности) å!(z -) ; å (z) ; = = å () z = () ; 4 å z = 9 Ответы:) R =, ряд сходится в точке z = - ;) R =, ряд сходится абсолютно в замкнутом круге z с центром в точке z = - или при условии x (y) ;) R =, ряд сходится абсолютно в замкнутом круге z или при условии x y ; 4) R =, ряд сходится абсолютно в замкнутом круге z или при условии x y 9 7 Разложить в степенной ряд функцию f (x) = e x s x, () x используя разложение в ряд функции e 8 Убедиться, что при любом комплексном z будут иметь место формулы: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (воспользуйтесь формулами Эйлера)

31 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература Пискунов, НС Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов / НС Пискунов Т М: Наука, 8 С 86 9 Фихтенгольц, Г М Основы математического анализа / ГМ Фихтенгольц Т - СПб: Лань, 9 48 с Воробьев, НН Теория рядов / НН Воробьев - СПб: Лань, 8 48 с 4 Письменный, ДТ Конспект лекций по высшей математике Ч / ДТ Письменный М: Айрис-пресс, 8 5 Высшая математика в упражнениях и задачах Ч / ПЕ Данко, АГ Попов, ТЯ Кожевникова [и др] М: ОНИКС, 8 С Дополнительная литература Кудрявцев, ЛД Курс математического анализа / ЛД Кудрявцев Т М: Высшая школа, 98 С Хабибуллин, МВ Комплексные числа: методические указания / МВ Хабибуллин Томск, ТГАСУ, 9 6 с Молдованова, ЕА Ряды и комплексный анализ: учебное пособие / ЕА Молдованова, АН Харламова, ВА Килин Томск: ТПУ, 9

Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет РЯДЫ ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ КАК ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ РЯДА ФУРЬЕ Методические указания для самостоятельной работы

РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N (N множество натуральных чисел) Пример

Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методическое пособие Составители: МДУлымжиев ЛИИнхеева ИБЮмов СЖЮмова Рецензия На методическое пособие по теории функций

8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где (a k) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа, члены ряда (зависят

Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =, х =,

Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной. Основные

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u (x) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

«Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u), u (), K, u (),K (ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u) + u () + K + u () +

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k (k 1 Функциональным рядом называется

Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a(a) a(a) a(a) (), где

ЛЕКЦИЯ N34. Числовые ряды с комплексными членами. Степенные ряды в комплексной области. Аналитические функции. Обратные функции..числовые ряды с комплексными членами.....степенные ряды в комплексной области....

Вариант Задача Вычислить значение функции ответ дать в алгебраической форме: а sh ; б l Решение а Воспользуемся формулой связи между тригонометрическим синусом и гиперболическим синусом: ; sh -s Получим

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Методические указания

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u () u () u () u (), 1 2 u () где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f () называется бесконечно малой в точке a (при a), если (

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,

ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: , гл; , глii; , гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.

В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения.

Первое, и самое главное : в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций , то придётся туго.

Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.

Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)

В лучших традициях сразу живые примеры: ряды и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей . Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два: , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.

А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:

Пример 1

Исследовать сходимость ряда

Решение : прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Примерные образцы оформления задач в конце урока.

Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:

Пример 6

Исследовать сходимость ряда

Решение : сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность – ограничена: . Тогда:

Сравним наш ряд с рядом . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:

Теперь сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом .

Знаменатель дроби меньше знаменателя дроби , поэтому сама дробь – больше дроби (распишите несколько первых членов, если не понятно). Таким образом, для любого «эн»:

А значит, по признаку сравнения ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Если немного видоизменить знаменатель: , то первая часть рассуждений будет аналогична: . Но вот для доказательства расходимости ряда уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство неверно.

Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда можно использовать оба признака сравнения (неравенство справедливо), а для ряда – только предельный признак (неравенство неверно).

Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:

Пример 7

Исследовать сходимость ряда

Решение : необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.

Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения сравним наш ряд со сходящимся рядом . В ходе вычисления предела используем замечательный предел , где в качестве бесконечно малой величины выступает :

сходится вместе с рядом .

Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом .
Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:

Пример 8

Исследовать сходимость ряда

Образец в конце урока.

Пример 9

Исследовать сходимость ряда

Решение : в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста , чем числитель, поэтому при аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ . Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.

Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью , мысленно отбросим синус и получим ряд . Ну а уж такое-то….

Оформляем решение:

Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Заменим бесконечно малую эквивалентной: при .

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Пример 10

Исследовать сходимость ряда

Это пример для самостоятельного решения.

Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:

Пример 11

Исследовать сходимость ряда
.

Решение : здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность тоже не работает. Выход неожиданно прост:


Исследуемый ряд расходится , так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:

Пример 12

Исследовать сходимость ряда

Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:

И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:

Таким образом, исследуемый ряд сходится .

Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости : когда понятен порядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.

Пример 13

Исследовать сходимость ряда

Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.

Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал «накручивает» произведение положительных чётных чисел:

Аналогично, факториал «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:

Проанализируйте, в чём состоит отличие от и

Пример 14

Исследовать сходимость ряда

А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами .

Образцы решений и ответы в конце урока.

Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:

Пример 15

Исследовать сходимость ряда

Решение : практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом невозможно, так как неравенство неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь по отношению к дроби . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?

Интегральный признак? Несобственный интеграл навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд … тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:

1) Сначала исследуем сходимость ряда . Используем интегральный признак :

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!

Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:

Пример 16

Исследовать сходимость ряда

Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:

Пример 17

Исследовать сходимость ряда

Решение : на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение :

Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд , который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд .

Записываем чистовое решение:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:

Пример 18

Исследовать сходимость ряда

Примерный образец решения в конце урока

И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда ? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе , когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:

Пример 19

Исследовать сходимость ряда

Решение : Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел :

Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.

Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел и применил более сильный радикальный признак Коши:

Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.

Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:

Признак Раабе

Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел , то:
а) При ряд расходится . Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа .

Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:


Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя , и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.

Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу.

Определение: Числовым рядом комплексных чисел z 1, z 2, …, z n , … называется выражение вида

z 1 + z 2 + …, z n + … = , (3.1)

где z n называют общим членом ряда.

Определение: Число S n = z 1 + z 2 + …, z n называется частичной суммой ряда.

Определение: Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность {S n } его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм расходится, то и ряд называют расходящимся.

Если ряд сходится, то число S = называется суммой ряда (3.1).

z n = x n + iy n ,

то ряд (1) записывается в виде

= + .

Теорема: Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды и , составленные из действительных и мнимых частей членов ряда (3.1).

Эта теорема позволяет перенести признаки сходимости рядом с действительными членами на ряды с комплексными членами (необходимый признак, признак сравнения, признак Д’Аламбера, Коши и др.).

Определение. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.

Теорема. Для абсолютной сходимости ряда (3.1) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились ряды и .

Пример 3.1. Выяснить характер сходимости ряда

Решение.

Рассмотрим ряды

Покажем, что эти ряды сходятся абсолютно. Для этого докажем, что ряды

Сходятся.

Так как , то вместо ряда возьмём ряд . Если последний ряд сходится, то по признаку сравнения сходится и ряд .

Сходимость рядов и доказывается с помощью интегрального признака.

Это значит, что ряды и сходится абсолютно и, согласно последней теореме, исходный ряд сходится абсолютно.

4. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля о степенных рядах. Круг и радиус сходимости.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

где …, – комплексные числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости ряда (4.I) является круг .

Для отыскания радиуса сходимости R данного ряда, содержащего все степени , используют одну из формул:

Если ряд (4.1) содержит не все степени , то для отыскания нужно непосредственно использовать признак Д’Аламбера или Коши.

Пример 4.1. Найти круг сходимости рядов:

Решение:

а) Для отыскания радиуса сходимости этого ряда воспользуемся формулой

В нашем случае

Отсюда круг сходимости ряда задается неравенством

б) Для отыскания радиуса сходимости ряда используем признак Д’Аламбера.

Для вычисления предела дважды использовали правило Лопиталя.

По признаку Д’Аламбера ряд будет сходиться, если . Отсюда имеем круг сходимости ряда .

5. Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной.

6. Теорема Эйлера. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

7. Теорема сложения. Периодичность показательной функции.

Показательная функция и тригонометрические функции и определяются как суммы соответствующих степенных степенных рядов, а именно:

Эти функции связаны формулами Эйлера:

называемые, соответственно, гиперболическим косинусом и синусом, связаны с тригонометрическим косинусом и синусом формулами

Функции , , , определяются как и в действительном анализе.

Для любых комплексных чисел и имеет место теорема сложения:

Всякое комплексное число может быть записано в показательной форме:

– его аргумент.

Пример 5.1. Найти

Решение.

Пример 5.2. Представьте число в показательной форме.

Решение.

Найдем модуль и аргумент этого числа:

Тогда получим

8. Предел, непрерывность и равномерная непрерывность функций комплексной переменной.

Пусть Е – некоторое множество точек комплексной плоскости.

Определение. Говорят, что на множестве Е задана функция f комплексной переменной z, если каждой точке z E по правилу f поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел w (в первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной). Обозначим w = f(z) . E – область определения функции.

Всякую функцию w = f(z) (z = x + iy) можно записать в виде

f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).

U(x, y) = R f(z) называют действительной частью функции, а V(x, y) = Im f(z) – мнимой частью функции f(z).

Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0 , исключая, может быть, саму точку z 0 . Число А называется пределом функции f(z) в точке z 0 , если для любого ε > 0 можно указать такое число δ > 0, что для всех z = z 0 и удовлетворяющих неравенству |z – z 0 | < δ , будет выполнятся неравенство | f(z) – A| < ε.

Записывают

Из определения следует, что z → z 0 произвольным образом.

Теорема. Для существования предела функции w = f(z) в точке z 0 = x 0 + iy 0 необходимо и достаточно существование пределов функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x 0 , y 0).

Определение. Пусть функция w = f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0 , включая саму эту точку. Функция f(z) называется непрерывной в точке z 0 , если

Теорема. Для непрерывности функции в точке z 0 = x 0 + iy 0 необходимо и достаточно, чтобы были непрерывны функции U(x, y) и V(x, y) в точке (x 0 , y 0).

Из теорем следует, что простейшие свойства, относящиеся к пределу и непрерывности функций действительных переменных, переносятся на функции комплексной переменной.

Пример 7.1. Выделить действительную и мнимую части функции .

Решение.

В формулу, задающую функцию, подставим

К нулю по двум различным направлениям, функция U(x, y) имеет разные пределы. Это значит, что в точке z = 0 функция f(z) предела не имеет. Далее, функция f(z) определена в точках, где .

Пусть z 0 = x 0 +iy 0 , одна из таких точек.

Это значит, что в точках z = x +iy при y 0 функция непрерывна.

9. Последовательности и ряды функций комплексной переменной. Равномерная сходимость. Непрерывность степенного ряда.

Определение сходящейся последовательности и сходящегося ряда функций комплексной переменной равномерной сходимости, соответствующие теории о равной сходимости, непрерывности предела последовательности, суммы ряда формируются и доказываются точно так же, как и для последовательностей и рядов функций действительной переменной.

Приведём необходимые для дальнейшего факты, касающиеся функциональных рядов.

Пусть в области D определена последовательность однозначных функций комплексной переменной {fn (z)}. Тогда символ:

Называется функциональным рядом .

Если z0 принадлежит D фиксировано, то ряд (1) будет числовым.

Определение. Функциональный ряд(1) называется сходящимся в области D , если для любогоz принадлежащего D , соответствующий ему числовой ряд сходится.

Если ряд (1) сходится в областиD , то в этой области можно определить однозначную функцию f(z) , значение которой в каждой точке z принадлежащей D равно сумме соответствующего числового ряда. Эту функцию называют суммой ряда (1) в области D .

Определение. Если

для любогоz принадлежащего D, выполняется неравенство:

то ряд (1) называется равномерно сходящимся в области D .