В группе 15 юношей и 10 девушек. Руководство к решению задач по теории вероятностей: Учебное пособие

11 ке можно расставить k1 = P3 = 3! способами, на остальных позициях дру- гие книги можно расставить k 2 = P7 = 7! способами. Поэтому согласно правилу произведения вся расстановка книг, изображенная на рис 2.1, может быть получена k3 = k1 ⋅ k 2 = 3!⋅7! способами. Чтобы получить все требуемые условием задачи расстановки книг, нужно тройку книг по ма- тематике переставить с 1-3 позиций на 2-4, 3-5,..,8-10 позиции, не изме- няя порядок расположения книг внутри "математической" и "нематема- тической" групп. Таких "сдвижек" будет 8, и для каждой такой "сдвижки" возможна перестановка книг внутри "математической" и "нематематиче- ской" групп k3 способами. Значит, общее число благоприятствующих исходов равно k = 8k3 = 8 ⋅ 3!⋅7! . Вероятность события находим по форму- ле (2.1) и получаем p = k/n = 8 ⋅ 3! ⋅ 7!/10! = 1/ 15 = 0 ,067 . Ответ: 0,067. Пример 6. Пять мужчин и десять женщин случайным образом по трое рассаживаются за 5 столиков. Какова вероятность того, что за каж- дым столиком окажется мужчина? Решение. Найдем сначала общее число исходов. За первый столик могут сесть любые три человека из 15, такая посадка осуществляется n1 = C15 способами. За второй столик может сесть любая тройка из ос- 3 тавшихся 12 человек, такая посадка осуществляется n2 = C12 способами. 3 Аналогично посадку за 3,4,5 столики можно осуществить n3 = C 3 , n 4 = C 3 , n 5 = C 3 способами. Поэтому по правилу произведения 9 6 3 общее число исходов равно n = n1 ⋅ n2 ⋅ n3 ⋅ n4 ⋅ n5 = C15 ⋅ C12 ⋅ C9 ⋅ C6 ⋅ C3 = 15! / 6 5. 3 3 3 3 3 Аналогично одного мужчину и две женщины за первый столик мож- но посадить k1 = 5 ⋅ C10 способами, за второй, третий, четвертый, пятый 2 столики - соответственно k 2 = 4 ⋅ C8 , k 3 = 3 ⋅ C6 , k 3 = 2 ⋅ C 4 , k 5 = 1 спосо- 2 2 2 бами. Значит, число благоприятствующих исходов равно k = k1 ⋅ k 2 ⋅ k3 ⋅ k 4 ⋅ k5 = 5! ⋅ C10 ⋅ C8 ⋅ C6 ⋅ C4 = 5! ⋅ 10!/ 2 5 . 2 2 2 2 Следовательно, k 5!⋅10! 15! 35 ⋅ 5! p= = 5: 5 = = 0 ,081. n 2 6 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 Ответ: 0,081. 2.1. В магазин поступило 30 новых телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что купленный телеви- зор не имеет скрытых дефектов. 12 2.2. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности событий: A = {число очков на верхней грани равно 6}, B = {число очков кратно 3}, C = {число очков меньше 5}. 2.3. Из колоды в 36 карт наугад вытаскивается одна. Найти вероят- ности событий: A = {карта имеет масть "пик"}, B = {карта имеет черную масть}, C = {вытащен туз}, D = {вытащен туз "пик"}. 2.4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Кубики перемешиваются, а затем наугад вытаски- вается один из них. Найти вероятности событий: A = {кубик имеет три окрашенные грани}, B = {кубик имеет две окрашенные грани}, C = {кубик имеет одну окрашенную грань}. 2.5. На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи: бе- лую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не бьют друг друга? 2.6. На 9 карточках написаны цифры от 1 до 9. Определить вероят- ность того, что число, составленное из двух наугад взятых карточек, де- лится на 18. 2.7. На 8 карточках написаны числа: 2,4,6,7,8,11,12,13. Из двух нау- гад взятых карточек составлена дробь. Какова вероятность того, что она сократима? 2.8. Одновременно подбрасывается две кости. Найти вероятности событий: A = {количество очков на верхних гранях одинаково}, B = {на верхних гранях выпадет в сумме 8 очков}, C = {сумма очков четна}, D = {хотя бы на одной кости появится цифра 6}. 2.9. Телефонный номер состоит из 6 цифр. Некто забыл номер теле- фона, но помнит, что он состоит из нечетных цифр. Какова вероятность того, что номер будет угадан с первой попытки? 2.10. Поезд метро состоит из 6 вагонов. Какова вероятность того, что 3 пассажира сядут в один вагон? 2.11. Зенитная батарея, состоящая из n орудий, производит залп по группе из m самолетов. Каждое орудие выбирает себе цель наудачу неза- висимо от остальных. Найти вероятность того, что все орудия выстрелят по одному самолету. 2.12. Пяти радиостанциям разрешено вести передачи на шести час- тотах. Каждая радиостанция наудачу выбирает себе частоту. Найти веро- ятности событий: A = {все радиостанции работают на одной частоте}, B = {хотя бы две радиостанции работают на разных частотах}, C = {все ра- диостанции работают на разных частотах}. 2.13. Числа 1,2,...,20 написаны на карточках. Карточки тщательно перетасовываются, а затем вытаскиваются две из них. Какова вероят- ность того, что сумма чисел на вынутых карточках равна 30? 2.14. Цветочница выставила на продажу 15 белых и 10 красных роз. Некто просит подобрать ему букет из 5 роз. Какова вероятность того, что в букете будет 2 белые и 3 красные розы? 13 2.15. В экзаменационный билет включается два теоретических во- проса. Студент из 60 вопросов программы выучил только 40. Найти веро- ятности событий: A = {студент знает оба вопроса билета}, B = {студент знает только один вопрос билета}, C = {студент знает хотя бы один во- прос билета}. 2.16. В пачке из 100 лотерейных билетов 10 выигрышных. Некто по- купает 5 билетов. Найти вероятности событий: A = {все купленные биле- ты выигрышные}, B = {два билета выигрывают}, C = {выигрывает хотя бы один билет}. 2.17. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются две карты. Найти ве- роятности событий: A = {извлечены карты разного цвета}, B = {извле- чены карты одной масти}, C = {извлечен ровно один туз}, D = {среди извлеченных карт есть хотя бы один туз}. 2.18. Из колоды в 52 карты наудачу извлекаются три карты. Найти вероятности событий: A = {извлечены тройка, семерка, туз}, B = {из- влечены две карты бубновой масти}, C = {извлечены два короля}. 2.19. В партии из 30 изделий 5 бракованных. Для контроля наудачу берутся 3 изделия. Найти вероятности событий: A = {все отобранные из- делия бракованы}, B = {два изделия бракованы}, C = {хотя бы одно из- делие браковано}. 2.20. В коробке 6 красных и 4 синих карандаша. Наугад вытаскива- ются три из них. Найти вероятности событий: A = {вытащены карандаши одного цвета}, B = {вытащены хотя бы два красных карандаша}. 2.21. В коробке 10 красных, 8 синих, 2 зеленых карандаша. Наугад берутся 3 из них. Найти вероятности событий: A = {среди взятых нет си- них карандашей}, B = {взяты карандаши разного цвета}, C = {взят хотя бы один зеленый карандаш}. 2.22. В студенческой группе 15 юношей и 10 девушек. Для участия в конференции случайным образом из группы отбирается 6 человек. Найти вероятности событий: A = {среди делегатов одни юноши}, B = {среди делегатов поровну юношей и девушек}, C = {девушки составляют боль- шинство среди делегатов}, D = {среди делегатов хотя бы один юноша}. 2.23. В спортлото "5 из 36" угадываются 5 из 36 чисел. Найти веро- ятности событий: A = {угаданы все 5 чисел}, B = {угаданы 4 числа}, C = {угаданы только 3 числа}. 2.24. Для уменьшения числа игр 2n футбольных команд, среди кото- рых два призера предыдущего чемпионата, путем жеребьевки разбивают- ся на две подгруппы по n команд каждая. Какова вероятность того, что команды-призеры попадут в разные подгруппы? 2.25. Из урны, содержащей m1 белых и m2 черных шара наугад вы- таскивается m шаров (m < m1 ,m2). Найти вероятности событий: A = {все 14 вытащенные шары белые}, B = {среди вытащенных хотя бы один шар белый}, C = {вытащено не менее двух белых шаров}. 2.26. В урне m1 белых, m2 черных, m3 красных шара. Какова веро- ятность того, что три вынутых шара имеют разные цвета? 2.27. На 10 карточках написаны буквы: А, А, А, А, А, А, М, М, М, М. Ребенок наугад вытаскивает одну за другой 4 карточки и прикладывает их друг к другу слева направо. Какова вероятность того, что он случай- но сложит слово МАМА? 2.28. Слово МАТЕМАТИКА разрезается на буквы. Буквы переме- шиваются и снова складываются слева направо. Найти вероятность того, что снова получится слово МАТЕМАТИКА. 2.29. Числа 1,2,..,9 записываются в случайном порядке. Найти веро- ятности событий: A = {числа записаны в порядке возрастания}, B = {числа 1 и 2 будут записаны рядом и в порядке возрастания}, C = {числа 3,6,9 будут записаны друг за другом и в произвольном поряд- ке}, D = {на четных местах будут стоять четные числа}, F = {сумма равноотстоящих от концов записи чисел равна 10}. 2.30. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Случайным об- разом вытаскиваются три карточки и прикладываются в ряд слева напра- во в порядке поступления. Найти вероятности событий: A = {получается число 123}, B = {число не содержит цифры 3}, C = {число состоит из последовательных цифр}, D = {получилось четное число}. 2.31. В машинном зале 10 компьютеров, из которых 3 с черно-белым экраном. Преподаватель произвольным образом рассаживает 10 студен- тов за эти компьютеры. Какова вероятность того, что студенты Иванов, Петров, Сидоров окажутся за компьютерами с черно-белым экраном? 2.32. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным об- разом занимают очередь за учебниками в библиотеку. Какова вероят- ность, что в образовавшейся очереди между Ивановым и Петровым ока- жутся ровно 5 человек? 2.33. Восемь человек садятся за круглый стол в произвольном поряд- ке. Какова вероятность того, что два определенных лица будут сидеть ря- дом? 2.34. Пять юношей и две девушки случайным образом становятся в круг для игры в волейбол. Какова вероятность того, что обе девушки окажутся рядом? 2.35. n мужчин и n женщин случайным образом рассаживаются в ряд на 2n мест. Найти вероятности следующих событий: A = {никакие два мужчины не будут сидеть рядом}, B = {все мужчины будут сидеть ря- дом}. 2.36. Бросается 10 игральных костей. Найти вероятности следующих событий: A = {хотя бы на одной кости выпадет 6 очков}, B = {ровно на трех костях выпадет 6 очков}. 15 2.37. Из телефонной книги, в которой все номера семизначные, нау- гад выбирается номер телефона. Найти вероятности следующих событий: A = {четыре последние цифры номера одинаковы}, B = {все цифры но- мера различны}. 2.38. Шесть человек вошли в лифт на первом этаже семиэтажного дома. Считая, что любой пассажир может с равной вероятностью выйти на любом этаже, найти вероятности событий: A = {пассажиры выходят, начиная с 5 этажа}, B = {трое пассажиров выйдут на 7 этаже}, C = {на каждом этаже выйдет по одному пассажиру}. 2.39. Бросается 6 игральных костей. Найти вероятности событий: A = {выпадут 3 единицы, 2 тройки, 1 шестерка}, B = {выпадут разные цифры}, C = {выпадут одинаковые цифры}. 2.40. 52 карты раздаются четырем игрокам. Найти вероятности со- бытий: A = {каждый игрок получит туз}, B = {один из игроков получит все 13 карт одной масти}, C = {все тузы попадут к одному из игроков}. 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Существует круг задач, решение которых основано на геометриче- ской интерпретации вероятности. Итак, на прямой выберем отрезок Е и внутри него отрезок (или совокупность отрезков) A (см. рис.3.1). Внутрь отрезка E "бросается" точка. Вероятность ее попадания на A находится по формуле p = l A /l E , (3.1) где l A и l E - длины A и E соответственно. Вероятность события A , найденная по формуле (3.1), называется геометрической вероятностью на прямой. Аналогично, если точка "бросается" внутрь квадрата E (см. рис.3.2), то вероятность ее попадания в область A , лежащую внутри E , находится по формуле p = S A /S E , (3.2) где S A и S E - площади A и E соответственно. Вероятность попадания точки внутрь трехмерной области A при ее "бросании" внутрь куба E аналогичным образом находится по формуле p = V A /VE , где V A и VE - объемы A и E соответственно. 16 Рис. 3.1. Рис. 3.2. Пример 1. На прямолинейном участке газопровода длиной 80 км произошел разрыв. Какова вероятность того, что разрыв удален от обоих концов участка на расстояние, большее 30 км? 30 км 20 км 30 км A C D B Рис. 3.3. Решение. Участок газопровода AB разобьем точками C, D на три части, как показано на рис. 3.3. В нашем случае разрыв газопровода дол- жен произойти на участке CD . Значит, вероятность события равна p = lCD /l AB = = 20/80 = 0,25. Ответ: 0.25. Пример 2. Быстро вращающийся диск разделен на 6 одинаковых секторов, попеременно окрашенных в красный и белый цвета. По диску произведен выстрел, и пуля попала в диск. Найти вероятность того, что пуля попала в один из красных секторов. Решение. Пусть R - радиус диска, тогда S 0 = πR 2 - его площадь, S = 3πR 2 / 6 = πR 2 / 2 - суммарная площадь красных секторов. Значит, ве- роятность попадания в красный сектор равна p = S / S 0 = 0,5 . Ответ: 0,5. Пример 3. Наугад берутся два числа из отрезка . Найти вероят- ность того, что их сумма больше 2, а сумма их квадратов меньше 4. 17 Решение. Пусть x,y- выбранные числа. Выбрать произвольно два числа x, y ∈ означает в нашей задаче бросить наугад точку M(x,y) внутрь квадрата 0 ≤ x,y ≤ 2 (см. рис. 3.4). Указанное в условии задачи событие произойдет, если будут выполнены условия: x+y>2, x + y < 4 , т.е. если брошенная точка 2 2 попадет внутрь области A , ограниченной линиями: x + y = 2 ; x 2 + y 2 = 4 (см. Рис. 3.4. рис. 3.4). Поэтому вероятность события можно найти по формуле p = S A /S 0 , где S 0 - площадь квадрата, S A - площадь области А. Находим S 0 = 2 ⋅ 2 = 4 , R S A = ∫0 (4 − x 2 − (2 − x))dx = π − 2 . Следовательно, p = (π − 2) / 4. Ответ: (π -2)/4. Пример 4. Два приятеля договорились о встрече в промежутке вре- мени между 9ч. и 9ч.30мин. Первый пришедший ждет второго 15 минут и уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится? Решение. Выберем 9 часов за начало отсчета. Пусть x и y - моменты прихода первого и второго приятеля соответственно. Согласно условию задачи 0 ≤ x,y ≤ 0,5. Встреча состоится, если | x − y |≤ 0,25. Значит, дос- товерное событие моделируется на плоскости xOy квадратом × × (см. рис. 3.5), а событие A = ={встреча состоится} – областью внутри квадрата, задаваемой неравенством | x − y |≤ 0,25 , (на рис 3.5 эта область заштрихована). Площадь квадрата S 0 = 0,25, площадь фигуры равна S A = S 0 − 2 ⋅ 0 ,5 ⋅ (0 ,25)2 = 0 ,1875. Значит, P(A) = S A / S 0 = 0,75. Рис. 3.5. Ответ: 0,75. 3.1. В точке C , положение которой на телефонной линии AB длины l0 равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что C удалена от A на расстояние, большее l. 3.2. На отрезок длины l поставлена точка деления. Определить веро- ятность того, что меньший отрезок имеет длину больше, чем l/3. 3.3. Луч локатора перемещается в горизонтальной плоскости с по- стоянной угловой скоростью. Какова вероятность того, что цель будет 18 обнаружена локатором в угловом секторе величины 60° , если появление цели по любому направлению одинаково возможно? 3.4. В окружность вписывается прямоугольник. Какова вероятность, что его высота больше длины основания? При решении задачи использо- вать понятие геометрической вероятности. 3.5. На оси абсцисс графика функции y = sin x наугад берется точка. Какова вероятность того, что ордината графика в этой точке больше 0,5? 3.6. Компьютер случайным образом генерирует число х из проме- жутка [−π ;π ]. Какова вероятность того, что sin x < cos x ? 3.7. В окружности радиуса R проводятся вертикальные хорды. Како- ва вероятность того, что длина наудачу взятой хорды окажется меньше радиуса? 3.8. Кусок проволоки длиной 20 см был согнут в наудачу выбранной точке. После этого, перегнув проволоку еще в двух местах (не ломая ее), сделали прямоугольную рамку. Найти вероятность того, что площадь по- лученной рамки не превосходит 21см 2 . 3.9. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник. Внутрь круга бросается точка. Найти вероятность того, что точка попадет внутрь треугольника. 3.10. Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пу- лей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна d , рас- стояние между их осями равно a (d < a) . 3.11. Монета радиуса r (2r < a) случайным образом бросается на стол, разграфленный на квадраты со стороной a . Найти вероятность то- го, что монета не пересечет ни одной стороны квадрата. 3.12. Из промежутка наугад выбирается два числа. Какова веро- ятность того, что их произведение больше 2? 3.13. Какова вероятность того, что сумма двух наудачу взятых отрез- ков, длина каждого из которых не превосходит a , будет больше a ? 3.14. В квадрат 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 наугад бросается точка M (x, y) . Найти вероятность того, что min(x, y) ≤ a, если a ∈ (0;1] . 3.15. Внутри квадрата с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1) наудачу выбирается точка M(x,y). Найти вероятность того, что: a) max (x,y) < a; б) xy < a, если 0 < а ≤ 1. 3.16. Для произвольно взятых чисел a, b ∈ вычисляется опреде- 1 a литель D = . Какова вероятность, что D > 0? a b 3.17. Компьютер сгенерировал два числа из промежутка [-1;2]. Како- ва вероятность, что их сумма больше 1, а произведение меньше 1? 3.18. Параметры a, b могут принимать любые значения из проме- жутка [−1;1] . Найти вероятности следующих событий: A = {корни квад- 19 ратного трехчлена x 2 + 2 ax + b действительны}, B = {корни квадратного трехчлена x 2 + 2 ax + b положительны}. 3.19. На отрезке длины a поставили две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше a / 3 ? 3.20. Два приятеля договорились встретиться в течение часа. Первый из пришедших ждет 10 минут, а потом уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится? 3.21. В любой момент времени из промежутка длительностью Т рав- новозможны поступления в приемник двух сигналов. Определить веро- ятность того, что промежуток времени между сигналами будет меньше t . 3.22. В случайные моменты времени из промежутка длительностью Т включаются передатчик и приемник. Длительность переданного сигна- ла t1 , время работы приемника t 2 . Какова вероятность, что переданный сигнал будет обнаружен? 3.23. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу в течение суток. Определить вероятность того, что одному из теплоходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки одного теп- лохода 1час, другого - 2 часа. 3.24. (задача Бюффона) На плоскость, разграфленную параллельны- ми прямыми линиями, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a , нау- дачу бросается игла длиной 2b . Какова вероятность того, что игла пере- сечет одну из прямых, если b ≤ a ? 3.25. Из промежутка наугад выбираются три числа. Какова ве- роятность того, что их сумма меньше 3? 3.26.Стержень длины a произвольным образом разламывается на три части. Найти вероятность того, что из этих частей можно составить тре- угольник. Замечание: треугольник можно составить из трех отрезков, ес- ли сумма длин двух любых из них больше длины третьего, а разность длин - меньше длины третьего. 4. ВЕРОЯТНОСТИ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ Для вычисления вероятностей сложных событий используются сле- дующие факты теории вероятностей. Если события A и B несовместны (т.е. не могут произойти одновре- менно), то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей P(A + B) = P(A) + P(B). (4.1) Если же события A и B совместны, то P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB). (4.2) 20 Если события A и B независимы (т.е. вероятность одного из собы- тий не зависит от появления или не появления другого), то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей P(AB) = P (A) P(B). (4.3) Если же события А и В зависимы, то вместо формулы (4.3) используется формула P (AB) = P (A) P (B / A) = P (B) P (A / B), (4.4) где P(A / B) и P(B / A) - условные вероятности событий A и B соответ- ственно. При этом под условной вероятностью P(A / B) события A понимают вероятность события A , вычисленную при условии, что событие B уже произошло. Аналогично понимается вероятность P(B / A) . Формулы (4.1)-(4.4) легко обобщаются на случай n событий A1 , A2 ,..., An . Так, если события A1 , A2 ,..., An попарно несовместны (т.е. любые два события из группы не могут происходить одновременно), то P(A1 + A2 + ... + An) = P (A1) + P (A2) + ... + P (An). (4.5) Если события A1 , A2 ,..., An - независимы в совокупности (т.е. по- явление одного события не зависит от появления или не появления ос- тальных), то P (A1 A 2 ... A n) = P (A1) P (A 2) ⋅ ... ⋅ P (A n) . (4.6) Если же события не являются независимыми в совокупности, то вместо формулы (4.6) используется формула P (A1 A 2 ... A n) = P (A1) P (A 2 / A1) P (A 3 / A1 A 2) ⋅ ... ... ⋅ P (A n / A 1 ⋅ ... ⋅ A n) . (4.7) Правила сложения и умножения вероятностей (формулы (4.1) - (4.7) редко применяются порознь, обычно они используются вместе. Наиболее типична следующая схема: событие А, вероятность которого надо найти, представляется в виде суммы попарно несовместных событий A = A1 + A2 + ... + An (4.8) Далее используется формула (4.1) или (4.5), в результате чего на- хождение Р(А) сводится к отысканию суммы вероятностей P(Ak), к=1, 2, ... , n. Для этого каждое слагаемое в формуле (4.8) пред- ставляется в виде произведений событий, и для отыскания P(Ak) используется одна из формул (4.3),(4.4),(4.6),(4.7). Следует помнить, что при отыскании вероятности появления "хотя бы од- ного события" обычно переходят к противоположному событию "не поя- вилось ни одно событие" и используют формулу P(A) = 1 − P (A), (4.9)

2502. В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Три ученика выбираются случайным образом. Вероятность того, что 1 девочка и 2 мальчика выбраны, это:

2503. Среди 17 студентов группы, из которых 8 – девушки, разыгрывается 7 билетов в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки и 3 юношей.

2504. Среди 30 студентов, из которых 10 девушек, разыгрываются три билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность, что среди обладателей билетов окажется 1 девушка?

2505. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся четыре девушки?

2506. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета в кино, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре юноши; б) три девушки и один юноша?

2507. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек разыгрываются 4 билета в театр, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся: а) три юноши и одна девушка; б) хотя бы один юноша?

2508. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 4 билета в театр, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется хотя бы одна девушка.

2509. Среди 20 студентов группы 8 девушек и 12 юношей. Разыгрывается 6 билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что 4 билета достанутся девушкам.

2510. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу выбирают 5 студентов. Какова вероятность того, что среди них 3 отличника?

2511. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

2512. В группе 20 студентов из них 4 отличника. Какова вероятность того, что среди 5 наугад выбранных по списку студентов 2 отличника.

2513. В группе 15 студентов, среди которых три отличника. По списку наудачу отобраны 6 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 2 отличника.

2514. Из 30 студентов группы 5 студентов отличники. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента – отличники?

2515. В группе из 10 студентов 7 отличников. Наудачу отобраны 5 студентов. Найти вероятность того, что все отобранные студенты - отличники.

2516. В группе из 20 студентов 5 отличников. Выбирают наудачу 4 студента. Какова вероятность того, что 2 из них отличники?

2517. В группе 20 студентов среди которых 6 отличников. Группа на удачу разделена на две. Какова вероятность того, что в каждой группе по 3 отличника.

2518. В группе 20 студентов, среди которых 6 отличников. Отобрано наудачу 7 студентов. Найти вероятность того, что среди них 3 отличника.

2519. В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделен на 2 равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?

2520. В группе 20 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отбирается 10 человек. Найти вероятность, что среди них ровно 5 отличников.

2521. В группе 15 студентов, 8 из которых отличники. Наудачу (по списку) вызвали 6 студентов. Найти вероятность того, что 4 студента из вызванных окажутся отличниками.

2522. В группе 15 студентов, среди которых 6 отличников. По списку наудачу отобраны 8 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 3 отличника.

2523. В группе 15 студентов, среди которых 6 отличников. По списку наудачу отобраны десять студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов четыре отличника.

2524. В группе 16 студентов, среди которых 10 отличников. По списку отобраны 12 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 6 отличников.

2525. В группе 25 студентов, среди них 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

2526. В группе 20 студентов, среди которых 10 отличников. По списку наудачу отобраны 12 студентов. Найдите вероятность того, что среди них пять отличников.

2527. В группе 16 студентов, среди которых 4 отличника. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 3 отличника.

2528. В ящике стола имеется 15 тетрадей, 8 из них в клеточку. Наудачу взяли три тетради. Найти вероятность того, что все три взятые тетради окажутся в клеточку.

2529. В пачке 10 тетрадей, среди них 4 тетради в клетку, а остальные в линейку. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых трех тетрадей хотя бы одна будет в клетку.

2530. В группе из 20 студентов 4 не сдали сессию. По списку отобрали 16 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов нет должников.

2531. В пачке 10 тетрадей 8 из которых в клетку. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу двух тетрадей есть хотя бы одна в клеточку.

2532. В пачке 10 тетрадей, из которых 6 тетрадей в клетку, а остальные в линейку. Найти вероятность того, что среди одновременно наудачу взятых из пачки трех тетрадей в клетку будет: а) одна тетрадь; б) ни одной.

2533. В пачке 20 тетрадей, 7 в клетку, 13 в линейку, наудачу берут 3, найти:
а) Вероятность того, что только одна тетрадь будет в клетку
б) Хотя бы 1 тетрадь будет в клетку

2534. В пачке 25 тетрадей, 5 из которых в линейку, а остальные в клетку. Наугад берут семь тетрадей. Какова вероятность того, что все тетради окажутся в клетку?

2535. Производится 10 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,2. Найдите: наиболее вероятное число попаданий и соответствующую этому числу вероятность.

2536. В пачке 10 тетрадей, из которых шесть тетрадей в клетку, а остальные в линейку. Найти вероятность того, что среди одновременно взятых наудачу из пачки трех тетрадей хотя бы одна тетрадь окажется в клетку.

2537. В пачке 8 тетрадей, среди которых 5 тетрадей в клетку, остальные в линейку. Студент наудачу берет 3 тетради. Какова вероятность того, что среди взятых: а) одна тетрадь в линейку; б) все тетради в клетку?

2538. В пачке находится 8 тетрадей в линейку и 4 в клетку. Из пачки наугад берут 2 тетради. Какова вероятность того, что обе тетради окажутся в линейку.

2539. Из пачки тетрадей, содержащих 14 тетрадей в клетку и 15 тетрадей в линейку, берут наудачу 7 тетрадей. Какова вероятность того, что среди выбранных тетрадей будет 5 тетрадей в линейку?

2540. Из пачки тетрадей, содержащих 8 тетрадей в клетку и 9 тетрадей в линейку, берут наудачу 5 тетрадей. Какова вероятность того, что среди выбранных тетрадей будет 3 тетради в линейку?

2541. В пачке находятся 6 тетрадей в линейку и 3 в клетку. Из пачки наугад берут 2 тетради. Какова вероятность того, что обе тетради окажутся в линейку?

2542. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?

2543. В пачке находятся одинаковые по размеру 8 тетрадей в линейку и 6 в клетку. Из пачки наугад берут одну тетрадь. Какова вероятность того, что тетрадь окажется в линейку?

2544. В папке находятся одинаковые по размеру 8 тетрадей в линию и 6 тетрадей в клетку. Наугад в папке берут 4 тетради. Какова вероятность того, что все 4 тетради окажутся в клетку.

2545. В пачке находятся одинаковые по размеру 10 тетрадей в линейку и 6 в клетку. Из пачки наугад берут 4 тетради. Какова вероятность того, что все 4 тетради окажутся в клетку?

2546. В пачке находится 25 тетрадей с одинаковым количеством листов. Из них 16 тетрадей в линейку, а остальные – в клетку. Наугад берут 4 тетради. Какова вероятность того, что все они окажутся тетрадями в клетку?

2547. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад 2 шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара черные. Найти вероятность того же события при условии, что первый вынутый шар возвращают в урну и все шары перемешивают.

2548. В урне 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

2549. В урне 8 белых и 4 черных шара. Из урны извлекаются 2 шара. Найдите вероятность того, что оба шара будут белыми.

2550. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

2551. В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найдите вероятность того, что 1) наудачу вынутый шар окажется черным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся черными.

2552. В урне лежат 12 шаров, среди которых 10 шаров белые. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что все три шара будут белыми, равна…

2553. В урне лежат 14 шаров, среди которых 12 белых. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найдите вероятность того, что все три шара будут белыми.

2554. В урне лежат 12 шаров, среди которых 7 шаров белые. Наудачу по одному извлекают два шара без возвращения. Тогда вероятность того, что оба шара будут белыми, равна…

2555. В урне находятся 3 белых и 3 черных шара. Из урны по очереди вынимаются два шара. Вероятность того, что все шары будут белыми, равна…

2556. В урне находится 5 белых и 2 черных шара. Из урны по очереди вынимаются четыре шара. Вероятность того, что все шары будут белыми, равна…

2557. В урне находится 5 белых и 3 черных шара. Из урны по очереди вынимаются четыре шара. Вероятность того, что все шары будут белыми, равна…

2558. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

2559. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

2560. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

2561. В урне 8 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

2562. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность р того, что оба шара окажутся белыми?

2563. В урне 9 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

2564. В урне 10 белых и 25 чёрных шаров. Из урны вынимают два шара, какая вероятность того, что они будут белые?

2565. В урне 16 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают три шара. Какова вероятность того, что три шара окажутся белыми?

2566. Из урны, в которой находится 14 белых и 6 чёрных шаров, наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

2567. В урне 18 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают сразу 4 шара. Какова вероятность, что из них 2 шара будет белых и 2 черных?

2568. В урне лежат 4 белых и 2 черных шара. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми?

2569. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один шар черный, а другой белый?

2570. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

2571. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Из урны вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 3 белых шара.

2572. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу были отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 3 белых шара.

2573. В ящике 8 белых и 10 черных шаров. Найти вероятность того, что наудачу отобранных пяти шаров окажется не менее четырех черных.

2574. В урне 7 черных и 5 желтых шаров. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 4 шаров окажется более 2-х желтых.

2575. В урне 3 черных и 7 красных шаров. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 шаров окажется не менее трех красных.

2576. В урне 5 белых и 4 красных шара, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будет не менее двух красных.

2577. В урне 8 черных и 4 желтых шара. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 4-х шаров окажется не более двух желтых.

2578. В урне 8 синих и 7 зеленых шаров. Наудачу извлекаются 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее 5 синих.

2579. В урне 8 белых и 8 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

2580. Из урны, в которой находится 12 белых и 8 чёрных шаров вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся чёрными?

2581. В урне 20 шаров: 12 белых и 8 чёрных. Какова вероятность того, что 2 вынутых на удачу шара будут белыми?

2582. Из урны, в которой находится 12 белых и 9 черных шаров вынимают на удачу 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

2583. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

2584. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынули наудачу два шара. Найти вероятность того, что оба шара – черные.

2585. Из урны, в которой лежит 7 белых и 3 черных шара наудачу по одному извлекают два шара без возвращения. Тогда вероятность того, что хотя бы один шар будет белым равна...

2586. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белые.

2587. В урне 4 белых и 6 красных шаров. Наудачу извлекаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется менее двух красных шаров.

2588. В урне 7 белых и 5 красных шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу извлекаются 4 шара. Найти вероятность того, что среди них будет не менее трех красных.

2589. В коробке лежат 12 белых и 8 красных шаров, одинаковых на ощупь. Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что красных шаров вынуто не более двух?

2590. В ящике лежат 8 белых и 12 красных одинаковых на ощупь шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из них белый?

2591. В ящике лежат 12 белых и 8 красных одинаковых на ощупь шаров. Вынули наугад 2 шара. Какова вероятность того, что они разноцветные?

2592. В урне 7 красных шаров и 9 белых. Какова вероятность того, что два шара окажутся разноцветные?

2593. В урне 8 белых и 19 черных шаров. Из урны вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что два шара будут черными.

2594. В урне 15 белых и 8 черных шаров. Вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара?

2595. На каждые 100 электрических ламп завода «А» в среднем приходится 83 стандартных, завода «В» – 63 стандартных. В магазин поступает 70% лампочек с завода «А» и 30% – с завода «В». Купленная лампочка оказалась стандартной. Определить вероятность того, что лампочка изготовлена на заводе «А».

2596. На первом заводе из каждых 100 машин производится в среднем 90 стандартных, на втором – 95, на третьем – 85, а продукция этих заводов составляет соответственно 50, 30 и 20% всех машин, поставляемых в магазин данного района. Купленная машина оказалась стандартной. Какова вероятность того, что она произведена на втором заводе?

2597. На первом заводе на каждые 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором – 95, на третьем – 85, а продукция их составляет соответственно 50%, 30%, 20% всех электролампочек, поставляемых в магазины данного района. Найти вероятность приобретения стандартной лампочки.

2598. На одном заводе на каждые 100 лампочек приходится в среднем 10 нестандартных, на втором – 15, а на третьем – 20. Продукция этих заводов составляет соответственно 50, 30 и 20% всех электроламп, приобретаемых жителями района. Найти вероятность того, что:
1) приобретенная электролампочка стандартна;
2) и изготовлена вторым заводом.

2599. На одном заводе на каждые 100 лампочек приходится в среднем 15 нестандартных, на втором – 10, а на третьем – 25. Продукция этих заводов составляет 30; 45 и 25% всех электролампочек, приобретаемых жителями района.
а) Найти вероятность того, что приобретенная лампочка будет стандартной.
б) Приобретенная лампочка оказалась стандартной. Какова вероятность того, что эта лампочка изготовлена на первом заводе?

2600. Всхожесть партии ржи равна 90%. Чему равна вероятность того, что из семи посеянных семян взойдут пять?

Задача 1 . В группе студентов–филологов после отчисления из оставшихся 15 девушек и 3 юношей выбирают по жребию 3-х человек в новый оргкомитет «Дней филолога». Какова вероятность того, что в составе выбранных окажется 2 девушки и 1 юноша?

Решение: Число всех равновозможных исходов этого испытания (обозначим его через n) заключается в выборе 3 студентов из 18 – это число равно 816 возможностям. Поэтому n = 816.

Число благоприятных исходов (обозначим его через m) – это выбор 2-х девушек из 15, т. е. это = 105 возможностей, и выбор 1-го юноши из 3, т. е. это = 3 возможности. Двух девушек и одного юношу, согласно комбинаторному принципу умножения, можно выбрать = 105 3= 315 способами. Поэтому m = 315. Следовательно, вероятность события А = {среди выбранных студентов окажется 2 девушки и 1 юноша} по формуле классической вероятности равна P(A)= ≈ 0,39.

Задача 2 . В магазин "Академкнига" поступило 20 новых книг по филологии, из них 10 книг российских авторов, 6 книг

западноевропейских авторов и 4 книги татарстанских авторов. Покупатель случайно выбирает одну из новых книг по филологии. Найти вероятность, что наудачу купленная книга по филологии окажется российского или западноевропейского автора.

Решение. Событие А = {куплена книга по филологии российского автора}, событие В = {куплена книга по филологии западноевропейского автора}, тогда событие А ∪ В = {куплена книга по филологии российского или западноевропейского автора}. Соответственно, по формуле классической вероятности имеем р(А) = 0,5 и р(В) = 0,3. События А и В являются несовместными, следовательно, по теореме о сложении вероятностей р(А ∪ В) = р(А) + р(В) = 0,5 + 0,3 = 0,8.

Задача 3 . В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы , где события и означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна , а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения

Задача 4 . Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.

Решение. Обозначим через A, B и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:

а) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0,28+0,3-0,08=0,5;

б) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0,28+0,3+0,42-

-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;

в) 1-P(AÈBÈC)=0,2.

Задача 5 . В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождение мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола. Старший ребенок – мальчик, следовательно, второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и

Задача 6 . Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

Решение . Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, , где ={ первая деталь оказалась нестандартной } и ={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность события А 1 равна кроме того, , так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных. По теореме умножения

Задача 7 . В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы , где события и означают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна , а вероятность вытащить белый шар из второго ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения получаем: