Армен Гаспарян, Гия Саралидзе и др. Подобные геометрические фигуры на трех сторонах

(согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, - например, рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян . В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи , то есть к 2000 году до н. э. , приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника . Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э.

Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Формулировки

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

Алгебраическая формулировка:

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов через и :

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади . То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы . Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры .

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим её основание через H . Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC . Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

, что и требовалось доказать

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Что и требовалось доказать.

Доказательство Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK, AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок рассекает квадрат на две одинаковые части (так как треугольники и равны по построению).

Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки , мы усматриваем равенство заштрихованных фигур и .

Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство методом бесконечно малых

Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди , жившему в первой половине XX века.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a , мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Пользуясь методом разделения переменных, находим

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет ). Тогда для константы интегрирования получим

Вариации и обобщения

Подобные геометрические фигуры на трех сторонах

Обобщение для подобных треугольников, площадь зеленых фигур A + B = площади синей C

Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников

Обобщение теоремы Пифагора сделал Евклид в своей работе Начала , расширив площади квадратов на сторонах до площадей подобных геометрических фигур :

Если построить подобные геометрические фигуры (см. Евклидова геометрия) на сторонах прямоугольного треугольника, тогда сумма двух меньших фигур будет равняться площади большей фигуры.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A , B и C построенных на сторонах с длиной a , b и c , имеем:

Но, по теореме Пифагора, a 2 + b 2 = c 2 , тогда A + B = C .

И наоборот, если мы сможем доказать, что A + B = C для трех подобных геометрических фигур без использования теоремы Пифагора, тогда мы сможем доказать саму теорему, двигаясь в обратном направлении. Например, стартовый центральный треугольник может быть повторно использован как треугольник C на гипотенузе, и два подобных прямоугольных треугольника (A и B ), построенные на двух других сторонах, которые образуются в результате деления центрального треугольника его высотой. Сумма двух меньших площадей треугольников тогда, очевидно, равна площади третьего, таким образом A + B = C и, выполняя предыдущее доказывания в обратном порядке, получим теорему Пифагора a 2 + b 2 = c 2 .

Теорема косинусов

Теорема Пифагора - это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике:

где θ - угол между сторонами a и b .

Если θ равен 90 градусов, тогда cosθ = 0 и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник

В любой выбранный угол произвольного треугольника со сторонами a, b, c впишем равнобедренный треугольник таким образом, чтобы равные углы при его основании θ равнялись выбранному углу. Предположим, что выбранный угол θ расположен напротив стороны, обозначенной c . В результате мы получили треугольник ABD с углом θ, что расположен напротив стороны a и стороны r . Второй треугольник образуется углом θ, что расположен напротив стороны b и стороны с длиной s , как показано на рисунке. Сабит Ибн Курра утверждал, что стороны в этих трех треугольниках связаны следующим образом:

Когда угол θ приближается к π/2, основание равнобедренного треугольника уменьшается, и две стороны r и s перекрывают друг друга все меньше и меньше. Когда θ = π/2, ADB превращается в прямоугольный треугольник, r + s = c и получаем начальную теорему Пифагора.

Рассмотрим один из доводов. Треугольник ABC имеет такие же углы, как и треугольник ABD, но в обратном порядке. (Два треугольника имеют общий угол при вершине B, оба имеют угол θ и также имеют одинаковый третий угол, по сумме углов треугольника) Соответственно, ABC - подобен отражению ABD треугольника DBA, как показано на нижнем рисунке. Запишем соотношение между противоположными сторонами и прилегающими к углу θ,

Так же отражение другого треугольника,

Перемножим дроби и добавим эти два соотношения:

что и требовалось доказать.

Обобщение для произвольных треугольников через параллелограммы

Обобщение для произвольных треугольников,
площадь зеленого участка = площади синего

Доказательство тезиса, что на рисунке выше

Сделаем дальнейшее обобщение для непрямоугольных треугольников, используя параллелограммы на трех сторонах вместо квадратов. (квадраты - частный случай.) Верхний рисунок демонстрирует, что для остроугольного треугольника площадь параллелограмма на длинной стороне равна сумме параллелограммов на двух других сторонах, при условии что параллелограмм на длинной стороне построен, как изображено на рисунке (размеры, отмеченные стрелками, одинаковые и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограммами имеет четкое сходство с начальной теоремой Пифагора, считается, что её сформулировал Папп Александрийский в 4 г. н. э.

Нижний рисунок показывает ход доказательства. Посмотрим на левую сторону треугольника. Левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левая часть синего параллелограмма, потому что они имеют такое же основание b и высоту h . Кроме того, левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левый зеленый параллелограмм на верхнем рисунке, потому что они имеют общее основание (верхняя левая сторона треугольника) и общую высоту, перпендикулярную к этой стороне треугольника. Аналогично рассуждая для правой стороны треугольника докажем, что нижний параллелограмм имеет такую же площадь, как у двух зеленых параллелограммов.

Комплексные числа

Теорему Пифагора используют, чтобы найти расстояние между двумя точками в декартовой координатной системе , и эта теорема справедлива для всех истинных координат: расстояние s между двумя точками (a, b ) и (c, d ) равно

Не возникает проблем с формулой, если к комплексным числам относиться как к векторам с действительными компонентами x + i y = (x , y ). . Например, расстояние s между 0 + 1i и 1 + 0i рассчитываем как модуль вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), или

Тем не менее, для операций с векторами с комплексными координатами необходимо провести определенное усовершенствование формулы Пифагора. Расстояние между точками с комплексными числами (a , b ) и (c , d ); a , b , c , и d все комплексные, сформулируем используя абсолютные величины. Расстояние s основано на векторной разнице (a − c , b − d ) в следующем виде: пусть разница a − c = p + i q , где p - действительная часть разницы, q - мнимая часть, и i = √(−1). Аналогично, пусть b − d = r + is . Тогда:

где - это комплексное сопряженное число для . Например, расстояние между точками (a , b ) = (0, 1) и (c , d ) = (i , 0) , рассчитаем разницей (a − c , b − d ) = (−i , 1) и в результате мы бы получили 0, если бы не были использованы комплексные сопряженные. Следовательно, используя усовершенствованную формулу, получим

Модуль определен следующим образом:

Стереометрия

Значительным обобщением теоремы Пифагора для трехмерного пространства является теорема де Гуа , названная в честь Ж.-П. де Гуа: если тетраэдр имеет прямой угол (как в кубе), тогда квадрат площади грани, лежащей напротив прямого угла, равен сумме квадратов площадей других трех граней. Этот вывод может быть обобщен как «n -мерная теорема Пифагора»:

Теорема Пифагора в трехмерном пространстве связывает диагональ AD с тремя сторонами.

Другое обобщение: Теорема Пифагора может быть применена для стереометрии в следующем виде. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, как показано на рисунке. Найдем длину диагонали BD по теореме Пифагора:

где три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используем горизонтальную диагональ BD и вертикальное ребро AB, чтобы найти длину диагонали AD, для этого снова используем теорему Пифагора:

или, если все записать одним уравнением:

Этот результат - это трехмерное выражение для определения величины вектора v (диагональ AD), выраженного через его перпендикулярные составляющие {v k } (три взаимно перпендикулярные стороны):

Это уравнение можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора для многомерного пространства. Однако, результат на самом деле есть не что иное, как неоднократное применение теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательно перпендикулярных плоскостях.

Векторное пространство

В случае ортогональной системы векторов имеет место равенство, которое тоже называют теоремой Пифагора:

Если - это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида - и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.

Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов имеет название равенства Парсеваля .

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и, фактически, не действительна для неевклидовой геометрии, в том виде, в котором записана выше. (То есть теорема Пифагора оказывается своеобразным эквивалентом постулату Евклида о параллельности ) Другими словами, в неевклидовой геометрии соотношение между сторонами треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем a , b и c ), которые ограничивают собой октант (восьмую часть) единичной сферы, имеют длину π/2, что противоречит теореме Пифагора, потому что a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Рассмотрим здесь два случая неевклидовой геометрии - сферическая и гиперболическая геометрия; в обоих случаях, как и для евклидова пространства для прямоугольных треугольников, результат, который заменяет теорему Пифагора, следует из теоремы косинусов .

Однако, теорема Пифагора остается справедливой для гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему, скажем A +B = C . Тогда соотношение между сторонами выглядит так: сумма площадей кругов с диаметрами a и b равна площади круга с диаметром c .

Сферическая геометрия

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R (например, если угол γ в треугольнике прямой) со сторонами a , b , c соотношение между сторонами будет иметь такой вид:

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов , которое справедливо для всех сферических треугольников:

где cosh - это гиперболический косинус. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников:

где γ - это угол, вершина которого противоположна стороне c .

где g ij называется метрическим тензором . Он может быть функцией позиции. Такие криволинейные пространства включают Риманову геометрию как общий пример. Это формулировка также подходит для Евклидова пространства при применении криволинейных координат. Например, для полярных координат:

Векторное произведение

Теорема Пифагора связывает два выражения величины векторного произведения. Один из подходов к определению векторного произведения требует, чтобы он удовлетворял уравнению:

в этой формуле используется скалярное произведение . Правая сторона уравнения называется детерминант Грамма для a и b , что равно площади параллелограмма, образованного этими двумя векторами. Исходя из этого требования, а также требования о перпендикулярности векторного произведения к его составляющим a и b следует, что, за исключением тривиальных случаев из 0- и 1-мерного пространства, векторное произведение определено только в трех и семи измерениях. Используем определение угла в n -мерном пространстве:

это свойство векторного произведения дает его величину в таком виде:

Через фундаментальное тригонометрическое тождество Пифагора получаем другую форму записи его величины:

Альтернативный подход к определению векторного произведения использует выражение для его величины. Тогда, рассуждая в обратном порядке, получаем связь со скалярным произведением:

См. также

Примечания

History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics
( , С. 351) С. 351
( , Vol I, p. 144)
Обсуждение исторических фактов приведено в ( , С. 351) С. 351
Kurt Von Fritz (Apr., 1945). «The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum». The Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
Льюис Кэррол, «История с узелками», М., Мир, 1985, с. 7
Asger Aaboe Episodes from the early history of mathematics . - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
Pythagorean Proposition , by Elisha Scott Loomis
Euclid’s Elements : Book VI, Proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle.»
Lawrence S. Leff cited work . - Barron"s Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eves §4.8:...generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) was a physician living in Baghdad who wrote extensively on Euclid’s Elements and other mathematical subjects.
Aydin Sayili (Mar. 1960). «Thâbit ibn Qurra"s Generalization of the Pythagorean Theorem». Isis 51 (1): 35–37. DOI :10.1086/348837 .
Judith D. Sally, Paul Sally Exercise 2.10 (ii) // Cited work . - P. 62. - ISBN 0821844032
For the details of such a construction, see George Jennings Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures . - 3rd. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy Item C : Norm for an arbitrary n -tuple ... // An introduction to analysis . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 See also pages 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica . - 3rd. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia Matrix analysis . - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking cited work . - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
Eric W. Weisstein CRC concise encyclopedia of mathematics . - 2nd. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
Alexander R. Pruss

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

...Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган)

Однажды на уроке геометрии в 7 классе при изучении темы «Параллельные прямые» учитель произнесла фразу о том, что параллельные прямые не всегда являются непересекающимися, чем вызвала удивление и недоверие со стороны учеников, среди которых оказался и автор данной работы.

И действительно, каждый выпускник школы твердо уверен, что существует три признака равенства треугольников, что сумма углов треугольника равна 180 0 , а квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Эти сведения являются одними из основных при изучении треугольников и решения элементарных задач планиметрии. Но как же быть с тем произнесенным учителем фактом? Неужели возможны какие-либо другие варианты взаимного расположения параллельных прямых?

В учебнике «Геометрия.7 - 9 классы» автора Атанасяна Л.С. информации о том, что существует возможность другого взаимного расположения параллельных прямых, отличного от общеизвестного, не нашлось, однако в разделе «Некоторые сведения о развитии геометрии» автором было найдено описание попыток построения новой геометрии учеными-математиками, в числе которых был наш соотечественник, знаменитый ученый Н.И. Лобачевский. Узнав, что геометрия Н.И. Лобачевского изучается только студентами физико-математических направлений, и на уроках в школе информации об этом разделе предмета получить невозможно, автор и решил самостоятельно исследовать вопрос, воспользовавшись помощью учителя.

Следовательно, целью данной работы является исследование свойств треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского.

Соответственно, задачами данной работы являются следующие:

изучить историю возникновения геометрии Н.И. Лобачевского;

рассмотреть основные факты данной геометрии, вникнув в новую для школьника терминологию;

подробно изучить свойства треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского;

рассмотреть модели интерпретации гиперболической геометрии, предлагаемые учеными;

исследовать вопрос применения геометрии Н.И. Лобачевского в современной науке.

Перед началом выполнения исследования автором была выдвинута гипотеза о том, что геометрия Н.И. Лобачевского - это абсолютно новая геометрия, состоящая из фактов, противоречащих геометрии Евклида. Аргументированию этого предположения и посвящена данная работа.

Новизной исследовательской работы автор считает ее основную часть, заключающуюся в рассмотрении вопроса построения геометрии Н.И. Лобачевского и изготовлении наглядных моделей для демонстрации параллелей по Лобачевскому и одной из моделей поверхности, на которой существуют треугольники «воображаемой» геометрии.

Для отбора нужной информации в книгах о геометрии Н.И. Лобачевского автор обращал внимание на язык изложения материала, подробность и конкретность представления искомых сведений. Первым подходящим изданием оказалась книга Лаптева Б.Л. «Н.И. Лобачевский и его геометрия», которая оказалась пособием для учащихся. В книге доступным языком объяснялись предпосылки для возникновения геометрии Н.И. Лобачевского, основные факты данного раздела геометрии, однако этих сведений оказалось недостаточно, так как они были поверхностны. Ясность в теорию треугольников геометрии Н.И. Лобачевского внесла книга Костина В.И. «Основы геометрии», содержащая теоремы планиметрии гиперболической геометрии и интересные теоретические замечания о свойствах фигур.

Оказалось, что меньше всего информации в книгах содержится о практике решения задач в геометрии Н.И. Лобачевского. В соответствии с подобными выводами автором была поставлена задача применения гиперболической геометрии для решения задач из школьного учебника, и сравнение полученных решений.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ИЛИ ГЕОМЕТРИЯ Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

В конце XIX в. математиками были выявлены некоторые недочёты в «Началах» Евклида, хотя до этого его труд считали совершенным изложением геометрической системы. Особое внимание привлек постулат о параллельности прямых. Утвердился ошибочный взгляд, что постулатам и аксиомам нужно верить на слово. Их считали простыми и очевидными. Но пятый постулат отличался от остальных более сложной формулировкой. Учеными были высказаны предположения, что постулат так сильно отличается потому, что Евклид просто не сумел его доказать.

Геометры поставили задачу доказать эту теорему, используя только аксиомы и постулаты, предшествующие пятому. Но в каждом доказательстве находили или грубые ошибки, или большие неточности. Таким образом, математики нашли несколько вариантов, которыми можно заменить пятый постулат, но проблема так и осталась нерешённой.

Обычно пятый постулат трактуют так: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна параллель к этой прямой .

В начале своей педагогической деятельности Лобачевский также предпринял попытку доказать постулат Евклида, но неудачно. Хотя ему удалось привнести в абсолютную геометрию много нового во время работы над доказательством постулата. В 1826 г. Н.И.Лобачевский впервые сообщил научному сообществу о найденном решении проблемы и создании новой, «воображаемой» геометрии, как он сам ее называл, в которой была заменена аксиома параллельных прямых.

Лобачевский развивал свою геометрию, исходя из предположения, что сумма углов в треугольнике меньше π. В следующих работах он сразу начинает различать два класса прямых.

Аксиому Лобачевского трактуют так: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную .

Все предположения и понятия, связанные с параллельностью прямых, в геометрии Н.И. Лобачевского, сильно отличаются от геометрии Евклида, а остальные совпадают. Те теоретические сведения, которые справедливы и в той, и в другой геометрии, принято называть «абсолютной геометрией».

Новая аксиома параллельности создает много непривычных свойств прямых, таких, каким нет места в евклидовой геометрии. Подобные свойства рассмотрены в следующих разделах основной части данной работы. «Воображаемая» геометрия не была признана при жизни Н.И. Лобачевского, и долгое время оспаривалось его первенство на ее создание. В научном сообществе наряду с Н.И. Лобачевским первыми создателями неевклидовой геометрии считали Я. Больаи и К.Ф. Гаусса, однако в конечном итоге авторство было признано за нашим соотечественником.

Прежде чем понять смысл «воображаемой» геометрии, нужно разобрать суть трактовки пятого постулата и терминологию, вводимую Н.И. Лобачевским.

Параллельными в школьном учебнике «Геометрия. 7 - 9» Атанасяна Л.С. и др. называются прямые, которые не пересекаются, а при изучении темы «Параллельные прямые» в качестве аксиомы принимается следующее утверждение: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной», т.е. прямая a является единственной прямой, параллельной прямой b и проходящей через точку М , не лежащую на прямой b (рис. 1). Изобразить подобное расположение двух прямых под силу абсолютно любому школьнику, изучившему тему параллельности на уроках геометрии.

Теперь попробуем представить графическую интерпретацию параллельных прямых, или параллельных линий, как их называл сам Н.И. Лобачевский, в гиперболической геометрии (рис.2) с помощью модели, спроектированной автором (рис.3).

Пусть AA ’ - произвольная прямая на плоскости, точка Р - точка, не лежащая на данной прямой, а луч PQ - перпендикуляр к прямой AA ’ (рис. 3). Прямая BB ’ , очевидно, является той самой прямой, которая считается прямой, параллельной AA ’ в геометрии Евклида. Но для Н.И. Лобачевского это не единственно возможный вариант.

Точка М взята в качестве точки, перемещающейся по прямой AA ’ к точке А от точки Q (рис. 4, 5, 6, 7).

Тогда прямая PM также перемещается до некоторого положения, обозначенного как прямая PT на рис.2. Такое положение названо предельным (рис. 8). Прямая, находящаяся в таком положении, в «воображаемой» геометрии считается прямой, не пересекающей данную прямую, а угол α между PT и PQ Н.И. Лобачевский назвал углом параллельности . Градусная мера этого угла принята в пределах 0 < α < π/2, т.е. угол острый, не принимающий значений 0 0 и 90 0 .

Так какая же прямая из представленных на рис. 2 является прямой, параллельной к АА ’ ? Оказывается, это прямая PT , которую Н.И. Лобачевский назвал параллелью . Такая прямая для АА ’ существует не одна, что можно проследить на следующих рисунках:

Оказывается, у параллели PT есть направление, определяемое направлением приближения данной линии к данной прямой, и оно указывается при названии данной параллели. Прямая PU ’ , симметричная прямой PT , также является параллелью к прямой AA’ , но в направлении к точке A ’ . Отсюда можно сделать вывод, что параллелей для данной прямой существует две, и пятый постулат можно сформулировать иначе, чем у Евклида: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную.

В соответствии с предложенными обозначениями, Н.И. Лобачевский выделил два класса прямых, проходящих через точку P и расположенных по отношению к AA’ по-разному: прямые, пересекающие AA’ T’PU и U’PT и включают перпендикуляр PQ ) и прямые, расходящиеся с AA’ (содержатся в объединении вертикальных углов T’PU’ и UPT и включают прямую BB’ ). Отметим, что параллели TT’ и UU’ в эти группы не входят.

Итак, перечислим основные факты, относящиеся к параллельности прямых в геометрии Н.И. Лобачевского.

Если прямая CD параллельна прямой АВ в направлении от А к В относительно точки С , то она параллельна ей и относительно любой другой своей точки Е (рис. 11).

Две прямые a и b, образующие равные соответственные углы с третьей секущей их прямой c , всегда расходятся. Отсюда верно утверждение о том, что два перпендикуляра к одной и той же прямой всегда расходятся.

Любая пара расходящихся прямых всегда имеет один и только один общий перпендикуляр, по обе стороны которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис.12).

Отсюда следует следующее утверждение.

Средняя линия треугольника всегда расходится с основанием, причем их общий перпендикуляр проходит через середину основания.

В гиперболической геометрии в зависимости от вида пар прямых, имеющих место на плоскости Н.И. Лобачевского (параллельные, пересекающиеся и непересекающиеся), выделены три вида пучков прямых, покрывающих всю плоскость:

Пучок первого рода - множество всех прямых, проходящих через одну точку - центр пучка (рис. 13).

Пучок второго рода - множество прямых, перпендикулярных одной прямой - базе пучка (рис. 14).

Пучок третьего рода - множество прямых, параллельных одной прямой в заданном направлении (рис. 15).

Примечательно, что если построить не один, а два орицикла для одного пучка третьего рода, то длины отрезков данных прямых, заключенных между предельными линиями, будут равны: AA ’ = SS ’ = BB ’ . На плоскости Евклида такой рисунок выглядел бы иначе, и каждый из образовавшихся четырехугольников был бы прямоугольником.

Очевидно, что и трапеция, и параллелограмм как вид четырехугольников, привычные для нас в геометрии Евклида, не существуют в гиперболической геометрии. Вместо них в изложении теории площадей геометрии Н.И. Лобачевского применяется понятие «четырехугольника Саккери», названного по фамилии ученого, использовавшего данный четырехугольник при попытке доказать пятый постулат Евклида. Четырехугольник Саккери - это четырехугольник, у которого две равные стороны перпендикулярны одному из оснований. В «воображаемой» геометрии четырехугольник Саккери выглядит так, как показано на рисунке 17.

Очевидно, что теорема Фалеса также не имеет места в гиперболической геометрии.

Н.И. Лобачевский доказал при построении своей «воображаемой» геометрии, что площадь треугольника связана с суммой его углов, и может быть равна площади четырехугольника Саккери, удовлетворяющего определенным требованиям. Остановимся подробнее на свойствах треугольников, имеющих место в геометрии Н.И. Лобачевского.

В своих публикациях, посвященных изложению основ гиперболической геометрии, Н.И. Лобачевский рассматривает два вида треугольников: прямолинейные и сферические, и для каждого вида рассматривает уравнения, описывающие измерение треугольников и решение задач о параллельных.

Очевидно, что под прямолинейными треугольниками следует понимать привычные для любого школьника фигуры, а вот что можно понимать под сферическими треугольниками?

Дело в том, что если попытаться изобразить модель геометрии Н.И. Лобачевского в пространстве, то в литературе можно встретить несколько вариантов такой интерпретации.

Модель Клейна, в которой точками плоскости являются точки некоторого круга, а прямыми являются хорды круга. Расстояние между любыми двумя точками и углы между двумя прямыми в данной модели выражается через формулы, связанные с понятиями высшей математики.

Модель Пуанкаре в круге, получаемой при построении для каждой точки X круга Клейна точки X 1 , где прямыми являются дуги окружностей (рис. 18).

П севдосфера, понятие которой применимо разве что только к геометрии Н.И. Лобачевского. Представить псевдосферу можно, если приложить две «воронки» раструбами друг к другу (рис. 19).

Последний вариант, по мнению автора, самый наглядный (рис. 20), так как сферический треугольник легче представить, если попробовать мысленно очертить его на одной из воронок псевдосферы (рис. 21). Главное здесь учесть, что данная плоскость имеет некоторую кривизну, и именно поэтому все математические выкладки, связанные с геометрией сферического треугольника сложны и связаны с этой кривизной, а точнее с ее радиусом.

Итак, рассмотрим основные положения теории треугольников «воображаемой» геометрии, заметив, что отличительные особенности сведений о треугольниках расходятся лишь в том случае, если при доказательстве теорем использовался пятый постулат.

Теорема о сумме углов треугольника - первая теорема школьного курса, при доказательстве которой используется аксиома параллельности Евклида, и являющаяся одной из ключевых теорем. Но в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°, что можно наглядно увидеть на модели Пуанкаре (рис. 22).

Из рисунка видно, что сумма углов B и С явно меньше суммы соответствующих углов в плоскости Евклида, а значит и сумма всех трех углов меньше 180 0 .

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то в евклидовой геометрии равны и третьи углы (такие треугольники подобны). В геометрии Н.И. Лобачевского нет понятия подобных треугольников. Кроме того, Н.И. Лобачевский вывел четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны, но если эти треугольники являются сферическими.

Разность между 180° и суммой углов треугольника в геометрии Н.И. Лобачевского положительна; она называется дефектом δ этого треугольника, или угловым дефектом , т.е. δ = π - α - β - γ, где α, β, γ - углы данного треугольника. Оказывается, что в гиперболической геометрии площадь треугольника связана с этим дефектом, и выражается формулой: , где k - коэффициент, зависящий от выбора единиц измерения площадей и углов. Н.И Лобачевский доказывает также, что площадь любого треугольника будет равна площади четырехугольника Саккери, у которого верхнее основание равно одной из сторон этого треугольника, а сумма острых углов при нем равна сумме углов треугольника.

Как известно, в геометрии Евклида около любого треугольника можно описать окружность. В «воображаемой» геометрии эта теорема неверна. Покажем, почему. На рис. 23 серединный перпендикуляр MH к стороне AB треугольника ABC не пересекается с лучом AA 1 , также как и серединный перпендикуляр NH 1 к стороне AC. Эти перпендикуляры не пересекаются, и потому не существует точки, одинаково удаленной от точек A , B и C , т.е. ΔABC не имеет описанной окружности.

Геометрии Н.И. Лобачевского существует так называемый асимптотический треугольник, т.е. треугольник, стороны которого попарно параллельны в смысле гиперболической геометрии (рис. 24).

Величина площади такого треугольника считается самой большой согласно формуле площади треугольника, т.к. углы данного треугольника бесконечно малы и могут быть фактически приравнены к нулю.

В геометрии Н.И Лобачевского справедлива теорема Пифагора, но она имеет видоизмененное уравнение и связана с понятием гиперболического косинуса - показательной функции от экспоненты: , где ch - гиперболический косинус, a , b, c - катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника.

Теоремы синусов и косинусов также имеют место в геометрии Н.И. Лобачевского и справедливы для любого треугольника, однако математическая запись этих теорем также связана с гиперболическим косинусом, как и интерпретация теорем Чевы и Менелая.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перед проведением исследования, описанного в данной работе, автор планировал посвятить ее рассмотрению практического применения гиперболической геометрии к решению задач из школьного учебника, проанализировав их решение в геометрии Евклида и Н.И. Лобачевского. Однако в процессе сбора информации по основам «воображаемой» геометрии выяснилось, что математические выкладки, описанные в работах всемирно известного русского ученого настолько сложны, что воспользоваться ими в настоящее время не представляется возможным.

Работа посвящена рассмотрению вопроса построения геометрии, в основе которой лежит изменение одного из фундаментальных «кирпичиков» геометрической теории, построенной еще в далеком прошлом древним ученым, - Евклидом - пятого постулата. Оказалось, что такое, на первый взгляд, небольшое изменение в исходных аксиоматических данных повлекло за собой изменение огромного пласта теории параллельных линий, на которой строятся многие важные факты, изучаемые в школьном курсе геометрии.

Для более детального разбора и наглядного представления вводимых Н.И. Лобачевским понятий, связанных с определением параллельных прямых, автором совместно с научным руководителем были разработаны и с помощью педагогов-технологов сконструированы следующие модели:

Модель демонстрации определения «параллель» по Н.И. Лобачевскому.

Модель поверхности по Н.И. Лобачевскому, на которой существуют сферические треугольники.

В процессе работы над исследованием гипотеза, сформулированная во введении, о том, что геометрия Н.И. Лобачевского - это абсолютно новая геометрия, все факты которой противоречат геометрии Евклида, оказалась неверна. Оказалось, что в гиперболической геометрии неактуальны теоремы, доказываемые при использовании теории параллельных линий, а все остальные справедливы и в той, и в другой геометрии, и они получили наименование «абсолютной геометрии».

После ознакомления с сочинением Н.И. Лобачевского «О началах геометрии», представленной в книге Нордена А.П. «Об основаниях геометрии», автор убедилась в уникальности изложения так называемой самим ученым «воображаемой» геометрии, аргументированности фактов и доказательности всех математических выкладок. Труд, проделанный Н.И. Лобачевским, просто огромен, и для любого увлеченного математикой человека кажется даже титаническим.

В процессе работы над исследованием, по мнению автора,цель, поставленная в начале и заключающаяся в исследовании свойств треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского, была достигнута. Задачи, сформулированные во введении к данной работе, также были решены. Как оказалось, геометрия Лобачевского применяется при вычислении определенных интегралов, в теории относительности, в теории чисел.

Перед автором работы обозначена перспектива детального разбора формул, по которым возможно проводить вычисления для треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского, после изучения тригонометрии в старшей школе. Не меньший интерес вызывает рассмотрение пространственных сведений в геометрии Н.И. Лобачевского, что становится актуальным после изучения стереометрии.

В целом, работа над исследованием позволила автору по-новому взглянуть на геометрию как науку, и убедиться в том, что существует другой вариант изложения пятого постулата, выдерживающий всякую критику и являющийся истинным так же, как и геометрия Евклида.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Геометрия.7 - 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / (Л.С. Атанасян, В.Ф Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.). - М.: Просвещение, 2011. - 384 с.

Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. - М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1955. - 304 с.

Костин В.И. Основы геометрии (издание второе). - М.: Государственное уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1948. - 305 с.

Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия (пособие для учащихся). - М.: Просвещение, 1976. - 112 с.

Лобачевский Н.И. Геометрические исследования по теории геометрических линий. - М.: Изд-во Академии наук СССР, 1945. - 178 с.

Норден А.П. Об основаниях геометрии. - М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - 531 с.

Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. - М.: Изд-во МЦНМО, 2004. - 89 с.

Смогоржевский А.С. О геометрии Лобачевского. - М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1957. - 69 с.

Всегда лежат в той же плоскости. Следовательно, планарные гиперболические треугольники также описывают треугольники, возможные в любых гиперболических пространствах высокой размерности.

Определение

Гиперболический треугольник состоит из трёх неколлинеарных точек и трёх отрезков между ними .

Свойства

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые аналогичны свойствам треугольников в евклидовой геометрии :

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, аналогичные свойствам треугольников на сферической или эллиптической геометрии :

Два треугольника с той же суммой углов равны по площади.
Существует верхняя граница для площади треугольников.
Существует верхняя граница для радиуса вписанной окружности .
Два треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда они переходят друг в друга в результате конечного числа отражений относительно прямой.
Два треугольника с равными соответствующими углами конгруэнтны (то есть все подобные треугольники конгруэнтны).

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые противоположны свойствам треугольников в сферической или эллиптической геометрии :

Сумма углов треугольника меньше 180°.
Площадь треугольника пропорциональна дефициту его суммы углов (до 180°).

Гиперболические треугольники имеют также некоторые свойства, которых нет в других геометриях:

Некоторые гиперболические треугольники не имеют описанной окружности , что бывает в случае, когда по меньшей мере одна из вершин является идеальной точкой или когда все из вершин лежат на орицикле или на одностороннем гиперцикле .
Гиперболические треугольники тонкие , существует максимальное расстояние δ от точки на стороне до других двух сторон. Этот принцип приводит к появлению δ-гиперболических пространств .

Треугольники с идеальными вершинами

Определение треугольника можно обобщить, если разрешить вершинам лежать на идеальной границе гиперплоскости, при этом стороны должны лежать внутри плоскости. Если пара сторон является асимптотически параллельными (то есть расстояние между ними стремится к нулю при стремлении к идеальной точке , но они не пересекаются), то они заканчиваются в идеальной вершине , представленной омега-точкой .

Говорят, что такая пара сторон образует нулевой угол.

Треугольник с нулевым углом невозможен в евклидовой геометрии для прямолинейных сторон, лежащих на разных прямых. Однако такие нулевые углы возможны для касающихся окружностей .

Треугольник с одной идеальной вершиной называется омега-треугольником .

Специальные виды треугольников с идеальными вершинами:

Треугольник параллельности

Треугольник, в котором одна вершина является идеальной точкой, один угол прямой - третий угол является углом параллельности для стороны между прямым углом и третьим углом.

Треугольник Швайкерта

Треугольник, в котором две вершины являются идеальными точками, а оставшийся угол является прямым . Это один из первых гиперболических треугольников (1818), который описал Фердинанд Карл Швайкерт.

Идеальный треугольник

Треугольник, в котором все вершины являются идеальными точками. Такой треугольник является самым большим из возможных треугольников в геометрии Лобачевского, поскольку имеет нулевую сумму углов.

Стандартизованная кривизна Гаусса

Связи между углами и сторонами аналогичны связям между такими же объектами в сферической тригонометрии . Масштаб длины для сферической геометрии и геометрии Лобачевского можно, например, определить как длину стороны равностороннего треугольника с фиксированными углами.

Масштаб длины наиболее удобен, если длины измеряются в терминах абсолютной длины (специальной единицы длины, аналогичной отношению между расстояниями в сферической геометрии). Выбор масштаба длины делает формулы проще .

Синус угла A равен гиперболическому синусу противоположной углу стороны A , делённому на гиперболический синус гипотенузы c .

sin ⁡ A = s h a s h c . {\displaystyle \sin A={\frac {\mathrm {sh} \,a}{\,\mathrm {sh} \,c\,}}.\,}

Косинус угла A равен гиперболическому тангенсу прилежащего катета b , делённому на гиперболический тангенс гипотенузы c .

cos ⁡ A = t h b t h c . {\displaystyle \cos A={\frac {\mathrm {th} \,b}{\,\mathrm {th} \,c\,}}.\,}

Тангенс угла A равен гиперболическому тангенсу противоположного катета a , делённого на гиперболический синус прилежащего катета b .

t g A = t h a s h b . {\displaystyle \mathrm {tg} \,A={\frac {\mathrm {th} \,a}{\,\mathrm {sh} \,b\,}}.}

Гиперболический косинус прилежащего катета b угла A равен косинусу угла B, делённому на синус угла A.

ch(b) = cos ⁡ B sin ⁡ A . {\displaystyle {\textrm {ch(b)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}.}

Гиперболический косинус гипотенузы c равен произведению гиперболических косинусов катетов a и b .

ch(c) = ch(a) ch(b) . {\displaystyle {\textrm {ch(c)}}={\textrm {ch(a)}}{\textrm {ch(b)}}.} ch(H) = cos ⁡ A cos ⁡ B sin ⁡ A sin ⁡ B = c t g A c t g B {\displaystyle ={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B}

Отношения между углами

cos ⁡ A = c h a sin ⁡ B {\displaystyle \cos A=\mathrm {ch} \,a\sin B} sin ⁡ A = cos ⁡ B c h b {\displaystyle \sin A={\frac {\cos B}{\mathrm {ch} \,b}}} t g A = cot ⁡ B c h c {\displaystyle \mathrm {tg} \,A={\frac {\cot B}{\mathrm {ch} \,c}}} cos ⁡ B = c h b sin ⁡ A {\displaystyle \cos B=\mathrm {ch} \,b\sin A} c h c = c t g A c t g B {\displaystyle \mathrm {ch} \,c=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B}

Площадь

Площадь прямоугольного треугольника равна:

Площадь = π 2 − ∠ A − ∠ B {\displaystyle ={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B} Area = 2 arctan ⁡ (t h (a 2) t h (b 2)) {\displaystyle {\textrm {Area}}=2\arctan(\mathrm {th} \,({\frac {a}{2}})\mathrm {th} \,({\frac {b}{2}}))} .

Угол параллельности

Экземпляр омега-треугольника с прямым углом даёт конфигурацию для проверки угла параллельности в треугольнике.

В случае, когда угол B = 0, a = c = ∞ {\displaystyle \infty } и th (∞) = 1 {\displaystyle {\textrm {th}}(\infty)=1} , получаем cos ⁡ A = th(b) . {\displaystyle \cos A={\textrm {th(b)}}.} (b = прилежащий катет)

Равносторонний треугольник

Тригонометрические формулы для прямоугольных треугольников дают также отношения между сторонами s и углами A равностороннего треугольника (треугольника, у которого все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны):

Cos ⁡ A = th 1 2 s th (s) {\displaystyle \cos A={\frac {{\textrm {th}}{\frac {1}{2}}s}{{\textrm {th}}(s)}}}

C h 1 2 s = cos ⁡ (1 2 A) sin ⁡ (A) = 1 2 sin ⁡ (1 2 A) {\displaystyle \mathrm {ch} \,{\frac {1}{2}}s={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A)}}={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)}}}

Д. Куликов: Да, конечно. Но, повторюсь, простая формальная вещь, которая могла бы удержать все это дело, – партийный устав, который надо было исполнять. Но никто ведь даже не собирался это обсуждать. Почему доклад закрытый? Отсюда вытекает масса вопросов. А были ли там делегаты?

А. Гаспарян: Говорят, что некоторые вообще уехали.

Д. Куликов: Да, многие вообще уехали. А какая функция была у этого доклада? Съезд должен был голосовать за него, утвердить его? Ничего этого не было. В рамках какой процедуры все это происходило? Я думаю, что господин Хрущев (или товарищ, как хотите) решал один вопрос – вы правильно, Гия и Армен, указали на него – все объявлялись преступниками. В принципе, по инерции можно было сказать: этих мы реабилитируем, ну а на вас откроем дельце, посмотрим чем вы занимались с 1937 по 1953-й, к примеру? В общем, это относилось ко всей партии. Действительно ли эти люди в этом участвовали, насколько это все юридически доказуемо – все это было неважным в той атмосфере, в которой они действовали. Главное, чтобы было дело, а человек найдется. Поэтому Хрущев применил тот же метод во внутрипартийной борьбе, какой использовал Сталин по отношению к троцкистам. Некоторые считают, что Хрущев был выжившим троцкистом. Можно и так сказать. Я могу привести линейку убедительных доказательств, что это так и было.

Г. Саралидзе: Немаловажный вопрос: когда Хрущев решился на этот шаг?

А. Гаспарян: Не он должен был это делать. В том-то и состоит парадокс ситуации. Изначально первый раз о том, что у нас произошел страшный перегиб (как это называлось), сказал Берия, по указаниям которого, собственно говоря, и стали собирать всю подлинную статистику: что на самом деле происходило на объектах ГУЛАГа. Эти материалы Берия собирал недолго, потому что его позвали к стенке. Соответственно Микоян с Молотовым, понимая, что действительно какой-то перегиб все-таки существовал (они всегда очень тактично говорили по этому поводу), сказали, что если материалы уже собраны, то, наверное, надо с ними что-то делать. И вот тут их затребовал Хрущев, который, ознакомившись с этим массивом документов, заявил о необходимости донести это до сведения всего советского народа. Затем происходит единственная во всей этой истории полемика. Все решают в очень узком кругу Ворошилов, Микоян, Хрущев и Молотов. Трое из них говорят о том, что да, было, но мы эту войну выиграли, значит, мы были правы и народу не нужно ничего говорить. Хрущев искренне полагает, что в сложившейся политической конфигурации его могут оттеснить на второй или третий план. А ему хочется быть первым. И он один принимает решение: огласить данные статистики. В этой борьбе за власть он разменивает все: авторитет партии, представление народа о том, что вообще происходило в стране…

Г. Саралидзе: Вот о представлении народа… Когда Хрущев собирался делать этот шаг, понимал ли он, что народ задаст сакраментальный вопрос, о котором сказал Дима: а вы-то все где были в этот момент? Вы что делали?

А. Гаспарян: Да в целом народ не волновал Хрущева. Дальнейшие события будут лишним тому подтверждением. Это и трагедия в Тбилиси, это и Новочеркасск и т. д. Волновала ли его когда-нибудь судьба отдельно взятого советского человека? Нет. Существует замечательное свидетельство на этот счет. В конце 1940-х годов на юбилее Иосифа Виссарионовича Сталина все лидеры советского государства написали по панегирику в его честь. Самый сахарный был написан Хрущевым.

Г. Саралидзе: Да, это исторический факт.

А. Гаспарян: И этот человек, не делая никакой паузы, меняет свое отношение на 180 градусов…

Д. Куликов: Есть еще один показательный документ. Я, правда, не знаю, настоящий он или нет, ты меня просвети, Армен. Это резолюция Сталина на расстрельных списках от Хрущева: "Уймись, дурак!" Был ли такой документ?

А. Гаспарян: Кстати, именно Хрущев первый сказал о том, что надо увеличить процентовку в репрессиях.

Г. Саралидзе: Это правда, такой документ существует. По прибытии на Украину Хрущев направил Сталину телеграмму: "Украина вам посылает по 16–18 тысяч репрессированных ежемесячно.

А Москва утверждает 2–3 тысяч. Прошу принять меры", а Сталин наложил на ней резолюцию: "Уймись, дурак!"

А. Гаспарян: Самое интересное, что, приехав руководить Украиной, Никита Сергеевич Хрущев требовал еще увеличить объем: Москва же увеличила, а вы-то как здесь? У него был прекрасный помощник в этих делах. Мало кто знает, что он туда поехал вместе с Ежовым.

Г. Саралидзе: Получается, что человек не боялся того, что его в этом обвинят?

А. Гаспарян: Ежов был осужден за кровопролитие, в том числе на Украине. Обвинить Хрущева мог только кто-то из высшего эшелона власти. Они, естественно, этого делать не стали бы по той причине, что у каждого из них за спиной был опыт участия в репрессиях. То есть Хрущев, великий демократизатор, сам выпустил джинна из бутылки.

Г. Саралидзе: Все равно мне непонятен вопрос: он думал о возможных последствиях? Либо был уверен, что вряд ли кто-то ему сможет что-то предъявить. Очень много говорится о том, что Хрущев первый посмел сказать про Сталина "палач". Он ничего подобного не говорил, как известно, но подразумевал. Но кто-то же мог сказать: подожди, а ты кто тогда? И вообще, когда говорят о некоем самоочищении… Самоочищение было бы, если бы Хрущев вышел и сказал: я палач, я признаю, каюсь. Но никакого покаяния не было.

Д. Куликов: Все очень просто. Предметом доклада не стали, например, репрессии как отдельная партийная и государственная деятельность. Обратите внимание, предметом доклада стал какой-то культ личности!

Г. Саралидзе: То есть все дело в акцентах? В знаках ударения?

Д. Куликов: Произошла подмена предмета. Не случайно, абсолютно не случайно.

Берию убрали, потом Маленкова убрали, потом была антипартийная группа и примкнувший к ней Шепилов. Все это было при Хрущеве. Между прочим, обратите внимание: репрессии проходили в более мягкой форме, расстреляли одного Берию.

А. Гаспарян: Ну, не одного Берию – с ним еще десяток человек.

Д. Куликов: Да, я говорю условно. Но ведь в принципе повторилась ситуация конца 1920-х – 1930-х годов. Партия опять вместо того, чтобы иметь внутри себя несколько групп, центров, вести дискуссию, обсуждать это на съезде, голосовать за или против, все свела к подковерной борьбе. Да, одних расстреляли, других уволили, лишили пенсий. Маленкова отправили руководить стройкой в Восточной Сибири.

А. Гаспарян: А Игнатьева – в Казахстан, если мне память не изменяет.

Д. Куликов: Давайте радоваться, что все это произошло более мягко. А смысл? Конечно, не всех расстреляли, я согласен. Но с точки зрения продуктивной деятельности государственной власти…

Д. Куликов: Она действительно устала бояться. Кстати, когда люди лишались поста, по тем меркам они лишались всего. Хрущеву хотя бы дачу оставили. Но здесь важна другая вещь – результат. Каков результат этих чисток? Что, от этого появился новый курс? Проблема заключается не в том, что тех расстреляли в 1930-е, а этих только выгнали в 1960-е. Проблема заключается в том, что главным инструментом кадровой политики по-прежнему были репрессии. В жесткой ли форме (чудовищной, с расстрелами) или в, условно говоря, мягкой. Все равно кроме репрессивного другого механизма кадровой политики не было. Это главная проблема, а ее никто не обсуждал.

А. Гаспарян: Коллеги, а я бы хотел поспорить по поводу того, что элита боялась следующей порции расстрелов. Дело в том, что товарищ Сталин в 1952 году затеял очередную массовую перестройку партийного аппарата. Собственно, те, кто пришел потом с Брежневым, то Политбюро – это были как раз те, кого в 1953–1954 году должен был выдвинуть товарищ Сталин. Хрущев просто несколько затормозил ход событий. Так вот если судить по тональности выступлений, по заседаниям Политбюро, они не то что не боялись репрессий, они, напротив, за них выступали, искренне полагая, что если однажды этот механизм привел в том числе к положительной динамике, то они всегда смогут оправдаться тем, что нужно было убрать бесталанных красных командиров и пришло поколение, которое выиграло. Сейчас у вас холодная война. Почему вы второй раз то же самое не сделали?

В 4 веке до н. э. древнегреческий ученый Эвклид свёл накопленные к тому времени математические знания в своём труде «Начала», проанализировав труды своих предшественников, возвысился до создания невиданной по тем временам точно обоснованной теории. Она опирается на ряд определений и аксиом. Исходной точкой его логической системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их справедливость признается всеми несомненной.

Имеется пять постулатов:

1. Через две точки проходит единственная прямая.

2. Ограниченную прямую линию можно непрерывно продолжить.

3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше суммы двух прямых углов, эти прямые пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше суммы двух прямых углов.

Пятый постулат (так называемый постулат «о параллельных») вследствие его сравнительной сложности и малой наглядности вызвал большое число попыток доказать его как теорему, вывести его из остальных аксиом. С первого века до н.э. до 1820 математики пытались доказать справедливость пятого постулата, используя первые четыре, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными допущениями, такими, как «две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга» или «любые три точки, не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности».

Ближе всех подошел к цели иезуит, логик и математик Джироламо Саккери (1667–1733) в своей работе «Эвклид, очищенный от пятен, или Геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии». Он начал свои исследования с так называемого четырехугольника Саккери (рис. 1), т.е. с четырехугольника BCED , у которого BC = DE , а углы при вершинах C и E прямые.

Рисунок 1

Заметив, что углы при вершинах B и D обязательно равны, Саккери рассмотрел поочередно три гипотезы: верхние углы четырехугольника тупые, прямые и острые. Он доказал, что любая из этих гипотез, если ее принять для какого-нибудь одного такого четырехугольника, остается в силе для всех таких четырехугольников. Саккери намеревался обосновать гипотезу о том, что верхние углы прямые, доказав, что любая другая гипотеза приводит к противоречию. Вскоре он отверг гипотезу о тупом угле (и тем самым лишил себя возможности открыть эллиптическую геометрию), поскольку, как и все геометры до 1854, рассматривал второй постулат как утверждение о том, что прямая имеет бесконечную длину, и отказываться от этого постулата он не хотел. Точно также Саккери в конце концов отверг и гипотезу об остром угле, но прежде, чем принять это ошибочное решение, он, сам того не ведая, открыл многие теоремы геометрии, получившей впоследствии название гиперболической.

А.Кэли (1821–1895) и Ф.Клейн (1849–1925) прояснили связь между двумя упомянутыми вариантами, разработав в аналитической форме то, что ими было названо «эллиптической» и «гиперболической» геометриями. Евклидова геометрия является предельным случаем каждой из них, и это верно в отношении любой из аналитических формул таких геометрий. Большие круги (геодезические) на сфере, являющейся поверхностью постоянной положительной кривизны (т.е. сумма углов криволинейного треугольника больше суммы двух прямых.), играют роль прямых и порождают эллиптическую геометрию; аналогичным образом, на поверхности постоянной отрицательной кривизны (сумма углов криволинейного треугольника меньше суммы двух прямых) геодезические круги порождают гиперболическую геометрию.

Примером поверхности положительной кривизны является поверхность шара. Условимся считать «прямой» на сфере любую окружность большого круга, т.е. окружность, получаемую при пересечении сферы плоскостью, проходящей через центр шара. Оказывается, что все прямые здесь пересекаются. Следовательно, в такой геометрии не существует параллельных прямых. Можно построить и другие наглядные и поучительные модели эллиптической и гиперболической геометрий, но важно сознавать, что все эти модели содержатся в более общем подходе Римана.

В 1854 Б.Риман (1826–1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок (если отвлечься от небольшой детали, связанной с тем, что свет, отраженный от затылка, достиг бы глаза астронома через тысячи миллионов лет). В своем доказательстве того, что внешний угол при любой вершине треугольника больше внутреннего угла при любой из двух остальных вершин, Евклид неявно использовал бесконечную длину прямой. Из этой теоремы тотчас же следует теорема о том, что сумма любых двух углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Если отказаться от бесконечной длины прямой, то гипотеза Саккери о тупом угле становиться верной и из нее следует, что сумма углов треугольника больше суммы двух прямых. Такое положение дел было давно известно в сферической тригонометрии, где стороны треугольника являются дугами больших кругов. Риман внес эпохальный вклад, распространив представление о конечном, но неограниченном пространстве с двух на три и большее число измерений.

Ф.Клейн (1849–1925) первым увидел, как избавить сферическую геометрию от одного из ее недостатков – того, что две лежащие в одной плоскости «прямые» (два больших круга на сфере) имеют не одну общую точку, а две (рис. 2).

Рисунок 2

Так как для каждой точки существует одна-единственная точка-антипод (диаметрально противоположная точка), а для любой фигуры существует ее дубликат из точек-антиподов, мы можем, ничем не жертвуя, но многое приобретая, абстрактно отождествить обе точки такой пары, объединив их в одну. Таким образом можно изменить смысл термина «точка», условившись впредь называть «одной точкой» пару диаметрально противоположных точек. Иначе говоря, точки так называемой «эллиптической» плоскости представлены на единичной сфере парами точек-антиподов или диаметрами, соединяющими точки-антиподы. Вся эллиптическая прямая замкнута, как окружность, но, поскольку каждая из ее точек представлена двумя точками-антиподами на единичной сфере, полная длина эллиптической прямой равна половине длины окружности большого круга, т.е. ее полная длина равна.

Карл Гаусс первым подошел к проблеме с современной точки зрения, согласно которой геометрию, отрицающую пятый постулат, надлежит развивать ради нее самой, не ожидая, что при этом возникнет какое-то противоречие. Письма Гаусса к друзьям говорят о том, что к 1816 он преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия и развил «антиевклидову» геометрию, удовлетворяющую гипотезе Саккери об остром угле. В этом же направлении работали и два других выдающихся ученых того времени – Янош Бойяи и Н.И.Лобачевский. В 1833 году Бойяи опубликовал свои исследования как приложение (по-латыни «»Appendix») к курсу математики, написанному его отцом Фаркашем Бойяи. В «Аппендиксе» Янош Бойяи в чрезвычайно сжатой форме изложил основы неэвклидовой геометрии. Его отец послал экземпляр «Аппендикса» Карлу Гауссу. В ответном письме Гаусс писал, что не может хвалить работу Яноша, так как это значило бы хвалить самого себя, потому что результаты этой работы почти сплошь совпадали с теми результатами, которые были давно получены им самим. Ответ Гаусса произвел на Яноша Бойяи столь тягостное впечатление, что он даже не поверил ему. Он не знал в это время, что приоритет открытия новой геометрии уже принадлежал русскому математику Лобачевскому. Именно поэтому по сегодняшний день эту геометрию называют геометрией Лобачевского.

Один из подходов к построению гиперболической геометрии исходит из некоторых фундаментальных аксиом порядка, справедливых и в евклидовой, но не в эллиптической геометрии. Если считать «точки» исходными понятиями, то запись [ABC ] означает, что точка B лежит «между» точками A и C (это первичное отношение мы принимаем, не пытаясь его определить). Первые четыре аксиомы порядка утверждают, что 1) существует по крайней мере две точки; 2) если A и B – две различные точки, то существует по крайней мере одна точка C , для которой [ABC ]; 3) эта точка C отлична от точки A и 4) порядок влечет за собой , но не . «Отрезок» AB , по определению, состоит из точек P , для которых , а «луч» A/B («исходящий из A в другую сторону, чем B ») – из точек Q , для которых [QAB ]. «Прямая» AB состоит из отрезка AB , точек A , B и двух лучей A/B , B/A . Пятая аксиома утверждает, что если C и D – различные точки на прямой AB , то A лежит на прямой CD (из этой же аксиомы следует, что прямые AB и CD совпадают). Шестая аксиома дает нам точку вне данной прямой, а седьмая, сформулированная М.Пашем (1843–1931), позволяет определить плоскость как множество всех точек, коллинеарных с парами точек на одной или двух сторонах данного треугольника.

Большая часть вклада Бойяи связана с теми разделами гиперболической геометрии, которые принадлежат и евклидовой геометрии. Его «абсолютная геометрия» может быть выведена из геометрии порядка, если к последней добавить еще одно фундаментальное отношение, а именно «конгруэнтность». Это отношение определяется пятью аксиомами типа «Если ABC и A B C  – два треугольника, таких, что BC  B C , CA  C A , AB  A B , а D и D  – еще две точки, такие, что [BCD ] и [B C D ] и BD  B D , то AD  A D ». Эти аксиомы служат основой теории длины и позволяют распространить отношение конгруэнтности с пар точек на углы. Определив обычным образом окружность, можно рассматривать первые четыре постулата Евклида как теоремы и доказать его первые двадцать восемь предложений, заменив слово «параллельные» на «не пересекающиеся». Однако необходимо тщательно избегать любого обращения к обычному представлению о сумме углов треугольника; например, нельзя более утверждать, что углы, опирающиеся на один и тот же сегмент окружности, равны, так как доказательство этого предложения зависело бы от суммы углов треугольника. С другой стороны, можно доказать, что три высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, построить теорию правильных многоугольников и правильных многогранников (с небольшими оговорками). Уточнив понятие параллельности (определив как параллельные лучи, которые просто не пересекаются), можно показать, что параллельность – отношение симметричное и транзитивное (т.е. если прямая r параллельна прямой s , то s параллельна r ; если r параллельна s , а s параллельна t , то r параллельна t ).