Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения операций над матрицами сделаны такими,

чтобы было удобно записывать системы линейных уравнений. Обычно матрицу обозначают Заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также

выделение квадратными скобками «[…]», двойными прямыми линиями «||…||») А числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но маленькой. у каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (a ij ) - первый «i» обозначает

номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» - номер столбца.

Операции над матрицами

Умножение матрицы A на число

B , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицыA на это число, то есть каждый элемент матрицыB равен

b ij= λ a ij

Сложение матриц A

элемент матрица C равен

c ij= a ij+ b ij

Вычитание матриц A

c ij= a ij- b ij

A + Θ =A

Умножение матриц (обозначение:AB , реже со знаком умножения) - есть операция вычисления матрицыC , элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

c ij= ∑ a ikb kj

В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором . Если матрицаA имеет размерность,B -, то размерность их произведенияAB =C

есть . Умножение матриц не коммутативно. Это видно хотя бы из того, что если матрицы не квадратные, то можно умножать только одну на другую, но не наоборот. Для

квадратных матриц результат умножения зависит от порядка сомножителей.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Единичная матрица

Для квадратных матриц существует единичная матрица E такая, что умножение любой

матрицы на неё не влияет на результат, а именно

EA = AE= A

У единичной матрицы единицы стоят только по

диагонали, остальные элементы равны нулю

Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу .

Обратная матрица A - 1 такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица

AA − 1 = E

Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная существует, называются

невырожденными, а для которых нет - вырожденными. Матрица невырождена, если все ее строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк

(столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется нормированный кососимметрический линейный функционал на строках матрицы. Матрица

вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Свойства матриц

1. A + (B +C ) = (A +B ) +C

2. A + B= B+ A

3. A (BC ) = (AB )C

4. A (B+ C) = AB+ AC

5. (B+ C) A= BA+ CA

9. Симметричная матрица A положительно определена (A > 0), если значения у всех ее главных угловых миноровA k > 0

10. Симметричная матрица A отрицательно определена (A < 0), если матрица (−A )

положительно определена, то есть если для любого k главный минор k -го порядкаA k имеет знак (− 1)k

Системы линейных уравнений

Cистему из m уравнений сn неизвестными

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

am x1 +am x2 +…+am xn =bm

можно представить в матричном виде

и тогда всю систему можно записать так: AX =B

Операции над матрицами

Пусть a ij элементы матрицыA , аb ij - матрицыB .

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA ) заключается в построении матрицы

B , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицыA на это число, то есть каждый элемент матрицыB равенb ij = λa ij

Запишем матрицу А

Умножим первый элемент матрицы А на 2

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицыC , все элементы которой равны по парной сумме всех соответствующих элементов матрицA иB , то есть каждый

элемент матрица C равен

c ij= a ij+ b ij

А+В Запишем матрицы А и В

Выполним сложение первых элементов матриц

Растянем значения, сначала по горизонтали, а затем по вертикали (можно наоборот)

Вычитание матриц A − B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицыC , элементы которой

c ij= a ij- b ij

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + Θ =A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
4. Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

Некоторые свойства операций над матрицами.
Матричные выражения

А сейчас последует продолжение темы, в котором мы рассмотрим не только новый материал, но и отработаем действия с матрицами .

Некоторые свойства операций над матрицами

Существует достаточно много свойств, которые касаются действий с матрицами, в той же Википедии можно полюбоваться стройными шеренгами соответствующих правил. Однако на практике многие свойства в известном смысле «мертвЫ», поскольку в ходе решения реальных задач используются лишь некоторые из них. Моя цель – рассмотреть прикладное применение свойств на конкретных примерах, и если вам необходима строгая теория, пожалуйста, воспользуйтесь другим источником информации.

Рассмотрим некоторые исключения из правила , которые потребуются для выполнения практических задач.

Если у квадратной матрицы существует обратная матрица , то их умножение коммутативно:

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю. Например: , и т.д.

При этом справедливо следующее свойство : если произвольную матрицу умножить слева или справа на единичную матрицу подходящих размеров, то в результате получится исходная матрица:

Как видите, здесь также имеет место коммутативность матричного умножения.

Возьмём какую-нибудь матрицу, ну, скажем, матрицу из предыдущей задачи: .

Желающие могут провести проверку и убедиться, что:

Единичная матрица для матриц – это аналог числовой единицы для чисел, что особенно хорошо видно из только что рассмотренных примеров.

Коммутативность числового множителя относительно умножения матриц

Для матриц и действительного числа справедливо следующее свойство:

То есть числовой множитель можно (и нужно) вынести вперёд, чтобы он «не мешал» умножить матрицы.

Примечание : вообще говоря, формулировка свойства неполная – «лямбду» можно разместить в любом месте между матрицами, хоть в конце. Правило остаётся справедливым, если перемножаются три либо бОльшее количество матриц.

Пример 4

Вычислить произведение

Решение :

(1) Согласно свойству перемещаем числовой множитель вперёд. Сами матрицы переставлять нельзя!

(2) – (3) Выполняем матричное умножение.

(4) Здесь можно поделить каждое число 10, но тогда среди элементов матрицы появятся десятичные дроби, что не есть хорошо. Однако замечаем, что все числа матрицы делятся на 5, поэтому умножаем каждый элемент на .

Ответ :

Маленькая шарада для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить , если

Решение и ответ в конце урока.

Какой технический приём важен в ходе решения подобных примеров? С числом разбираемся в последнюю очередь .

Прицепим к локомотиву ещё один вагон:

Как умножить три матрицы?

Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)

Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:

1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;

2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .

Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения :

Пример 6

Перемножить матрицы двумя способами

Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.

1) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

2) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

Ответ :

Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ . Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.

Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:

Пример 7

Найти произведение трёх матриц

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.

Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.

Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос:

Как возвести матрицу в куб и более высокие степени?

Данные операции также определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу в куб, нужно вычислить произведение:

Фактически это частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: . А матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы:

Таким образом, получаем рабочую формулу:

То есть задание выполняется в два шага: сначала матрицу необходимо возвести в квадрат, а затем полученную матрицу умножить на матрицу .

Пример 8

Возвести матрицу в куб.

Это небольшая задачка для самостоятельного решения.

Возведение матрицы в четвёртую степень проводится закономерным образом:

Используя ассоциативность матричного умножения, выведем две рабочие формулы. Во-первых: – это произведение трёх матриц.

1) . Иными словами, сначала находим , затем домножаем его на «бэ» – получаем куб, и, наконец, выполняем умножение ещё раз – будет четвёртая степень.

2) Но существует решение на шаг короче: . То есть, на первом шаге находим квадрат и, минуя куб, выполняем умножение

Дополнительное задание к Примеру 8:

Возвести матрицу в четвёртую степень.

Как только что отмечалось, сделать это можно двумя способами:

1) Коль скоро известен куб, то выполняем умножение .

2) Однако, если по условию задачи требуется возвести матрицу только в четвёртую степень , то путь выгодно сократить – найти квадрат матрицы и воспользоваться формулой .

Оба варианта решения и ответ – в конце урока.

Аналогично матрица возводится в пятую и более высокие степени. Из практического опыта могу сказать, что иногда попадаются примеры на возведение в 4-ю степень, а вот уже пятой степени что-то не припомню. Но на всякий случай приведу оптимальный алгоритм:

1) находим ;
2) находим ;
3) возводим матрицу в пятую степень: .

Вот, пожалуй, и все основные свойства матричных операций, которые могут пригодиться в практических задачах.

Во втором разделе урока ожидается не менее пёстрая тусовка.

Матричные выражения

Повторим обычные школьные выражения с числами. Числовое выражение состоит из чисел, знаков математических действий и скобок, например: . При расчётах справедлив знакомый алгебраический приоритет: сначала учитываются скобки , затем выполняется возведение в степень / извлечение корней , потом умножение / деление и в последнюю очередь – сложение /вычитание .

Если числовое выражение имеет смысл, то результат его вычисления является числом , например:

Матричные выражения устроены практически так же! С тем отличием, что главными действующими лицами выступают матрицы. Плюс некоторые специфические матричные операции, такие, как транспонирование и нахождение обратной матрицы.

Рассмотрим матричное выражение , где – некоторые матрицы. В данном матричном выражении три слагаемых и операции сложения/вычитания выполняются в последнюю очередь.

В первом слагаемом сначала нужно транспонировать матрицу «бэ»: , потом выполнить умножение и внести «двойку» в полученную матрицу. Обратите внимание, что операция транспонирования имеет более высокий приоритет, чем умножение . Скобки, как и в числовых выражениях, меняют порядок действий: – тут сначала выполняется умножение , потом полученная матрица транспонируется и умножается на 2.

Во втором слагаемом в первую очередь выполняется матричное умножение , и обратная матрица находится уже от произведения. Если скобки убрать: , то сначала необходимо найти обратную матрицу , а затем перемножить матрицы: . Нахождение обратной матрицы также имеет приоритет перед умножением .

С третьим слагаемым всё очевидно: возводим матрицу в куб и вносим «пятёрку» в полученную матрицу.

Если матричное выражение имеет смысл, то результат его вычисления является матрицей .

Все задания будут из реальных контрольных работ, и мы начнём с самого простого:

Пример 9

Даны матрицы . Найти:

Решение :порядок действий очевиден, сначала выполняется умножение, затем сложение.

Сложение выполнить невозможно, поскольку матрицы разных размеров.

Не удивляйтесь, заведомо невозможные действия часто предлагаются в заданиях данного типа.

Пробуем вычислить второе выражение:

Тут всё нормально.

Ответ : действие выполнить невозможно, .

Обра́тная ма́трица - такая матрица A −1 , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E :

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы , похожие на обратные по многим свойствам.

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С - задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Линейные пространства

Определение линейного пространства

Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:

1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция);

2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).

Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

I.

III. (нулевой элемент, такой, что ).

IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что

V.

VIII. Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C ).

Подпространство линейного пространства

Множество называется подпространством линейного пространства V , если:

1)

Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из L линейно выражается через векторы системы.

Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов e 1 , ..., e n образует базис в L если любой вектор x из L может быть представлен в виде

x = С 1 ·e 1 +С 2 ·e 2 + ...+С n · e n .

Можно определить базис иначе.

Любая упорядоченная линейно независимая система e 1 , ..., e n векторов n- мерного линейного пространства L n образует базис этого пространства.

Поскольку n , размерность пространства L n - максимальное количество линейно независимых векторов пространства, то система векторов x ,e 1 , ..., e n линейно зависима и, следовательно, вектор x линейно выражается через векторы e 1 , ..., e n :

x = x 1 ·e 1 + x 2 ·e 2 + ...+ x n · e n .

Такое разложение вектора по базису единственно .

Теорема 1. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих системах векторов.) Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же векторного пространства.

Доказательство. Пусть произвольная линейно независимая система векторов, - произвольная порождающая система. Допустим, что .

Т.к. порождающая система, то она представляет любой вектор пространства, в том числе и вектор . Присоединим его к этой системе. Получаем линейно зависимую и порождающую систему векторов: . Тогда найдется вектор этой системы, который линейно выражается через предыдущие векторы этой системы и его, в силу леммы, можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов будет по-прежнему порождающей.

Перенумеруем оставшуюся систему векторов: . Т.к. эта система порождающая, то она представляет вектор и, присоединяя его к этой системе, опять получаем линейно зависимую и порождающую систему: .

Далее все повторяется. Найдется вектор в этой системе, который линейно выражается через предыдущие, причем это не может быть вектор , т.к. исходная система линейно независимая и вектор не выражается линейно через вектор . Значит, это может быть только один из векторов . Удаляя его из системы , получаем, после перенумерования, систему , которая будет порождающей системой. Продолжая этот процесс, через шагов получим порождающую систему векторов: , где , т.к. по нашему предположению . Значит, эта система, как порождающая, представляет и вектор , что противоречит условию линейной независимости системы .

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. (О количестве векторов в базисе.) В любом базисе векторного пространства содержится одно и тоже число векторов.

Доказательство. Пусть и – два произвольных базиса векторного пространства. Любой базис является линейно независимой и порождающей системой векторов.

Т.к. первая система линейно независимая, а вторая – порождающая, то, по теореме 1, .

Аналогично, вторая система линейно независимая, а первая – порождающая, то . Отсюда следует, что , ч.т.д.

Теорема 2 доказана.

Данная теорема позволяет ввести следующее определение.

Определение. Размерностью векторного пространства V над полем K называется число векторов в его базисе.

Обозначение: или .

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат , равной данному вектору.