Теорема, обратная теореме Виета. Особые случаи решения квадратных уравнений

Между корнями и коэффициентами квадратного уравнения , помимо формул корней, существуют другие полезные соотношения, которые задаются теоремой Виета . В этой статье мы дадим формулировку и доказательство теоремы Виета для квадратного уравнения. Дальше рассмотрим теорему, обратную теореме Виета. После этого разберем решения наиболее характерных примеров. Наконец, запишем формулы Виета, задающие связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.

Навигация по странице.

Теорема Виета, формулировка, доказательство

Из формул корней квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 вида , где D=b 2 −4·a·c , вытекают соотношения x 1 +x 2 =−b/a , x 1 ·x 2 =c/a . Эти результаты утверждаются теоремой Виета :

Теорема.

Если x 1 и x 2 – корни квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 , то сумма корней равна отношению коэффициентов b и a , взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов c и a , то есть, .

Доказательство.

Доказательство теоремы Виета проведем по следующей схеме: составим сумму и произведение корней квадратного уравнения, используя известные формулы корней, после этого преобразуем полученные выражения, и убедимся, что они равны −b/a и c/a соответственно.

Начнем с суммы корней, составляем ее . Теперь приводим дроби к общему знаменателю, имеем . В числителе полученной дроби , после чего : . Наконец, после на 2 , получаем . Этим доказано первое соотношение теоремы Виета для суммы корней квадратного уравнения. Переходим ко второму.

Составляем произведение корней квадратного уравнения: . Согласно правилу умножения дробей, последнее произведение можно записать как . Теперь выполняем умножение скобки на скобку в числителе, но быстрее свернуть это произведение по формуле разности квадратов , так . Дальше, вспомнив , выполняем следующий переход . А так как дискриминанту квадратного уравнения отвечает формула D=b 2 −4·a·c , то в последнюю дробь вместо D можно подставить b 2 −4·a·c , получаем . После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых приходим к дроби , а ее сокращение на 4·a дает . Этим доказано второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

Если опустить пояснения, то доказательство теоремы Виета примет лаконичный вид:
,
.

Остается лишь заметить, что при равном нулю дискриминанте квадратное уравнение имеет один корень. Однако, если считать, что уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня, то равенства из теоремы Виета также имеют место. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен , тогда и , а так как D=0 , то есть, b 2 −4·a·c=0 , откуда b 2 =4·a·c , то .

На практике наиболее часто теорема Виета используется применительно к приведенному квадратному уравнению (со старшим коэффициентом a , равным 1 ) вида x 2 +p·x+q=0 . Иногда ее и формулируют для квадратных уравнений именно такого вида, что не ограничивает общности, так как любое квадратное уравнение можно заменить равносильным уравнением , выполнив деление его обеих частей на отличное от нуля число a . Приведем соответствующую формулировку теоремы Виета:

Теорема.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 равна коэффициенту при x , взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену, то есть, x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q .

Теорема, обратная теореме Виета

Вторая формулировка теоремы Виета, приведенная в предыдущем пункте, указывает, что если x 1 и x 2 корни приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 , то справедливы соотношения x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q . С другой стороны, из записанных соотношений x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q следует, что x 1 и x 2 являются корнями квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 . Иными словами, справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируем его в виде теоремы, и докажем ее.

Теорема.

Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 +x 2 =−p и x 1 ·x 2 =q , то x 1 и x 2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 .

Доказательство.

После замены в уравнении x 2 +p·x+q=0 коэффициентов p и q их выражения через x 1 и x 2 , оно преобразуется в равносильное уравнение .

Подставим в полученное уравнение вместо x число x 1 , имеем равенство x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 =0 , которое при любых x 1 и x 2 представляет собой верное числовое равенство 0=0 , так как x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0 . Следовательно, x 1 – корень уравнения x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 , а значит, x 1 – корень и равносильного ему уравнения x 2 +p·x+q=0 .

Если же в уравнение x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 подставить вместо x число x 2 , то получим равенство x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 =0 . Это верное равенство, так как x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0 . Следовательно, x 2 тоже является корнем уравнения x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 , а значит, и уравнения x 2 +p·x+q=0 .

На этом завершено доказательство теоремы, обратной теореме Виета.

Примеры использования теоремы Виета

Пришло время поговорить о практическом применении теоремы Виета и обратной ей теоремы. В этом пункте мы разберем решения нескольких наиболее характерных примеров.

Начнем с применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее удобно применять для проверки, являются ли данные два числа корнями заданного квадратного уравнения. При этом вычисляется их сумма и разность, после чего проверяется справедливость соотношений . Если выполняются оба этих соотношения, то в силу теоремы, обратной теореме Виета, делается вывод, что данные числа являются корнями уравнения. Если же хотя бы одно из соотношений не выполняется, то данные числа не являются корнями квадратного уравнения. Такой подход можно использовать при решении квадратных уравнений для проверки найденных корней.

Пример.

Какая из пар чисел 1) x 1 =−5 , x 2 =3 , или 2) , или 3) является парой корней квадратного уравнения 4·x 2 −16·x+9=0 ?

Решение.

Коэффициентами заданного квадратного уравнения 4·x 2 −16·x+9=0 являются a=4 , b=−16 , c=9 . Согласно теореме Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна −b/a , то есть, 16/4=4 , а произведение корней должно быть равно c/a , то есть, 9/4 .

Теперь вычислим сумму и произведение чисел в каждой из трех заданных пар, и сравним их с только что полученными значениями.

В первом случае имеем x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Полученное значение отлично от 4 , поэтому дальнейшую проверку можно не осуществлять, а по теореме, обратной теореме Виета, сразу сделать вывод, что первая пара чисел не является парой корней заданного квадратного уравнения.

Переходим ко второму случаю. Здесь , то есть, первое условие выполнено. Проверяем второе условие: , полученное значение отлично от 9/4 . Следовательно, и вторая пара чисел не является парой корней квадратного уравнения.

Остался последний случай. Здесь и . Оба условия выполнены, поэтому эти числа x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения.

Ответ:

Теорему, обратную теореме Виета, на практике можно использовать для подбора корней квадратного уравнения. Обычно подбирают целые корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, так как в других случаях это сделать достаточно сложно. При этом пользуются тем фактом, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения. Разберемся с этим на примере.

Возьмем квадратное уравнение x 2 −5·x+6=0 . Чтобы числа x 1 и x 2 были корнями этого уравнения, должны выполняться два равенства x 1 +x 2 =5 и x 1 ·x 2 =6 . Остается подобрать такие числа. В данном случае это сделать достаточно просто: такими числами являются 2 и 3 , так как 2+3=5 и 2·3=6 . Таким образом, 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.

Теорему, обратную теореме Виета, особенно удобно применять для нахождения второго корня приведенного квадратного уравнения, когда уже известен или очевиден один из корней. В этом случае второй корень находится из любого из соотношений .

Для примера возьмем квадратное уравнение 512·x 2 −509·x−3=0 . Здесь легко заметить, что единица является корнем уравнения, так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Итак, x 1 =1 . Второй корень x 2 можно найти, например, из соотношения x 1 ·x 2 =c/a . Имеем 1·x 2 =−3/512 , откуда x 2 =−3/512 . Так мы определили оба корня квадратного уравнения: 1 и −3/512 .

Понятно, что подбор корней целесообразен лишь в самых простых случаях. В остальных случаях для поиска корней можно применить формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.

Еще одно практическое применение теоремы, обратной теореме Виета, состоит в составлении квадратных уравнений по заданным корням x 1 и x 2 . Для этого достаточно вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.

Пример.

Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа −11 и 23 .

Решение.

Обозначим x 1 =−11 и x 2 =23 . Вычисляем сумму и произведение данных чисел: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253 . Следовательно, указанные числа являются корнями приведенного квадратного уравнения со вторым коэффициентом −12 и свободным членом −253 . То есть, x 2 −12·x−253=0 – искомое уравнение.

Ответ:

x 2 −12·x−253=0 .

Теорема Виета очень часто используется при решении заданий, связанных со знаками корней квадратных уравнений. Как же связана теорема Виета со знаками корней приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 ? Приведем два соответствующих утверждения:

Если свободный член q – положительное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то либо они оба положительные, либо оба отрицательные.
Если же свободный член q – отрицательное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то их знаки различны, другими словами, один корень положительный, а другой - отрицательный.

Эти утверждения вытекают из формулы x 1 ·x 2 =q , а также правил умножения положительных, отрицательных чисел и чисел с разными знаками. Рассмотрим примеры их применения.

Пример.

R он положителен. По формуле дискриминанта находим D=(r+2) 2 −4·1·(r−1)= r 2 +4·r+4−4·r+4=r 2 +8 , значение выражения r 2 +8 положительно при любых действительных r , таким образом, D>0 при любых действительных r . Следовательно, исходное квадратное уравнение имеет два корня при любых действительных значениях параметра r .

Теперь выясним, когда корни имеют разные знаки. Если знаки корней различны, то их произведение отрицательно, а по теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Следовательно, нас интересуют те значения r , при которых свободный член r−1 отрицателен. Таким образом, чтобы найти интересующие нас значения r , надо решить линейное неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .

Ответ:

при r<1 .

Формулы Виета

Выше мы говорили о теореме Виета для квадратного уравнения и разбирали утверждаемые ей соотношения. Но существуют формулы, связывающие действительные корни и коэффициенты не только квадратных уравнений, но и кубических уравнений, уравнений четверной степени, и вообще, алгебраических уравнений степени n . Их называют формулами Виета .

Запишем формулы Виета для алгебраического уравнения степени n вида , при этом будем считать, что оно имеет n действительных корней x 1 , x 2 , …, x n (среди них могут быть совпадающие):

Получить формулы Виета позволяет теорема о разложении многочлена на линейные множители , а также определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов. Так многочлен и его разложение на линейные множители вида равны. Раскрыв скобки в последнем произведении и приравняв соответствующие коэффициенты, получим формулы Виета.

В частности при n=2 имеем уже знакомые нам формулы Виета для квадратного уравнения .

Для кубического уравнения формулы Виета имеют вид

Остается лишь заметить, что в левой части формул Виета находятся так называемые элементарные симметрические многочлены .

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Сегодня достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножил ты корни – и дробь уж готова
В числителе с , в знаменателе а.
И сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта
Что за беда
В числители в , в знаменателе а .
(Из школьного фольклора)

В эпиграфе замечательная теорема Франсуа Виета приведена не совсем точно. В самом деле, мы можем записать квадратное уравнение, которое не имеет корней и записать их сумму и произведение. Например, уравнение х 2 + 2х + 12 = 0 не имеет действительных корней. Но, подойдя формально, мы можем записать их произведение (х 1 · х 2 = 12) и сумму (х 1 + х 2 = -2). Наши стихи будут соответствовать теореме с оговоркой: «если уравнение имеет корни», т.е. D ≥ 0.

Первое практическое применение этой теоремы – составление квадратного уравнения, имеющего заданные корни. Второе: она позволяет устно решать многие квадратные уравнения. На отработку этих навыков, прежде всего и обращается внимание в школьных учебниках.

Мы же здесь будем рассматривать более сложные задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.

Пример 1.

Один из корней уравнения 5х 2 – 12х + с = 0 в три раза больше за второй. Найдите с.

Решение.

Пусть второй корень равен х 2 .

Тогда первый корень х1 = 3х 2 .

Согласно теореме Виета сумма корней равна 12/5 = 2,4.

Составим уравнение 3х 2 + х 2 = 2,4.

Отсюда х 2 = 0,6. Следовательно х 1 = 1,8.

Ответ: с = (х 1 · х 2) · а = 0,6 · 1,8 · 5 = 5,4.

Пример 2.

Известно, что х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 – 8х + p = 0, причём 3х 1 + 4х 2 = 29. Найдите p.

Решение.

Согласно теореме Виета х 1 + х 2 = 8, а по условию 3х 1 + 4х 2 = 29.

Решив систему из этих двух уравнений найдём значение х 1 = 3, х 2 = 5.

А следовательно p = 15.

Ответ: p = 15.

Пример 3.

Не вычисляя корней уравнения 3х 2 + 8 х – 1 = 0, найдите х 1 4 + х 2 4

Решение.

Заметим, что по теореме Виета х 1 + х 2 = -8/3 и х 1 · х 2 = -1/3 и преобразуем выражение

а) х 1 4 + х 2 4 = (х 1 2 + х 2 2) 2 – 2х 1 2 х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) 2 – 2(х 1 х 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Ответ: 4898/9.

Пример 4.

При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
2х 2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.

Решение.

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами (а + 1) 2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3) 2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х 1 >х 2 и получим х 1 + х 2 = (а + 1)/2 и х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х 1 – х 2 = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно. Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х 1 = а/2, х 2 = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 5.

Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней уравнения
х 2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение.

Прежде всего, приведем уравнение к каноническому виду: х 2 – 2ах + 2а – 1 = 0. Оно будет иметь корни, если D/4 ≥ 0. Следовательно: а 2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1) 2 ≥ 0. А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х 1 + х 2 = 2а, х 1 · х 2 = 2а – 1. Посчитаем

х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 . Или после подстановки х 1 2 + х 2 2 = (2а) 2 – 2 · (2а – 1) = 4а 2 – 4а + 2. Осталось составить равенство которое соответствует условию задачи: х 1 + х 2 = х 1 2 + х 2 2 . Получим: 2а = 4а 2 – 4а + 2. Это квадратное уравнение имеет 2 корня: а 1 = 1 и а 2 = 1/2. Наименьший из них –1/2.

Ответ: 1/2.

Пример 6.

Найти зависимость между коэффициентами уравнения ах 2 + вх + с = 0 если сумма кубов его корней равна произведению квадратов этих корней.

Решение.

Будем исходить из того, что данное уравнение имеет корни и, поэтому, к нему можно применить теорему Виета.

Тогда условие задачи запишется так: х 1 3 + х 2 3 = х 1 2 · х 2 2 . Или: (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2) = (х 1 х 2) 2 .

Необходимо преобразовать второй множитель. х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) – х 1 х 2 .

Получим (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2) = (х 1 х 2) 2 . Осталось заменить суммы и произведения корней через коэффициенты.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 · c/a) = (c/a) 2 . Это выражение легко преобразуется к виду b(3ac – b 2)/a = c 2 . Соотношение найдено.

Замечание. Следует учесть, что полученное соотношение имеет смысл рассматривать лишь после того, как выполнится другое: D ≥ 0.

Пример 7.

Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов корней уравнения х 2 + 2ах + 3а 2 – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.

Решение.

Если у этого уравнения есть корни х 1 и х 2 , то их сумма х 1 + х 2 = -2а, а произведение х 1 · х 2 = 3а 2 – 6а – 2.

Вычисляем х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 = (-2а) 2 – 2(3а 2 – 6а – 2) = -2а 2 + 12а + 4 = -2(а – 3) 2 + 22.

Теперь очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при а = 3.

Остается проверить, в самом ли деле у исходного квадратного уравнения существуют корни при а = 3. Проверяем подстановкой и получаем: х 2 + 6х + 7 = 0 и для него D = 36 – 28 > 0.

Следовательно, ответ: при а = 3.

Пример 8.

Уравнение 2х 2 – 7х – 3 = 0 имеет корни х 1 и х 2 . Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х 1 = 1/х 1 и Х 2 = 1/х 2 . (*)

Решение.

Очевидно, что х 1 + х 2 = 7/2 и х 1 · х 2 = -3/2. Составим второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0. Для этого используем утверждение, обратное теореме Виета. Получим: р = -(Х 1 + Х 2) и q = Х 1 · Х 2 .

Выполнив подстановку в эти формулы, исходя из (*), тогда: р = -(х 1 + х 2)/(х 1 · х 2) = 7/3 и q = 1/(х 1 · х 2) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х 2 + 7/3 · х – 2/3 = 0. Теперь легко посчитаем утроенную сумму его коэффициентов:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Ответ получен.

Остались вопросы? Не знаете, как использовать теорему Виета?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Франсуа Виет родился в 1540 г. во Франции в Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571 по 1584 г. был советником королей Георга III и Георга IV. Но все свое свободное время, весь свой досуг он отдавал занятиям математикой, а также астрономией. Особенно усиленно он начал работать в области математики с 1584 г. после отстранения от должности при королевском дворе. Виет детально изучил труды как древних, так и современных ему математиков.

Франсуа Виет по существу создал новую алгебру. Он ввел в нее буквенную символику. Основные его идеи изложены в труде «Введение в аналитическое искусство». Он писал: «Все математики знали, что под их алгеброй и альмукабалой были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти: задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются с помощью нашего искусства».

Действительно, все мы знаем, как легко решать, например, квадратные уравнения. Для их решения имеются готовые формулы. До Ф. Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение в современном виде не могли записать. Для этого тоже требовалось довольно длинное и сложное словесное описание. На овладение приемами решений уравнений требовались годы. Общих правил, подобных современным, а тем более формул решения уравнений не было. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. Рассматривались выражения только с конкретными числовыми коэффициентами.

Виет ввел в алгебру буквенную символику. После нововведения Виета стало возможным записывать правила в виде формул. Правда, у Виета показатели степеней ещё обозначались словами, и это создавало определенные трудности в решении некоторых задач. Во времена Виета был ещё ограничен запас чисел. Франсуа Виет очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с первой по четвертую степень.

Большой заслугой Виета было открытие зависимости между корнями и коэффициентами уравнений приведенного вида произвольной натуральной степени. Нам хорошо известна знаменитая теорема Виета для приведенного квадратного уравнения: «сумма корней квадратного уравнения приведенного вида равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней этого уравнения равно свободному члену». Эта теорема позволяет устно проверять правильность решения квадратных уравнений, а в простейших случаях находить и корни уравнений.

Отметим также, что Виет дал первое в Европе аналитическое (с помощью формулы) представление числа π.

Умер Виет в возрасте 63 лет в 1603 г.

Теорема Виета.

Сумма корней квадратного трехчлена x2 + px + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q.

Доказательство.

Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Для доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Вычтем эти равенства друг из друга. Получим x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0

Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Так как по условию корни x1 и x2 различны, то x1 – x2 ≠ 0 и мы можем разделить равенство на x1 – x2. Получим первое равенство теоремы: x1 + x2 = –p

Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p, равное ему число – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Преобразуя левую часть, получаем: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, что и требовалось доказать.

В случае неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

Теорема, обратная теореме Виета.

Если выполняются равенства x1+x2 = и x1x2 = , то числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

Доказательство.

Из равенства x1+x2 = и x1x2 = следует, что x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.

Но x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) и поэтому x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Отсюда следует, что x1 и x2 – корни уравнения x2 + x + = 0, а поэтому и уравнения ax2 + bx + c = 0.

Применение теоремы Виета.

Теорема Виета применяется в 8-м классе для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений в 9-11-х классах и решения задач, связанных с исследованием квадратных уравнений и их корней. Это сокращает время и упрощает решение системы.

Решить систему уравнений:

Если допустить, что x и y-корни некоторого квадратного уравнения, сумма корней которого равна 5, а их произведение равно 6, то получим совокупность двух систем

Ответ: (2;3), (3;2).

Учащиеся довольно быстро осваивают этот способ решения и с удовольствием используют его. Далее можно усложнять системы и использовать этот прием при изучении различных тем в 10-11-х классах.

Решить систему уравнений:

При условии x > 0 y > 0 получаем

Пусть и - корни некоторого приведенного квадратного уравнения, тогда данная система равносильна совокупности двух систем

Вторая система совокупности не имеет решения, решением первой является пара x=9,y=4.

Ответ: (9;4).

Ниже приведены системы уравнений, решаемые с помощью теоремы Виета.

Ответ: (65;3),(5;63).

Ответ: (23;11),(7;27).

Ответ: (4;729),(81;4096).

Ответ: (2;2).

5. x + y =12 Ответ: (8;4),(4;8).

Ответ: (9;4),(4;9).

Аналогичные системы уравнений можно составить самому учителю или подключить к этому учащихся, что способствует развитию интереса к предмету.

Задания для устного решения.

Не решая квадратные уравнения, найдите их корни.

1. x2 - 6x + 8 = 0 Ответ: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Ответ: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 Ответ: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Ответ: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Ответ: 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Ответ: -2,5;-1.

Рассмотрим задачи, при решении которых используется теорема Виета.

Не решая уравнения 9x²+18x-8=0,найдите x1³+x2³,где x1,x2-его корни.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1)Дискриминант больше нуля, D>0,значит x1,x2-действительные корни.

По теореме Виета, следует, что: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3)Преобразуем выражение x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

В полученную формулу подставим известные нам значения и получим ответ:

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

При каком значении k в уравнении 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

По теореме Виета: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1),получили систему из двух уравнений и подставили вместо x2 2x1.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

Сопоставим полученные уравнения:

Решим квадратное уравнение и найдем k:

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Ответ: при k1=-1 и k2=2.

Пусть x1;x2 –корни квадратного уравнения x²+13x-17=0. Составьте уравнение корнями бы которого являлись бы числа 2-x1 и 2-x2.

Рассмотрим уравнение x²+13x-17=0.

1)Дискриминант D>0,значит x1;x2 –действительные корни.

По теореме Виета: x1 +x2 = -13 x1 ·x2 = -17

3)Подставим числа 2-x2 и 2-x2 в данную систему.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2·17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Следовательно, применяя теорему Виета, искомое уравнение x²-17x+13=0.

Ответ: x²-17x+13=0.

Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x2>x1,x1>0,x2

Т. к. x2 x1,следует, что b>0,с

Ответ: b>0,с

6)Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x1 0,x2>0.

По теореме Виета: x1+x2=-b x1∙x2=c

Т. к. x1>0,x2>0,а x2>x1,следует, что b 0.

Задания для самостоятельного решения.

1)Не решая уравнения 2x²-3x-11=0,найдите +,где x1 ;x2 –его корни.

2)Найдите значение выражения +, где x1;x2 –корни трехчлена x²-18x+11=0.

3)Пусть x1;x2 –корни квадратного уравнения x²-7x-46=0.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являлись бы числа

2x1 +x2 и 2x2 +x1.

Ответ: 9x2-21x-481=0

4)При каком целом значении k один из корней уравнения

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 втрое меньше второго?

Ответ: k=2.

5) Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x1 0.

Муниципальное казенное образовательное учреждение

«Очкуровская средняя общеобразовательная школа»

Николаевского муниципального района Волгоградской области

Теорема Виета

Выполнила: Оноприенко Кристина,

обучающаяся 8 класса

МКОУ «Очкуровская СОШ»

Николаевского района

Руководитель: Е.А.Бульба

с. Очкуровка

2015

Оглавление

Введение……………………………………………………………………… ……3

Основная часть

1.Историческая справка……………………………………………………….4

2.Докозательство теоремы Виета……………………………………………..6

3.Состаление блока уравнений решаемых по теореме Виета……………….8

4.Составлеие тренажера………………………………………………………10

Заключение

Практическая значимость проекта…………………………………… ... 12

Выводы…………………………………………………………………….13

Список источников информации…………………….………………………...14

Приложение ……………………………………………………………………..15

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни - дробь уж готова!
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби ровна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b , в знаменателе а.

Введение

Актуальность темы проекта: Применение теоремы Виета является уникальным приемом для решения квадратных уравнений устно. В учебнике очень мало квадратных уравнений, решаемых по теореме Виета. Я и мои одноклассники допускаем ошибки.

Объектом исследования является теорема Виета, как неотъемлемая часть решения квадратных уравнений на уроках алгебры.

Предмет исследования – теорема Виета и составление блока уравнений для закрепления навыка решения квадратных уравнений.

Гипотеза: я предположила, что научиться безошибочно решать уравнения по теореме Виета можно, для этого нужен применяя тренажер.

Цель проекта : составить тренажер уравнений, решаемых по теореме Виета.

Задачи:

уравнения и произведения и суммы его корней.

Методы :

сравнение результатов самостоятельной работы до проекта и после тренировки решение квадратных уравнений применяя теорему Виета

изучение и анализ электронных источников и литературы

самостоятельная работа по составлению блока уравнений и тренажера

1.Исторические сведения

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт.

Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом "Введение в аналитическое искусство". Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему "видов". В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: "Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D".

В трактате "Дополнения к геометрии" он стремился создать некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: "...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже. Ему было более шестидесяти лет".

2 .Доказательство теоремы Виета

3.Составление блока уравнений и электронного тренажера

х 2 + 17х - 38 = 0,

х 2 - 16х + 4 = 0,

3х 2 + 8х - 15 = 0,

7х 2 + 23х + 5 = 0,

х 2 + 2х - 3 = 0,

х 2 + 12х + 32 = 0,

х 2 - 7х + 10 = 0,

х 2 - 2х - 3= 0,

х 2 + 12х + 32 = 0,

2х 2 - 11х + 15 = 0,

3х 2 + 3х - 18 = 0,

2х 2 - 7х + 3 = 0,

х 2 + 17х - 18 = 0,

х 2 - 17х - 18 = 0,

х 2 - 11х + 18 = 0,

х 2 + 7х - 38 = 0,

х 2 - 9х + 18 = 0,

х 2 - 13х + 36 = 0,

х 2 - 15х + 36 = 0,

х 2 - 5х - 36 = 0.

х 2 + х – 2 = 0

х 2 + 2х – 3 =0

х 2 - 3х + 2 =0

х 2 - х – 2 = 0

х 2 - 2х – 3 = 0

х 2 - 3х – 4 = 0

x 2 +17 x -18=0

x 2 + 23 x – 24=0

x 2 – 39x -40 =0

x 2 – 37x – 38=0

x 2 – 3x – 10 = 0

x 2 – 5x + 3 = 0

x 2 + 8 x – 11 = 0

x 2 + 6х + 5 = 0

x 2 – x – 12 = 0

x 2 + 5 x + 6 = 0

x 2 + 3 x – 10 = 0

x 2 – 8 x – 9 = 0

х 2 + х – 56 = 0

х 2 – 19х + 88 = 0

х 2 – 4х – 4 = 0

x 2 -15х+14=0

x 2 +8х+7=0

x 2 +9х+20=0

x 2 +18х -11 = 0

x 2 +27х – 24 = 0

5х 2 +10х – 3 = 0

3х 2 - 16х +9 = 0

x 2 +18х -11 = 0

x 2 +27х – 24 = 0

4х-21=0

x 2 -15х+56=0

x 2 -4х-60=0

x 2 +5х+6=0

2х-3=0

x 2 +18х+81=0

Х-20=0

x 2 +4х+21 =0

x 2 -10х-24=0

x 2 + х-56=0

x 2 -х-56=0

x 2 +3х+2=0

x 2 +5х-6=0

x 2 -18х+81=0

x 2 -9х+20=0

x 2 -5 х +6=0

x 2 -4х-21=0

X 2 - 7х+6=0

x 2 -15х+56=0

х 2 – 3х + 2 = 0

х 2 – 4х + 3 = 0

х 2 – 2х + 4 = 0

х 2 – 2х + 5 = 0

х 2 – 2х + 6 = 0

х 2 – 11х + 24 = 0

х 2 + 11х – 30 = 0

х 2 + х – 12 = 0

x 2 – 6х + 8 = 0

х 2 – 15х + 14 = 0

x 2 – 15x + 14 = 0

x 2 + 4 х -21 =0

х 2 + х – 42 =0

х 2 – х – 20 =0

х 2 + 4 х -32=0

х 2 - 2х – 35 =0

х 2 + х - 20 =0

х 2 + 7 х + 10 =0

х 2 - х - 6=0

х 2 + 2 х +0 =0

х 2 + 6 х +0 =0

х 2 + 3х - 18=0

х 2 + 5 х -24=0

х 2 - 2 х - 24=0

х 2 – 15х + 14 = 0

х 2 + 8х + 7 =0

х 2 + 9х – 20=0

х 2 – 6х - 7 = 0

х 2

4. Практическая значимость проекта

Применение, а уроках алгебры 8 класса и при итоговом повторении ОГЭ

Выводы:

Результат моего труда – создан блок квадратных уравнений решаемых по теореме Виета.

Я увлеклась работой, проще всего было составить квадратные уравнения, в которых свободный член находится по таблице умножения. Теперь я не только безошибочно нахожу корни уравнения по теореме Виета, но и применяю ее при проверке решения любого квадратного уравнения.

Используя тренажер, я и мои одноклассники научилась решать квадратные уравнения, применяя теорему Виета.

Список источников информации:

Список литературы
1. Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Г.В.Дорофеев , С.Б.Суворова
  Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. В.И.Жохов, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. М.: Просвещение, 2000.
  Математика. 8 класс: дидактические материалы к учебнику «Математика 8. Алгебра» / под ред. Г. В. Дорофеева. – М. : Дрофа, 2012г.\
  Государственная итоговая аттестация. 9 класс. Математика. Тематические тестовые задания./Л.Д. Лаппо, М.А. Попов/-М.: Издательство « Экзамен », 2011
  
  Планируемый результат
  
  1.Информационный
  
  Сбор информации, ее анализ
  
  Изучение литературы
  
  Материал для теоретической части проекта
  
  2.Организационный
  
  Анализ, обобщение
  
  Разработка блока уравнений
  
  Материал для работы
  
  3. Технологический этап
  
  Подбор уравнений
  
  Составление тренажера
  
  Тренажер
  
  4. Заключительный
  
  Обобщение опыта
  
  Выводы о проделанной работе, оформление проекта
  
  Проект. Оформление коллекции. Мастер-класс. Участие в конкурсе.

«Как решать неполные квадратные уравнения» - Навыки решения. Кострома. Ярославль. Ладыженская Ольга Александровна. Стеклов Владимир Андреевич. Решим уравнение. Равенство. Устная работа. Казань. Объект движения. Криптографическая таблица. Нижний Новгород. Ляпунов Александр Михайлович. Решение неполных квадратных уравнений. Скорость. Автобус. Задачи на движение.

«Математика «Квадратные уравнения»» - е) При каком значении а уравнение имеет один корень? Решение квадратных уравнений. Устно решите квадратное уравнение. Решите уравнение с буквенными коэффициентами. Старайся дать уму как можно больше пищи. Цель: научиться видеть рациональный способ решения квадратных уравнений. М.В. Ломоносов. Выполнение упражнений.

«Франсуа Виет и его теорема» - Два многочлена тождественно равны. Математическое учение. Математические открытия. Формулы Виета. Франсуа Виет. Преподаватели. Выяснить из различных источников кто такой Франсуа Виет. Дискриминант. Теорему Виета можно обобщить на многочлены любой степени. Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений.

«Нахождение корней квадратного уравнения» - Уравнение корней не имеет. Неполные квадратные уравнения. Свойства коэффициентов уравнения. Решение уравнений по формуле. Решение неполных квадратных уравнений. Определение количества корней квадратного уравнения. Нахождение корней неполных квадратных уравнений. Нахождение дискриминанта. Способы решения квадратных уравнений.

«Решение уравнений с квадратным корнем» - Приложение. Рисунок. Решение уравнения способом «переброски». Графическое решение квадратных уравнений. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Разложение на множители. Метод выделения полного квадрата. Уравнение. Коэффициент. Сумма коэффициентов. Способы решения квадратных уравнений. Свободный член.

«Решение неполных квадратных уравнений» - Решение поставленной задачи. Накопление фактов. Распределите данные уравнения на 4 группы. Взаимопроверка. Первичное осмысление и применение изученного материала. Тема урока. Считай несчастным тот день или час, в который ты не усвоил ничего. Решение неполных квадратных уравнений. Вопрос. Постановка учебной задачи.

Всего в теме 34 презентации